探究排隊人數(shù)與窗口數(shù)的線性規(guī)劃問題

1、探究排隊人數(shù)與窗口數(shù)的規(guī)劃問題1、摘要：1.1 本論文的背景和意義在經(jīng)濟飛速發(fā)展人口與急速膨脹的今天，基本上我們做什么事都免不了排隊。小到等衛(wèi)生間，大到春運，排隊成為了我們生活重要的組成部分。快節(jié)奏的生活使排隊變成了一個漫長而煎熬的過程，我們都希望自己所在的隊伍能夠短一點再短一點，排隊的時間能夠少一點再少一點，然而商家不可能無止境地開設窗口，所以問題就集中在商家開設窗口的成本與顧客在排隊時付出的時間成本問題上了。在這個論文中，我們從商家與顧客兩個角度一起考慮，將等待時間與商家所開窗口數(shù)聯(lián)系起來，再將成本帶入，并找到了一個能使雙方投入最少的一個極值。在這個研究中，我們不把這兩方看成是對立的“商人

2、”“客人”，更像是與自己利益休戚相關的“伙伴”，將對方的利益與自己的緊密聯(lián)系起來，從而就達到“雙贏”的目的。1.2本論文的主要方法和研究進展在研究中，我們首先建立了一個簡單的數(shù)學模型，來觀察統(tǒng)計在排隊中會出現(xiàn)的問題，我們用了抓鬮的方法來選取110的隨機數(shù)，設置一個排隊等待時間的模型，分了兩種情況，發(fā)現(xiàn)了在排隊辦理業(yè)務中窗口的設計合理與否對于顧客等待時間呈負相關，由此我們模擬了一個接近于現(xiàn)實生活中的情況，計算當顧客為50人時，合適的窗口數(shù)為多少，得到了一個函數(shù)公式并求出了極值。從我們構造的模型中得到的計算結果來看，當人數(shù)一定時，開設人數(shù)一半左右的窗口數(shù)是最好的，但是由于各種限制，所以可能結論并不

3、是最合適的。但是這個研究還是給了我們啟示：在有關成本與利潤的問題中，變量時多方面的，但是在某些方面，總會有一個最值可以通過數(shù)學方法求出，使利潤最高或成本最低。1.3本論文的關鍵詞：排隊、銀行、顧客、成本、雙贏2、引言： 隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展，越來越多的業(yè)務需要辦理，但是由于設計的不合理，商家所設置的窗口無法適應客戶的需求。當出現(xiàn)一些情況，如節(jié)假日或某些特殊狀況時引起“排長隊”而導致顧客流失的問題；或者由于估計錯誤導致生產(chǎn)資料的浪費，因此我們想找出窗口與客流量之間的關系，進而解決這個問題：既不出現(xiàn)過長的排隊，也不會導致浪費。從而實現(xiàn)商家與顧客雙贏，達到利益最大化的效果。3、研究過程：3.1小規(guī)模數(shù)

4、據(jù)模擬：首先，我們先建了一個簡單的數(shù)學模型，設定了6個顧客：A、B、C、D、E、F,每個顧客的辦理時間在110分鐘，每個顧客的間隔時間在110分鐘，我們用 抓鬮的方法，隨機的得到了下面的數(shù)據(jù)：ABCDEF辦理時間84610810到達間隔時間358247表1-1依照此數(shù)據(jù)，我們打算用數(shù)軸的形式來表現(xiàn)整個流程。以銀行為例，我們模擬了兩種情況：3.1.11 只有一個窗口：當T=3min時，顧客A開始辦理，此過程將持續(xù)8min。在這中間，當T=8min時，顧客B到來，由于顧客A仍在辦理業(yè)務，所以顧客B需要等到T=8+3=11min時，才能開始辦理業(yè)務。在這個過程中，顧客B等待了3min依此類推。具體過

5、程如下：圖1-1根據(jù)上圖，通過計算，我們得出以下數(shù)據(jù)：平均等待時間：3.3min平均逗留時間：11.2min平均辦理業(yè)務時間：7.7min窗口空閑率：2%從上面的數(shù)據(jù)分析可以得出，辦理十分簡單僅不到8分鐘的業(yè)務，卻需要在辦理處等待超過11分鐘，聯(lián)系到實際，不難想象，比如日常的交水電費業(yè)務，銀行業(yè)務或者是商場排隊，我們盼望快點快點再快點，但是窗口的工作率已經(jīng)近乎100%，很難再有所提升。假如銀行多開了一個窗口，將會發(fā)生什么？3.1.22 兩個窗口為了控制變量，我們依然采用了第一次抓鬮得到的數(shù)據(jù)，唯一的變量就是窗口數(shù)目的變化，增加到兩個。當T=3min時，顧客A到達窗口辦理8minde業(yè)務，此過程

6、將持續(xù)8min，在這中間，顧客B在T=8min時來到，在窗口辦理4min的業(yè)務。在T=11min時，顧客A離開，導致窗口空閑，T=12min時顧客B離開，導致窗口空閑。直至T=14min時，顧客C來到窗口辦理業(yè)務具體情況如下。圖1-2同理，平均等待時間：0.17min平均逗留時間：8.3min平均辦理業(yè)務時間：7.7min窗口空閑率：28.3%一個窗口兩個窗口平均等待時間3.3min0.17min平均逗留時間11.2min8.3min平均辦理業(yè)務時間7.7min7.7min窗口空閑率2%28.3%表1-2 我們看到，最長也不過需要待8分鐘就可以完成任務，無疑效率大大提高了。但是另一方面，窗口空

7、閑率上升了很多！所以窗口不是說多開就多開的。 根據(jù)兩個結果的對比，我們發(fā)現(xiàn)窗口數(shù)量和顧客的平均等待時間呈負相關。也就是說窗口數(shù)越多，顧客等待的時間越少。但是，銀行每多開設一個窗口，就需要增加一定的成本，銀行不可能無止境的開設窗口。為了達到銀行與顧客的雙贏局面（銀行在不支付過多成本的情況下，不使顧客把過多時間花費在等待上），我們進行了以下假設：3.2大規(guī)模數(shù)據(jù)模擬由于數(shù)據(jù)過于龐大，我們對數(shù)據(jù)進行了簡化：1、 顧客有50人2、 窗口數(shù)為n3、 業(yè)務辦理時間固定為7.7分鐘4、 平均間隔時間為2分鐘5、 銀行每多開一個窗口需要支付的成本為10k，每個顧客每耽誤一分鐘所承受的損失為k 考慮到實際情況，

8、銀行辦理業(yè)務窗口出現(xiàn)空閑的概率基本為0，所以在假設中暫時忽略窗口空閑率不計。分析： 由假設可知，每個窗口等待辦理業(yè)務的人數(shù)為50/n，再聯(lián)系實際情況，當人數(shù)過于龐大時，我們可以將每個窗口看成是獨立的。此時，問題被簡化為：究竟多少個人等待在一個窗口，此時銀行和顧客的損失能達到最小化。據(jù)此，我們列出以下方程：等待時間=總辦理時間-每人總間隔時間 由計算可知，第二個人的等待時間為5.7min，第三個人的等待時間為11.4=5.7*2，第4人的等待時間為17.1=5.7*3，依此類推可以看出每個人的間隔時間為等差數(shù)列An，所以一行中每人總間隔時間可用等差數(shù)列求得Sn=5.7(25*50/n2-25/n

9、) 設W=銀行需支付的成本+顧客因等待受到的損失，即W=10n+5.7n(25*50/n2-25/n)= 10n+5.7 (25*50/n-25)=10n+7125/n-142.5 圖1-3 通過數(shù)學軟件分析，此圖像如上圖所示，最低點為（26.7,391.35394）。即當窗口數(shù)為27時，W最小，為391,k，可以達到“雙贏”的局面。4、實地調研 在得到結論后，為了結合實際情況，我們去附近的工商銀行做了一個調查：此統(tǒng)計表為某工商銀行周六早自9:00開門起9:3010:00營業(yè)情況圖1-4注：平均等待時間：20.2分鐘 平均業(yè)務受理時間：5.4分鐘 平均逗留時間：25.6分鐘圖1-5注：平均等待

10、時間：24分鐘 平均業(yè)務受理時間：1.7分鐘 平均逗留時間：25.7分鐘圖1-6注：平均等待時間：30.9分鐘 平均業(yè)務受理時間：0.8分鐘 平均逗留時間：31.7分鐘4.1結論從上表的數(shù)據(jù)中可以得知：每位客戶的業(yè)務辦理時長最低的只有不到1分鐘，卻要足足忍受半個小時的等待，尤其是還不知道什么時候自己才能輪得到。這就是癥結所在。很多銀行會開在相對繁華的地段，周圍有很多超市或者店鋪，是一些很好的消磨時間的地方。然而，有些客戶經(jīng)常會錯估時間導致過號。而過號對于銀行方面來說也是一個降低效率的因素。從我們構造的模型中得到的計算結果來看，當人數(shù)一定時，開設人數(shù)一半左右的窗口數(shù)是最好的，但是由于各種限制，這

11、個結論可能并不是最合適的。在當日的調研中，我們發(fā)現(xiàn)很多來到銀行辦理業(yè)務的都是附近的居民，由于不趕時間，而且受地域的限制，很多顧客就算是對等待時間頗有微詞，但因為不愿去離家更遠的地方而甘于忍受長時間排隊。而且從銀行方面來說，不能保證每天顧客的流量是否能夠全部“填滿”所謂的應該增加的窗口一天的工作量。所以伴隨著這種不確定性，銀行就在顧客可承受的范圍內，延長了大部分顧客的等待時間。在銀行的實際運營中，應該考慮到的不僅僅是開窗口的成本與顧客等待時間。而是更多，比如窗口空閑率：如果過早地完成了當日的“任務”，那么與“剛好”完成任務相比，雇最少的人，在下班前做完任務對銀行無疑是最為有利的做法。而且更重要的

12、一點是，基本上來該銀行辦理業(yè)務的顧客都是已經(jīng)在這里進行過一定儲蓄業(yè)務的，并不能隨意更換銀行，所以這種情況的發(fā)生，也為銀行排隊時間過長提供了理由。但是這個研究還是給了我們啟示：在有關成本與利潤的問題中，變量是多方面的，但是在某些方面，總會有一個最值可以通過數(shù)學方法求出，使利潤最高或成本最低。作為銀行，在權衡了窗口數(shù)與顧客之間的關系后，做出了這樣的選擇，實際上并不違背這次研究的原理。實際上它是考慮了更多的變量，才最終做出這樣的決定。4.2反思我們做的是最簡化的模型，固定了平均等待時間、平均逗留時間、平均辦理業(yè)務時間、窗口空閑率等。確定唯一變量為人數(shù)。而我們經(jīng)過實地調研，發(fā)現(xiàn)實際中還有很多因素會影響

13、到窗口數(shù)的多少，而且并不是人為可以控制的，我們做的僅僅是其中之一。由于知識能力水平有限，我們做的也只是最基本的。不過慶幸的是，我們的思路是正確的，而且在這個過程中我們運用了以前學過的數(shù)學方法，為我們的計算創(chuàng)造便利。我們知道，這是一個好的開始，并且我們相信，隨著知識水平的提高，我們會在以后的日子里繼續(xù)完善這個論文，爭取達到一個新的高度！5、 合作經(jīng)歷： 我們這次與對方的合作非常成功。從確定題目，到最終完成，雖然有過分歧，卻總能通過合適的方式解決并達成共識。這次題目是我們聯(lián)系生活經(jīng)歷與社會現(xiàn)實問題所所得出的。在研究中，我們首先建立了一個簡單的數(shù)學模型，來觀察統(tǒng)計在排隊中會出現(xiàn)的問題，我們用了抓鬮的方法來選取110的隨機數(shù)，設置一個排隊等待時間的模型，分了兩種情況，發(fā)現(xiàn)了在排隊辦理業(yè)務中窗口的設計合理與否對于顧客等待時間呈負相關，由此我們模擬了一個接近于現(xiàn)實生活中的情況，計算當顧客為50人時，合適的窗口數(shù)為多少，得到了一個函數(shù)公式并求出了值。最后，我們去家附近的工商銀行進了實地調研，統(tǒng)計了數(shù)據(jù)并做了思考。在這期間，我們從請教老師，到自己分析得出公式，再到工商銀行調研每一次的討論，都無異于一次頭腦風暴。我們深刻的體會到了數(shù)學的樂趣以及將所學知識融會貫通乃至實踐應用的成就感。希望以后還能有機會合作，領略到數(shù)學的無窮魅力！致 謝（第三張）感謝屈衛(wèi)國老師的指導感謝田恬同學在本小組在進行論文實地