七數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽講座第17講整式的乘法與除法

1、第十七講整式的乘法與除法指數(shù)運(yùn)算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下m nmn / m、nnm4 個(gè)：a a a ， (a ) a（ab）n an bn， am an am n .學(xué)習(xí)指數(shù)運(yùn)算律應(yīng)注意：1 運(yùn)算律成立的條件；2 運(yùn)算律字母的意義：既可以表示一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式；3 運(yùn)算律的正向運(yùn)用、逆向運(yùn)用、綜合運(yùn)用.多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似, 基本步驟是：1. 將被除式和除式按照某字母的降幕排列，如有缺項(xiàng)，要留空位；2. 確定商式，豎式演算式，同類項(xiàng)上下對(duì)齊；3. 演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止.例題232【例1】(1)

2、如果x x 10，則x 2x 3 =（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）a2x2a1xa0,貝U把（x2一 X+1）6展開后得 a12x12a11x11a12a10a8a6a4 a2 ao （“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題 ）思路點(diǎn)撥 把高次項(xiàng)用低次多項(xiàng)式表示；我們很難將（x2一 x+1）6的展開式寫出，因此想通過展開式去求出每一個(gè)系數(shù)是不實(shí)際的，事實(shí)上，上列等式在x的允許值范圍內(nèi)取任何一個(gè)值代入計(jì)算，等式都成立，考慮用賦值法解.注：一般地，被除式、除式、商式和余式之間有下面的關(guān)系式：被除式=除式X商式+余式.特別地，當(dāng)余式為零時(shí)，稱除式能整除被除式.在解數(shù)學(xué)題時(shí)，將問題中的某些元素用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示，再進(jìn)行運(yùn)算、推

3、理解題的方法 叫賦值法，用賦值法解題有兩種類型：（1）常規(guī)數(shù)學(xué)問題中，恰當(dāng)?shù)貙?duì)字母取值，簡(jiǎn)化解題過程；（2）非常規(guī)數(shù)學(xué)問題通過賦值，把問題“數(shù)學(xué)化”【例2】已知25x 2000 ,80y2000，則1 1-等于(x y).1A . 2 B. 1 C.-2（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥因x、y為指數(shù),我們目前無(wú)法求出x、y的值,其實(shí)只需xy求出x y、xy的值或它們的關(guān)系，自然想到指數(shù)運(yùn)算律.c 17，求d 一 b的值.【例3】 設(shè)a、b、c、d都是自然數(shù)，且a5 b4,c3 d2,a（上海市普陀區(qū)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥設(shè)a5b4m20 ,c3d 2n6，這樣a、b可用m的式子表示.c、d可用n的式

4、子表示，減少字母的個(gè)數(shù)，降低問題的難度.2 2【例 4】x xy 2y x 7y 6 （x 2y A）（x y B）.求 A、B 的值.思路點(diǎn)撥 等號(hào)左右兩邊的式子是恒等的，它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，從而可以通過 比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)來(lái)解.【例5】是否存在常數(shù)p、q使得x4 px2 q能被x2 2x 5整除？如果存在，求出p、q的值，否則請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)拔由條件可推知商式是一個(gè)二次三項(xiàng)式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式x商式”，運(yùn)用待定系數(shù)法求出 p、q的值，所謂p、q是否存在，其實(shí)就是關(guān)于待定系數(shù)的方 程組是否有解.注運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算率解題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）善于變異底為同底；適當(dāng)?shù)貙?duì)已知等式

5、進(jìn)行運(yùn)算處理，從整體上解決問題.所謂恒等式，就是指不論用任意數(shù)值來(lái)代替式中的字母左右兩邊的值都相等的等式. 如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，那么，這兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)一定對(duì)應(yīng)相等.待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要方法，在有關(guān)整式的恒等變形的解題中經(jīng)常用到，運(yùn)用此方法解題的一般步驟是：（1）根據(jù)多項(xiàng)式之間的次數(shù)關(guān)系，設(shè)出一個(gè)恒等式，其中有幾個(gè)待定系數(shù)；（2）比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，列出方程組；（3）解方程組，求出待定系數(shù)的值.學(xué)力訓(xùn)練1. 如圖，是某住宅的平面結(jié)構(gòu)示意圖， 圖中標(biāo)注了有關(guān)尺寸（墻體厚度忽略不計(jì)，單位： 米）.房的主人計(jì)劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，如果他選用地磚的價(jià)格是a元/米2,則買磚至少需要

6、元（用含a、x、y的代數(shù)式表示）.（河北省中考題）2. 若 2x+5y 3=0,則 4x. 32y.（紹興市競(jìng)賽題）3 .滿足（x 1）2oo>32oo的x的最小正整數(shù)為 . （2003年武漢市選拔賽試題）4.a、b、c、d都是正數(shù)，且23a 2, b3,c454,d5，則a、b、c、d中，最大的一個(gè)是2n 45.化間2(2n 3)2(2n)得().（“英才杯”2nA . 2n1 18（年IT杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）5544336.已知 a 2 ,b 3 ,c 5 , d226 ，那么a、b、c、d從小到大的順序是（）.A. a<b<c<d B . a<b<d

7、<c C（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）.b<a<c<dD. a<d<b<c值共有（A .1個(gè)&計(jì)算（0.).B . 3個(gè)C . 6個(gè)04)2003 x (一 5)20032 得(120035C.152003（杭州市中考題）29 .已知 6x 7xy3y214x(2x 3yb)(3xc），試確定 a、b、c的值.10.設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù),并且4 3,cd2,c19，求a-b的值.（江蘇省競(jìng)賽題）11.已知四位數(shù)2x9y 2x 9y，試確定2x9yx(x2y11）的值.12 .多項(xiàng)式2x3 5x2 7x 8與多項(xiàng)式ax2bx 11的乘積中,沒有

8、含x4的項(xiàng)，也沒有含x3的項(xiàng)，則a213.若多項(xiàng)式3x4x27能表示成a（ x 1）b(x1） c的形式，則a=14.若(2x1)55a§xa4x43a3Xa2x2a-|Xa° ,貝U a2a4（2003年北京市競(jìng)賽題15.如果多項(xiàng)式（x a）（x2)1能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)多項(xiàng)式（x+3）和（x+b）的乘積，那么a=,b=33554433.16 .右 a 22 ,b 33 ,c 55 ,d2266,那么a、b、c、d從小到大的順序是（）.A. a>b>c>d B. a>b>d>c C . b>a>c>d D .(北京市“迎春杯”

9、競(jìng)賽題)a>d>b>c17.已知 a1 ,a2 ,a3,月1996,*1997均為正數(shù)，又M （a1a2a1996 )(a2a3a1997),N (a1 a2a1997)(a2 a 3a1996 )，則 M 與 N 的大小關(guān)系是().A . M=NB . M<NC . M>ND .關(guān)系不確定318 .若 3x x41，則 9x3小 212x 3x7x1999的值等于（)A . 1997B . 1999C. 2001D.2003（北京市競(jìng)賽題）19 .已知關(guān)于x的整系數(shù)二次三項(xiàng)式ax2十bx+c 當(dāng) x 取 1, 3, 6,8時(shí)，某同學(xué)算得這個(gè)二次三項(xiàng)式的值分別為1

10、,5,25,50 .經(jīng)檢驗(yàn)，只有一個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是（）.A .當(dāng) x=1 時(shí)，ax2 十 bx+c=1B.當(dāng) x= 3 時(shí)，ax2 十 bx+c=5C.當(dāng) x=6 時(shí)，ax從所列的表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 若n為自然數(shù)，和數(shù)1981n+1982 n+1983 n+1984 n不能被10整除，那么n必須滿足什么 十 bx+c=25 D 當(dāng) x= 8 時(shí)，ax2十 bx+c=5020.已知 3x2-x-仁0,求 6x條件？十 7x2一 5x+1999 的值.21已知a是方程2x2 3x 1 0的一個(gè)根，試求代數(shù)式2 3 3a 9 也1的值. 3a 122. 已知 2a 2b 2c 2

11、d 10，求證：(a一 1)(d 1)=(b 一 1)(c 一 1).23. 是否存在整數(shù)a、b、c滿足(9)a(10)b (16)c2 ?若存在，求出a、b、c的值；若不8915存在，說明理由.24. 當(dāng)自然數(shù)n的個(gè)位數(shù)分別為 0, 1, 2,9時(shí)，n2, n3, n 4, n 5的個(gè)位數(shù)如表所示n的個(gè)位數(shù)0123456789n2的個(gè)位數(shù)0149656941n3的個(gè)位數(shù)0187456329n4的個(gè)位數(shù)0161656l61n5的個(gè)位數(shù)0l23456789參考答案02 式的It法與法【例題求解】ft I (1H 搓水* jt1 +2* +SH】 + 3+1)r-t,r+3-*4.(2)35 1f

12、t朮占J仕！ + 由巳知 Sfjt W 毎亞 + Un +* +<tr 4-fl| 4-a* = 1令*】*由已如等式得 世IH "41|.+仆十的一呷+o1|=7W十.礎(chǔ)23m二口卜十亠的亠口沁=710即心浮十m*十十5十oil =彌予ft 1& B 覺不器前如WT 鮒r2QQ<r OX腳 USXto)* -2UOOf -. ff xy-jr + >ft J 奧示設(shè)口 JF e5'1 d啦J3n為自然#(幾JR別朮出“押“由巳鮎得 #* ftJ = 17iW( m3 + ji ) E h) 1?因皆是離Si存+叭At上一吩星白然Stfl辦W 側(cè)訊二

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