容斥原理(二)(含答案)-

1、容斥原理（二）【例題分析】 例1. 有25人參加跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)賽，每人跳三次，每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀。第一次達(dá)到優(yōu)秀的有10人，第二次達(dá)到優(yōu)秀的有13人，第三次達(dá)到優(yōu)秀的有15人，三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有多少人？ 分析與解：“每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀”說(shuō)明沒(méi)有三次都沒(méi)達(dá)到優(yōu)秀的。要求只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。 （人） 答：只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有11人。 例2. 在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒(méi)有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的

2、有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？ 分析與解：根據(jù)題意畫圖。 方法一：（人） 方法二：（人） 答：共有10個(gè)小朋友去了冷飲店。 例3. 有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有8人沒(méi)參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問(wèn)：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？ 分析與解：“每人至少參加兩項(xiàng)比賽”說(shuō)明沒(méi)有不參加的，也沒(méi)有參加一項(xiàng)比賽的，我們可以在下圖中參加一項(xiàng)的區(qū)域用0表示。 （人） 答：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有3人。 例4. 某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)

3、小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。 分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。 三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)的有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。 答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。 例5. 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒(méi)得滿分者3人

4、。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？ 分析與解：根據(jù)題意畫圖。 設(shè)三科都得滿分者為x 全班人數(shù) 整理后：全班人數(shù)39x 39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得滿分的人數(shù)，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒(méi)有三科都得滿分的。 當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。 答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘） 1. 六年級(jí)共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報(bào)，有的人訂數(shù)學(xué)報(bào)，兩種刊物都訂的有多少人？

5、2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時(shí)，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444 他們住的一套房子共有多少平方米？ 3. 某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。 4. 某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)三好生4人，五、六年級(jí)連續(xù)三好生3人，四年級(jí)、六年級(jí)兩年評(píng)上三好生的有5人，四、五、六三

6、年沒(méi)評(píng)過(guò)三好生的有20人，問(wèn)這個(gè)班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？【試題答案】 1. 六年級(jí)共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報(bào)，有的人訂數(shù)學(xué)報(bào)，兩種刊物都訂的有多少人？ 答：兩種刊物都訂的有16人。 2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時(shí)，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444 他們住的一套房子共有多少平方米？ 答：這套房子共有58平方米。 3. 某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。 4. 某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)三好生4人，五、六年級(jí)連續(xù)三好生3人，四年級(jí)、六年級(jí)兩年評(píng)上三好生的有