三角函數(shù)簡(jiǎn)史之?dāng)?shù)與弦

1、三角函數(shù)簡(jiǎn)史之?dāng)?shù)與弦角的概念會(huì)產(chǎn)生歧義，因?yàn)樗让枥L了兩條相交直線之間“別離這個(gè)定性的概念，也描繪了這種別離程度的數(shù)值角的度量，而在兩個(gè)點(diǎn)之間的“別離上卻沒(méi)有這種歧義，因?yàn)榫€段和長(zhǎng)度這兩個(gè)概念能分得很清楚。好在我們不需要擔(dān)憂這種混淆，因?yàn)樵谌菍W(xué)中，我們只關(guān)注線段與角的性質(zhì)當(dāng)中可以量化的部分。?三角之美?三角學(xué)算是最古老的學(xué)科了，真要說(shuō)起來(lái)，它的歷史比平面幾何還早，當(dāng)然假如把早期的三角學(xué)計(jì)算也算作平面幾何的一部分的話那另當(dāng)別論。如今我們中學(xué)生接觸三角學(xué)，是以直角三角形為基準(zhǔn)，各邊之比的定義得來(lái)的，然后到了高中就將三角函數(shù)定義放到圓和坐標(biāo)系里，這一點(diǎn)倒是符合三角學(xué)的歷史開(kāi)展的，數(shù)學(xué)史上第一份三角

2、學(xué)資料，也是拿來(lái)解直角三角形。一：角度平面上的運(yùn)動(dòng)只有兩種平移和旋轉(zhuǎn)。平移的程度由間隔 和面積來(lái)度量，而旋轉(zhuǎn)的程度那么由角度來(lái)度量，對(duì)長(zhǎng)度的定義一直以來(lái)都沒(méi)什么難度，確定一個(gè)單位長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)就行了。對(duì)角度的定義卻沒(méi)那么簡(jiǎn)單角度描繪兩條相交直線之間的相離程度，到底多大程度才能定為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)？相對(duì)于間隔 來(lái)說(shuō)，角度的大小更充滿“定性的味道。好在巴比倫人利用了圓這一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)他們將圓從圓心分成了360份，要衡量一個(gè)角度大小，只需要將角度的頂點(diǎn)與圓心重合，算出對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)占圓周長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)，就可以衡量這個(gè)角的大小了。所以利用圓來(lái)衡量角度，大概是古人早已發(fā)現(xiàn)圓周角所對(duì)弧長(zhǎng)與圓周角之間簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。圓與三角學(xué)的關(guān)系，

3、從一開(kāi)場(chǎng)就密不可分，往后也是。至于巴比倫人為何將圓分為360分，詳細(xì)原因以及不可考，但很明顯，這與巴比倫人一貫使用的六十進(jìn)制有很大關(guān)系。其中有一個(gè)解釋是，因?yàn)榘捅葌惾耸褂玫氖橇M(jìn)制，所以實(shí)際上它們是將一個(gè)圓分成了六個(gè)進(jìn)制，這樣的一個(gè)好處就是分出來(lái)的每一份中對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)與半徑相等。另一個(gè)解釋就是360份恰與一年的天數(shù)很接近。當(dāng)然從未有任何證據(jù)說(shuō)明這一點(diǎn)，一切都只是猜測(cè)，所以對(duì)于360°的規(guī)定的詳細(xì)原因已經(jīng)不知。但這利用圓來(lái)衡量角度的方法一直很有效，流傳至今。不久之后，希臘人采用了這一套系統(tǒng)，托勒密在他的?至大論?中就使用了這一系統(tǒng)。一直以來(lái)，六十進(jìn)制作為一種計(jì)數(shù)法，早已被十進(jìn)制淘汰，但

4、作為角度和時(shí)間的度量卻一直流傳下來(lái)，這種制度是如此受歡送，即使是在“公制化的創(chuàng)始地法國(guó)也無(wú)法被替代。這倒是很有趣的現(xiàn)象。到了近代，出現(xiàn)了另一種度量制度弧度制，1弧度就是圓上的弧長(zhǎng)等于半徑時(shí)所對(duì)的圓心角。我們經(jīng)常聽(tīng)說(shuō)采用弧度制的原因是可以用較小的數(shù)字表示角。實(shí)際上并非如此，采用弧度制的唯一原因是他可以簡(jiǎn)化許多公式，比方弧長(zhǎng)公式將變成l=r，扇形面積公式也將變得非常簡(jiǎn)單，弧度的應(yīng)用去除了這些公式中“多余的因子/180.另一個(gè)事實(shí)是，弧度的采用將使得這個(gè)事實(shí)成立：一個(gè)很小的角和他的正弦值在數(shù)值上是近似相等的，也就是sinx/x在x趨于零時(shí)其極限值趨近于1，這種近似假設(shè)采用弧度制將使得在x不是很小的時(shí)

5、候就變得非常接近。因此使得弧度制在微積分學(xué)中變得非常重要。二：弦三角學(xué)一開(kāi)場(chǎng)和圓扯上了關(guān)系，然后就與角度所對(duì)的弦長(zhǎng)扯上了關(guān)系。在數(shù)學(xué)開(kāi)展初期的巴比倫時(shí)期，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三角形相似的性質(zhì)，最后傳到希臘，得到了進(jìn)一步的應(yīng)用，人類歷史上第一位數(shù)學(xué)家泰勒斯據(jù)此計(jì)算出了埃及金字塔的高度，可謂是一大奇聞?，F(xiàn)代意義上的“三角學(xué)一詞，說(shuō)來(lái)還得多虧了天文學(xué)，天文學(xué)的開(kāi)展急需科學(xué)家求解各種各樣的三角形，那時(shí)候自然還沒(méi)有我們今日的什么正弦定理余弦定理可用。有一位叫西巴爾卡斯的科學(xué)家在這方面邁出了重要一步：他將三角形置于圓中，這樣三角形的邊就變成了弦，為了計(jì)算三角形的各部分，就必須考察圓心角與弦長(zhǎng)的關(guān)系。這事情自此

6、以后成為了各個(gè)數(shù)學(xué)家在這方面的研究重點(diǎn)。第一本三角學(xué)著作出自于托勒密之手，他編制出了第一套“正弦函數(shù)表，當(dāng)然并無(wú)正弦這一概念，這個(gè)表格繼承了西巴爾卡斯的工作，列出了角度從0°180°變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，托勒密取將圓的半徑定為60單位長(zhǎng)度，為了方便，我們就不談六十進(jìn)制了。實(shí)際上相當(dāng)于十進(jìn)制中取10為半徑，根據(jù)我們?nèi)缃竦恼J(rèn)識(shí)，知道托勒密的表格實(shí)際上就是給出了一個(gè)sin/2表：與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問(wèn)?示侄孫伯安?詩(shī)云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說(shuō)字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老

7、師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?jiàn)，“老師一說(shuō)是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說(shuō)，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實(shí)“教諭在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正。“教授“學(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定

8、的講學(xué)場(chǎng)合，比方書(shū)院、皇室，也稱老師為“院長(zhǎng)、西席、講席等。d=2rsin/2=20sin/2觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲(chóng)等，孩子一邊觀察，一邊提問(wèn)，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷

9、雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問(wèn)幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽(tīng)到雷聲驚叫起來(lái)，我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問(wèn)：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥(niǎo)兒飛，樹(shù)兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見(jiàn)景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來(lái)，在開(kāi)展想象力中開(kāi)展語(yǔ)言。如啄木鳥(niǎo)的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹(shù)開(kāi)刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。今天我們可以看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，在圓心角與弦長(zhǎng)d之間的關(guān)系重，我們需要先把圓心角除以2，最后的結(jié)果還要乘以20，這實(shí)際上是一個(gè)重復(fù)的過(guò)程，重復(fù)做這樣的工作只是在浪費(fèi)時(shí)間而已，幾百年以后，終于有人將此表簡(jiǎn)化，不再考慮圓心角與弦長(zhǎng)的關(guān)系，而是考察“弦長(zhǎng)的一半與“圓心角的一半之間的關(guān)系。我們可以看出，這一看起來(lái)貌似