《241平面向量數量積的物理背景及含義》

1、2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義教學目的：1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3.了解用平面向量的數量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用教學過程：一、復習引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當時，與同向；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°（2）兩向量共線的判定（3）練習 1.若a=(2

2、，3)，b=(4，-1+y)，且ab，則y=（ C ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（ B ）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|a|b|cosq叫與的數量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0向量與任何向量的數量積為0.×探究：1、向量數量積是一個向量還是一個數量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？2、兩個

3、向量的數量積與實數乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ

4、a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實數中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當q為銳角時投影

5、為正值； 當q為鈍角時投影為負值； 當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|； 當q = 180°時投影為 -|b|.3向量的數量積的幾何意義：數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.探究：兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，1、ab Û a×b = 02、當a與b同向時，a×b = |a|b|； 當a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 探究：平面向量數量積的運算律1交換律：a 

6、5; b = b × a證：設a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，

7、a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a&#

8、215;c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質：，（）（）····三、講解范例：例1證明：()·例2已知|a|=12， |b|=9，求與的夾角。例3已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|與|a-b|. （ 利用 ） 例4已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 四、課堂練習：1P106面1、2、3題。 2下列敘述不正確的是（ ）A. 向量的數量積滿足交換律 B. 向量的數量積滿足分配律C. 向量的數量積滿足結合律 D. a·b是一個實數3|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的