線線角和線面角

1、線線角和線面角重點：確定點、斜線在平面內(nèi)的射影。知識要點：一、線線角1、定義：設(shè)a、b是異面直線，過空間一點O引a/a,b/b,則a 、b所成的銳角(或直角),叫做異面直線a、b所成的角.2、范圍:(0, 3. 向量知識：對異面直線AB和CD(1) ；(2) 向量 和 的夾角< , >(或者說其補角)等于異面直線AB和CD的夾角；(3) 二、線面角1、定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，斜線和平面所成角的范圍是(0, ). 2、直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，它們所成角是零角；直線垂直平面它們所成角為 ， 3、范圍: 0, 。4、射影定理：斜線長定理：從平面外一點向

2、這個平面所引的垂線段和斜線段中：（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短。5、最小角定理：平面的一條斜線與平面所成的角，是這條直線和平面內(nèi)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。6、向量知識（法向量法）與平面的斜線共線的向量 和這個平面的一個法向量 的夾角< , >(或者說其補角)是這條斜線與該平面夾角的余角.例題分析與解答例1如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.分析：利用 ，求出向量 的夾角 ,再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角

3、的范圍確定異面直線所成角.解： ， ， ABBC，BB1AB，BB1BC， 又 所以異面直線BA1與AC所成的角為60°.點評：求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量來表示.例2如圖(1)，ABCD是一直角梯形，ADAB，AD/BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA平面ABCD，PD與平面ABCD成30°角.(1)若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；(2)求異面直線AE與CD所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）解法一：（1）證明：PA平面ABCD， PAAB，ADAB， AB平面PAD，ABPD， 又A

4、EPD， PD平面ABE， BEPD.(2)解：設(shè)G、H分別為ED、AD的中點，連BH、HG、GB（圖（1）易知 ， BH/CD.G、H分別為ED、AD的中點， HG/AE則BHG或它的補角就是異面直線AE、CD所成的角，而 ， ， ，在BHG中，由余弦定理，得 ， . 異面直線AE、CD所成角的大小為 .解法二：如圖（2）所示建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則 ， ， ， ， ，（1）證明： （2）解： 異面直線AE、CD所成角的大小為 例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， ，求BE1與DF1所成角的余弦值.解：以D為坐標原點， 為x,y,z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，設(shè)正方

5、體的棱長為4，則D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).則 ， ， . BE1與DF1所成角的余弦值為 點評：在計算和證明立體幾何問題中，若能在原圖中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，把圖形中的點的坐標求出來，那么圖形有關(guān)問題可用向量表示.利用空間向量的坐標運算來求解，這樣可以避開較為復(fù)雜的空間想象。例4在120°的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內(nèi)，分別有點A和點B.已知點A和點B到棱的距離分別為2和4，且線段|AB|=10.(1) 求直線AB和棱a所成的角；(2) 求直線AB和平面Q所成的角解：如圖，作ACa，BDa，垂足分別為C，D分別以 的單位向量

6、為空間的基底 過C，B分別作BD，a的平行線，交于E點，CEa，從而，得：ACE就是二面角P-a-Q的平面角， ,依題設(shè)： 設(shè) (1) ,又 , 展開： , m2+20+8=100，從而得 異面直線 與a所成的角為 .(2)作AFEC，交EC的延長線于F， a平面ACE， aÌ平面Q，平面ACE平面Q，從而得：AF平面Q，連結(jié)FB，則ABF就是AB與平面Q所成的角， 上的射影為 ， ， ，在RtAFB中， ，直線AB和平面Q所成的角為： .反饋練習：1.過平面外兩點和該平面垂直的平面的個數(shù)是（ ）A.1個 B.無數(shù)個 C.一個或無數(shù)個 D.沒有2.已知從一點P引三條射線PA，PB，P

7、C，且兩兩成60度角，則二面角APBC的二面角的余弦值是（ ）A. B. C. D.不能確定3正方體AC1中，E、F分別是AA1與CC1的中點，則直線ED與D1F所成角的大小是（ ）A、 B、 C、 D、 4在正三棱錐S-ABC中，E為SA的中點，F(xiàn)為ABC的中心，SA=BC=2，則異面直線EF與AB所成的角是（ ）A、60° B、90° C、45° D、30°5已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，則直線CB1與平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、 6、如圖所示，M、N分別是單位正方體ABCD-A1B1C1D1中BB

8、1、B1C1的中點.求MN與CD1所成的角. 7、如圖1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點.(1)求異面直線AB1與BC1的夾角；(2)在直線CC1上求一點N，使MNAB1. 參考答案：1.C. 2.B.3.A如圖.： 依題意，可知： 設(shè) 由三角形法則， 直線ED與D1F的所成的角為 .4A如圖設(shè) 依題意可得： ， 也就是：異面直線EF與AB所成的角是60°.5B如圖取AB中點E，連結(jié)CE，由正三棱柱可知：CE平面AA1B1B.連結(jié)EB1， CB1E就是B1C與平面AA1B1B所成的角設(shè)棱長AA1=1，設(shè) ，依題意可得： ， 又 ， ， 直線CB1與平面AA1B1B所成角的正弦值是 .6、解： ， ，且 ， . MN與CD1所成角為60