蘇教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理

1、 九年級(jí)（上）知識(shí)點(diǎn)歸納 第一章 圖形與證明（二）1.1 等腰三角形的性質(zhì)和判定1.等腰三角形性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”）2.等腰三角形判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）1.2 直角三角形全等的判定定理：1.判定定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)“HL”）。2.角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。3.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。推論：直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊事

2、斜邊的一半。1.3：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定1.平行四邊形性質(zhì)定理：定理1：平行四邊形的對(duì)邊相等。定理2：平行四邊形的對(duì)角相等。定理3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。2.平行四邊形判定定理：從邊：1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 2一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對(duì)角線：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3.矩形的性質(zhì)定理：定理1：矩形的4個(gè)角都是直角。定理2：矩形的對(duì)角線相等。定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.矩形的判定定理：1.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形5.菱形的性

3、質(zhì)定理：定理1：菱形的4邊都相等。定理2：菱形的對(duì)角線相互垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。6.菱形的判定定理：1.四條邊都相等的四邊形是菱形。2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形7.正方形的性質(zhì)定理：正方形的4個(gè)角都是直角，4條邊都相等，對(duì)角線相等且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。8.正方形的判定定理：1、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。2、有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形1.4：等腰梯形的性質(zhì)和判定1. 等腰梯形的性質(zhì)定理：定理1：等腰梯形同一底上的兩底角相等。定理2：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。2.等腰梯形的判定定

4、理：1.在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。2.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。1.5 中位線1.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。2.梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底的一半。中點(diǎn)四邊形：依次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形（中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形）。原四邊形對(duì)角線中點(diǎn)四邊形相等菱形互相垂直矩形相等且互相垂直正方形第二章 數(shù)據(jù)的離散程度2.1：極差一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差叫做極差。計(jì)算公式：極差=最大值-最小值。極差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。一般說(shuō)，極差越小，則說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度越小。2.2：方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.方差

5、：各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作S2基本公式：S2=(X1-)2+(X2-)2+(Xn-)22.標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,記作S。3. 意義：1、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，我們通常研究的是這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等、平均數(shù)相等或比較接近的情況。2、方差較大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小。3、方差大，標(biāo)準(zhǔn)差就大，方差小，標(biāo)準(zhǔn)差就小。因此標(biāo)準(zhǔn)差同樣反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。注意：對(duì)兩組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，極差大的那一組不一定方差大，反過(guò)來(lái)，方差大的極差也不一定大。第三章 二次根式3.1 二次根式1.定義：一般地，式子（a0

6、）叫做二次根式，a叫做被開(kāi)方數(shù)。有意義條件：當(dāng)a0時(shí)，有意義；當(dāng)a0時(shí)，無(wú)意義。2.性質(zhì)：（1） （2） 3.2 二次根式的乘除1.運(yùn)算法則：（1） （）（2） （2.最簡(jiǎn)根式：a.被開(kāi)方數(shù)中不能含能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式b被開(kāi)方數(shù)中不含分母c.分母中不含有根號(hào)一般地，二次根式運(yùn)算的結(jié)果中應(yīng)化為最簡(jiǎn)二次根式3.3：二次根式的加減1.同類(lèi)二次根式：經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式2.運(yùn)算法則：一般地，二次根式相加減，先化簡(jiǎn)每個(gè)二次根式，然后合并同類(lèi)二次根式3.分母有理化：當(dāng)分母是單個(gè)二次根式時(shí)，就將分子與分母同乘以這個(gè)二次根式本身即可；當(dāng)分母中含有多項(xiàng)式如（+1）時(shí)，就將分子分母同乘以它的有理化

7、因子(-1)第四章 一元二次方程4.1 一元二次方程1.概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常數(shù)，a0)，其中aX2稱(chēng)為二次項(xiàng)，a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，bX稱(chēng)為一次項(xiàng)，b稱(chēng)為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)4.2：一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方2、配方法：先把一元二次方程變形為（X+h）2=k的形式（其中h,k都是常數(shù)），如果k0，再通過(guò)直接開(kāi)平方法求出方程的解3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 （a0），當(dāng)b2-4ac0時(shí)，它的根是4.因式分解法：利用分解因式的方法解一元二次方程的方法5.根的判別式：

8、當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根X1=X2，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。反之，也成立。6.韋達(dá)定理：設(shè)一元二次方程aX2+bX+c=0 （a0）的兩根為X1，X2 那么X1 + X2 =- ，X1 X2 = 4.3：用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題一元二次方程應(yīng)用題步驟：“設(shè)、找、列、解、驗(yàn)、答”第五章 中心對(duì)稱(chēng)圖形（二）5.1 圓定義：圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑。與圓有關(guān)的概念：1、連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。2、圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的

9、兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3、定點(diǎn)在圓上的角叫做圓心角。4、圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。能夠互相重合的兩個(gè)圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：在平面內(nèi)，點(diǎn)與圓有3中位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外。如果設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，那么“點(diǎn)P在圓內(nèi) dr;點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓外dr”5.2 圓的對(duì)稱(chēng)性圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心。圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的任意一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（等對(duì)等定理）：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩

10、條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。5.3 圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。（圓心與圓周角的位置關(guān)系分為三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部；圓心在角的外部）推論：1、直徑（或半圓）所對(duì)的圓周角是直角。 2、90°的圓周角對(duì)的弦是直徑。5.4 確定圓的條件條件：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。三角形的外接圓：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心。這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形5.5

11、 直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交。（dr）2、直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（d=r）3、直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。（dr）直線與圓的位置關(guān)系可以用它們的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)區(qū)分，它們的結(jié)果是一致的。切線的性質(zhì)與判定：判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線式圓的切線。性質(zhì)：（圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑）1、 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直接必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。2、 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、 切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線與圓心的距離等于半徑；切線垂直

12、于過(guò)切點(diǎn)的半徑。內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。5.6 圓與圓的位置關(guān)系性質(zhì)與判定：如果兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離dR+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-rdR+r（Rr）兩圓內(nèi)切d=R-r(Rr)兩圓內(nèi)含0dR-r（Rr）連心線的性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，從上表中可以看出它們都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。沿O1、O2所在直線（連心線）對(duì)折，發(fā)現(xiàn)：兩圓相切，直線O1O2必過(guò)切點(diǎn)；兩圓相交，連心線垂直平分它們的公共弦。5.7 正多邊形與圓正多邊形概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多

13、邊形。性質(zhì)：正多邊形都是對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，沒(méi)條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心。一個(gè)正多邊形如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。如果一個(gè)正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，那么它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。1、 邊數(shù)相同的正多邊形相似。2、 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。友情提醒：（1）邊數(shù)相同的正多邊形相似，這是解與正多邊形有關(guān)問(wèn)題常用到的知識(shí)。 （2）任何三角形都有外接圓和內(nèi)切圓，但只有正三角形的外接圓和內(nèi)切圓才是同心圓。過(guò)正多邊形任意三個(gè)頂點(diǎn)的圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。作正多邊形：作半徑為R的正n邊形的關(guān)鍵是n等分圓。這就要學(xué)習(xí)兩種方法：（1）

14、 用量角器等分圓，可以作任意正多邊形，這是近似作法。具體地說(shuō)先計(jì)算出頂點(diǎn)在圓心的角的度數(shù)，即正n邊形的圓心角為，然后依次用量角器將圓等分，順次連接各分點(diǎn)，就作出正n邊形。（2） 用尺規(guī)等分圓，作正方形和正六邊形。具體地說(shuō)：先作出兩條互相垂直的直徑，將圓四等分，順次連接各分點(diǎn)，就做出正方形；用圓規(guī)從圓上一點(diǎn)順次截取等與半徑的弦，將圓六等分，順次連接各等分點(diǎn)，就作出正六邊形。友情提醒：在作正多邊形時(shí)，要從圓周上某一點(diǎn)開(kāi)始連續(xù)截取等弧，否則，易產(chǎn)生誤差。5.8 弧長(zhǎng)及扇形的面積圓的周長(zhǎng)公式C=2R，其中是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，稱(chēng)為圓周率?；￠L(zhǎng)公式：l=，其中，表示1°的圓心角的倍數(shù)，它不帶

15、單位，R為圓的半徑，l為n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)。扇形面積公式：一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。 圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式為S扇形= 弧長(zhǎng)為l的扇形面積的計(jì)算公式為S扇形=lR。公式中的n應(yīng)理解為1°的圓心角的倍數(shù)，不帶單位，同時(shí)要注意與弧長(zhǎng)：l=公式進(jìn)行比較，避免混淆。公式與三角形面積公式相類(lèi)似，在S=lR中，把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長(zhǎng)l看作底，R看作高，這樣對(duì)比，有助于理解與記憶公式。5.9圓錐側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開(kāi)：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)l=2r。這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)l母線=這