孤島疾病問題的探討

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 孤島疾病問題的探討一、 摘要建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。本文是一個(gè)孤島疾病傳播問題。首先根據(jù)孤島的自身特征方面的條件解決問題a:列出假設(shè)1、2，問題b:根據(jù)模型建立的被感染人數(shù)X與時(shí)刻t的關(guān)系，利用matlab軟件畫出dX/dt關(guān)于X的圖像。問題c:又假設(shè)感染的人數(shù)X1<N/2,畫出X關(guān)于t的圖形。在此問題的基礎(chǔ)上取X1=N/4和X1=3N/4；問題d:求解出微分方程，最后把X作為t的函數(shù)，解出前面給的模型。問題e:此模型方程是logistic模型，求出X

2、的表達(dá)式,得出當(dāng)t趨于無窮大時(shí)X的極限為N。問題f:有代表的數(shù)據(jù)列出表格求解出這些數(shù)據(jù)，得出的這些數(shù)據(jù)支持該模型，估計(jì)模型中的常數(shù)并預(yù)測(cè)t=12天被感染的人數(shù)，列出關(guān)系模型。問題h:分析上述模型的優(yōu)缺點(diǎn)，試給出改進(jìn)方案?！娟P(guān)鍵詞】孤島疾病 微分方程 關(guān)系模型 改進(jìn)方案一、問題重述如何確定孤島的疾病傳播速度問題通過正確的措施進(jìn)行控制并對(duì)人們的身心健康有很大的幫助，也是必不可少的。考慮在一個(gè)人口數(shù)量為N的孤島上，一部分到島外旅游的居民回來使該島感染了一種高傳染性的疾病。請(qǐng)預(yù)測(cè)在某時(shí)刻t將會(huì)被感染的人數(shù)X?？紤]一下模型，其中k>0為常數(shù)：(a)     列出這個(gè)模

3、型所隱含的兩條主要假設(shè)，說明這些假設(shè)有什么依據(jù)？(b)   畫出關(guān)于X的圖形(c)    若初始被感染的人數(shù)，畫出X關(guān)于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫出X關(guān)于t的圖形。(d)   把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。(e)   由(d)，當(dāng)t趨于無窮時(shí)求X的極限。(f)    設(shè)島上的人口有5000人，在傳染期的不同時(shí)刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)問這些數(shù)據(jù)能否支持所給的模型？(g) 利用(f)

4、的結(jié)果估計(jì)模型中的常數(shù)，并預(yù)測(cè)t=12天時(shí)被感染的人數(shù)。(h) 分析上述模型的優(yōu)缺點(diǎn)，試給出改進(jìn)方案。 二、模型假設(shè)1、人口數(shù)量N不變，因?yàn)槭枪聧u。2、人口分為健康人和被感染的病人，數(shù)量分別為X ,N-X。3、在規(guī)定的時(shí)刻內(nèi)人口變化X取整數(shù)，因?yàn)槿丝跒檎麛?shù) 三、符號(hào)定義說明X（t）：t時(shí)刻被感染的人數(shù) S（t）：t時(shí)刻未被感染的人數(shù) k ：常數(shù)C1、C2：皆為參數(shù) N ：孤島上的人口總數(shù),即N=X（t）+S（t） 四、模型的建立與求解 模型的建立依據(jù)(a) 列出這個(gè)模型所隱含的兩條主要假設(shè)，說明這些假設(shè)有什么依據(jù)？假設(shè)1人口數(shù)量N不變，因?yàn)槭枪聧u。假設(shè)2人口分為健康人和被感染的病人數(shù)量分別為X

5、 ,N-X。模型的建立與求解(b) 畫出關(guān)于X的圖形設(shè)k=X=0:1;ezplot('*X*(1-X)',0,1);(c)若初始被感染的人數(shù)，畫出X關(guān)于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫出X關(guān)于t的圖形。1、取，則y=dsolve('Dy=*y*(1-y)','y(0)=','x');ezplot(y,0,50);2、，則y=dsolve('Dy=*y*(1-y)',y(0)=','x');ezplot(y,0,50);(d)把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。 syms N k:X=dso

6、lve('DX=k*X*（N-X）') 即 (e)  由(d)，當(dāng)t趨于無窮時(shí)求X的極限。(f)    設(shè)島上的人口有5000人，在傳染期的不同時(shí)刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)問這些數(shù)據(jù)能否支持所給的模型？由 可以看出為線性變化的，所以可以認(rèn)為這些數(shù)據(jù)支持該模型。(g)利用(f)的結(jié)果估計(jì)模型中的常數(shù)，并預(yù)測(cè)t=12天時(shí)被感染的人數(shù)。 得到k=再代入k值，得C2=，而N=5000，當(dāng)t=4+10=14時(shí)，可以解出X的值：X= 4979確定參數(shù)C1=N/X0，則有 五、模型

7、評(píng)估及改進(jìn) 模型的優(yōu)點(diǎn)（1）用假設(shè)分析、微分求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)、線性相關(guān)等方法，解決問題，方法簡(jiǎn)單易懂，過程清晰且準(zhǔn)確。（2）又利用matlab軟件處理數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、而且具有科學(xué)性，得到的結(jié)果更具說服力。 模型的缺點(diǎn)（1）在問題a的問題假設(shè)1沒有考慮人口的流動(dòng)量(2) 在問題a的問題假設(shè)2沒有考慮治愈問題等情況改進(jìn)：將對(duì)象分為三類：病人，健康人與治愈的人。符號(hào)說明：s（t）：健康者在總?cè)藬?shù)N中占的比例i（t）：病人在總?cè)藬?shù)N中占的比例r（t）：病愈免疫的移出者在總?cè)藬?shù)N中占的比例模型假設(shè)：1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出三類，時(shí)刻t三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別記為s(t)、i(

8、t）、r(t).2.病人的日接觸率為,日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為模型構(gòu)成：由假設(shè)1可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1 (1)對(duì)于病愈免疫的移出者有 (2)再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是(>0)和(>0)(1) 、(2) 模型的方程可以寫成 (3) i(t)、s(t)圖形我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（3）中消去并注意到的定義，可得 (4)所以： (5)利用積分特性容易求出方程(4)的解為： (6)在定義域D內(nèi),(5)式表示的曲線即為相軌線,如下圖所示.其中箭頭表示了

9、隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨si101DP4P3imP2S0P1S0 P1: s0>1/s ® i(t)先升后降至0 傳染病蔓延P2: s0<1/s ® i(t)單調(diào)降至0 傳染病不蔓延1/s閾值1.提高閾值1/sÞ降低 s(=l/m)Þ l ¯, m ­l (日接觸率)¯ Þ 衛(wèi)生水平­m(日治愈率)­ Þ 醫(yī)療水平­2.降低 s0Þ提高 r0Þ群體免疫s 的估計(jì) 參考文獻(xiàn)：數(shù)學(xué)模型，姜啟源編，高等教育出版社數(shù)學(xué)分析,陳紀(jì)修，于崇華,金路,高等教育出版社附錄：function y=ill(