第二章分離變量法22,23

1、§2.2 有限桿上的熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題：一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為，兩端坐標(biāo)為。桿的側(cè)面絕熱，且在端點(diǎn)處溫度為零，而在處桿的熱量自由發(fā)散到周?chē)鷾囟葹?的介質(zhì)中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問(wèn)題：仍用分離變量法求解。此定解問(wèn)題的邊界條件為第三類(lèi)邊界條件。類(lèi)似§2.1中步驟，設(shè)，代入上面的方程可得從而可得通解由邊界條件知從而令 上方程的解可以看作曲線(xiàn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然他們有無(wú)窮多個(gè)，于是方程有無(wú)窮多個(gè)根。用下符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根于是得到特征值問(wèn)題的無(wú)窮個(gè)特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)再由方程， 可得，從而我們得到滿(mǎn)足邊界條件的一組特解由于方程和邊界條件是齊次的，所以仍滿(mǎn)足此方程

2、和邊界條件。下面研究一下其是否滿(mǎn)足初始條件?？梢宰C明在區(qū)域0,l上具有正交性，即證明：完成。令于是，從而得到定解問(wèn)題得解。§2.3 圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問(wèn)題平面極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是由此可得即是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得進(jìn)一步，可得在此基礎(chǔ)上，還可以得到柱坐標(biāo)系下的Laplace算符考慮圓域內(nèi)的穩(wěn)定問(wèn)題：其在極坐標(biāo)下的表示形式：因圓域內(nèi)溫度不可能為無(wú)限，尤其是在圓盤(pán)中心點(diǎn)的溫度應(yīng)該有限，并且表示同一點(diǎn)，故而我們有下約束下面用分離變量法求解該問(wèn)題。令 代入極坐標(biāo)下方程可得：從而可得常微分方程由有限性及周期邊界條件知，從而得定解問(wèn)題求解： 時(shí)，通解為由周期邊界條件可得 從而，不可取。時(shí)，通解為由周期邊界條件可得 B任意，說(shuō)明為一特征值，相應(yīng)得特征函數(shù)為。時(shí)，通解為因以為周期，所以有 從而可得特征值特征函數(shù)為接下來(lái)，求特解，并疊加出一般解。由Euler方程若令，即，則上方程可寫(xiě)為故 時(shí)，通解時(shí)，通解為為保證，所以可得，即從而，滿(mǎn)足齊次方程和周期條件及有限性的解可以表示為級(jí)數(shù)最后，為了確定系數(shù)，我們利用邊界條件可得運(yùn)用性質(zhì)從而可得因而，我們有利用下面的求和公式所以，稱(chēng)此表達(dá)式為圓域內(nèi)的Poisson公式，它的作用是