數(shù)學建模在經(jīng)濟學領(lǐng)域的應(yīng)用

1、數(shù)學建模在經(jīng)濟學領(lǐng)域的應(yīng)用內(nèi)容摘要:隨著經(jīng)濟學的發(fā)展,數(shù)學模型在經(jīng)濟學中的應(yīng)用日益廣泛。當今社會,數(shù)學方法及數(shù)學模型已經(jīng)在經(jīng)濟學研究中占據(jù)重要地位,起到重要作用.關(guān)鍵詞:數(shù)學模型經(jīng)濟學應(yīng)用自19世紀30年代開始,數(shù)學就開始被應(yīng)用到經(jīng)濟問題研究中來,特別是70年代以來,出現(xiàn)了一股經(jīng)濟研究數(shù)學化的熱潮。自此,經(jīng)濟學的研究不再完全使用純粹的語言表達和推理方式,在研究過程中越來越多的使用數(shù)學語言、數(shù)學工具、數(shù)學方法和數(shù)學模型。其中數(shù)學模型在經(jīng)濟學中的應(yīng)用日益廣泛。某種經(jīng)濟理論確立之后,通過建立經(jīng)濟模型進而抽象出數(shù)學模型,再根據(jù)數(shù)學模型確定模型的未知量并對其進行嚴謹?shù)睦碚摲治?最終回到對經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的分析、

2、經(jīng)濟預測、政策評價與調(diào)整上,指導實際的經(jīng)濟活動。現(xiàn)代經(jīng)濟分析離開數(shù)學已寸步難行,企業(yè)、部門、地區(qū)乃至國家的決策和計劃管理,都需要有大量的數(shù)學專業(yè)人員參與分析和計算。利用數(shù)學可以對經(jīng)濟問題做出簡潔、精確的說明。單純的依靠文字描述進行經(jīng)濟理論的分析,不能保證所研究經(jīng)濟問題前提的規(guī)范性及推理邏輯的嚴密性,也不能保證研究結(jié)果的準確性和理論體系的嚴密性。而數(shù)學語言能夠使經(jīng)濟研究理論的表述更清晰準確,邏輯推理更嚴密。對于經(jīng)濟學研究來說,在其中的命題、假說等的推導過程中結(jié)合使用數(shù)學語言,可以使表述精確簡練、層次分明,從而可以減少由于定義不清所造成的爭論,提高效率.數(shù)學為經(jīng)濟學的研究提供了科學的方法。一個經(jīng)濟

3、現(xiàn)象的產(chǎn)生是由現(xiàn)實中的諸多因素共同影響的,但并不是所有的因素都可以進行嚴格的度量,所以要想對這些經(jīng)濟現(xiàn)象通過科學的研究有所發(fā)展,就必須對這些因素進行一定的考慮需要根據(jù)實際情況對其簡化和抽象。應(yīng)用數(shù)學方法推導出的有關(guān)經(jīng)濟學的理論更加明確具體,可以得到僅靠直覺無法或不易得到的經(jīng)濟結(jié)論。在經(jīng)濟研究中應(yīng)用數(shù)學方法使研究對象更加明確具體,使經(jīng)濟變量之間的關(guān)系數(shù)量化,使邏輯推理過程更加嚴謹,最終保證研究得出的結(jié)論具體明確、具有科學性,從而減少經(jīng)濟關(guān)系中。在經(jīng)濟學研究中應(yīng)用數(shù)學知識,進一步拓展了經(jīng)濟學的研究領(lǐng)域。一方面,經(jīng)濟事物的存在是質(zhì)與量的統(tǒng)一,對經(jīng)濟事物定性研究是定量研究的前提,而定性研究向定量研究發(fā)

4、展就是研究的深化。另一方面,數(shù)學使某些經(jīng)濟想法變成了理論,促使經(jīng)濟理論的創(chuàng)新,在這方面也拓展了經(jīng)濟學研究的領(lǐng)域。數(shù)學模型在經(jīng)濟學研究中的應(yīng)用實例分析(一運用數(shù)學模型解決經(jīng)濟最優(yōu)化問題在日常生活中,許多問題都可歸結(jié)為最大值和最小值的問題。在經(jīng)濟領(lǐng)域中相似的情況更多。每個消費者在符合市場條件的前提下,都在力求尋找對自己最有利的最優(yōu)消費方案,即花費最少的成本而收到最大的效益;每個工廠、生產(chǎn)企業(yè)也都在尋求一定的產(chǎn)量、價格,以獲得最大的利潤,也就是在一定的成本下達到最大產(chǎn)量,或是在一定的產(chǎn)量下花費最低的成本。雖然這些問題表現(xiàn)不同,但歸結(jié)起來都是關(guān)于最優(yōu)化的問題。這些有關(guān)的經(jīng)濟問題都可以應(yīng)用數(shù)學模型作為工

5、具,尋找到最優(yōu)方案。例如求函數(shù)的最大(小值與經(jīng)濟生活的最優(yōu)化問題就有密切聯(lián)系,可用來分析社會經(jīng)濟中生產(chǎn)者和銷售者的最大經(jīng)濟效益、資源的合理利用等一系列問題。下面舉例應(yīng)用導數(shù)的知識來優(yōu)化分析、解決這些問題。解決此類實際問題首先是如何將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再利用導數(shù)知識去分析它、解決它。例:設(shè)某商品可以保證至少銷售10000件,每件售價為50元。如果銷售量增加,可按每銷售增加2000件,每件降低2元的比例適當降低價格。已知生產(chǎn)此種商品的固定成本是60000元,可變成本為每件20元,設(shè)此種商品是以銷定產(chǎn)(即產(chǎn)量與銷售量相等的。試問產(chǎn)量為多少時,才能獲得最好的經(jīng)濟效益?解:設(shè)此種商品的產(chǎn)量是x件,則成本

6、函數(shù)為T(x=60000+20x,價格函數(shù)為,收入函數(shù)為D(x=xP(x,利潤函數(shù)為L(x=D(x-T(x,從利潤大于等于零的角度考慮利潤函數(shù)的定義域,解得x應(yīng)該是大于等于1560,并且小于等于38500,又因為原題中的至少銷售一萬件的條件,可定出產(chǎn)量x的范圍應(yīng)該是大于等于10000,并且小于等于38500。令D(X=0,解得x=30000,而此時D(X<0,并且D(x在10000,38500內(nèi)只有一個駐點,則一定存在對應(yīng)于收入最大的產(chǎn)量,由數(shù)學分析中導數(shù)的知識可知當此種商品的產(chǎn)量為三萬件時取得最大收入。同理,又令L(x=0,解得x=20000,而此時L(x<0,并且L(x在100

7、00,38500內(nèi)只有一個駐點,則一定存在對應(yīng)于利潤最大的產(chǎn)量,所以當產(chǎn)量為兩萬件時利潤最大。比較兩萬件和三萬件時的利潤收益,顯然兩萬件時的利潤收益要比三萬件時大,所以產(chǎn)量定為兩萬件時可獲得最大利潤,最大利潤為三十四萬元。可見經(jīng)營管理中不能單純地追求收入最大,而不考慮利潤如何,收入最大必須以利潤最高為約束條件(崔宜蘭,1997。上例說明應(yīng)用導數(shù)求極值問題在經(jīng)濟領(lǐng)域中具有實際的指導意義。實踐也證明,用數(shù)學模型對經(jīng)濟問題所作的定性分析和定量分析是嚴謹?shù)?、縝密的、可信的。(二數(shù)學模型對經(jīng)濟預測的指導經(jīng)濟預測借助于科學的方法和技術(shù)手段,根據(jù)客觀經(jīng)濟過程的歷史演變和發(fā)展規(guī)律,對未來一定時期內(nèi)經(jīng)濟發(fā)展的趨

8、勢和狀況進行描述、分析,并作出估計和推斷。目的在于通過對客觀經(jīng)濟現(xiàn)象歷史規(guī)律的探討和現(xiàn)狀的研究,求得對未來經(jīng)濟活動的了解,以減少不確定性因素對社會經(jīng)濟活動的影響,合理的使用人力、物力、財力,獲得最大經(jīng)濟效益。結(jié)合數(shù)學理論,預測方法主要有三種:時間序列的趨勢預測;回歸預測;投入產(chǎn)出預測。其中線性回歸分析法是經(jīng)濟預測的常用數(shù)學方法,即利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定變量之間的線性關(guān)系,并參考這種函數(shù)關(guān)系來預測未來經(jīng)濟發(fā)展趨勢。例如:某廠生產(chǎn)一種機床,最近幾年的產(chǎn)量和成本分別為:1995年共生產(chǎn)10臺機床,其中每臺的成本為600元;1996年共生產(chǎn)40臺機床,其中每臺的成本為300元;1997年共生產(chǎn)30臺機床,其

9、中每臺的成本為450元;1998年共生產(chǎn)20臺機床,其中每臺的成本為550元;1999年共生產(chǎn)50臺機床,其中每臺的成本為400元。問:如果該廠計劃年度產(chǎn)量為60臺,用一元回歸分析的方法預測該廠計劃年度的總成本。解:根據(jù)本題所給資料,在單位成本確定的情況下,影響總成本y的因素,只表現(xiàn)為產(chǎn)量x,其線性函數(shù)可描述為y=a+bx,其中a,b為待定參數(shù)。設(shè)預測的數(shù)學模型為yi=a+bxi,要使二者所有誤差的平方和Q達到最小,可以通過求函數(shù)極值的方法來解決。使Q達到最小誤差的平方和可用公式表示為:(為書寫方便,均用表示, n為計算的年數(shù)5,下同。為使誤差的平方和Q達到最小,對a,b求一階偏導數(shù),并令其各

10、式均為零,由題中已知條件得出:b=290,a=3800。則預測式為:y=3800+290x。即計劃年度生產(chǎn)60臺機床預測總成本為:y=21200元。由以上對于a,b的計算過程可知,對于任何一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)(xi,yi,都可以推算出a,b,并據(jù)此建立一元線性回歸方程,但x,y之間是否具有近似線性關(guān)系?該方程所揭示的規(guī)律是否比較準確?預測的精度如何?都沒有給予說明。因此為了把握預測的準確程度還要求計算相關(guān)系數(shù),進行相關(guān)性檢驗。設(shè)相關(guān)系數(shù)為r,且r的取值為-1r1,r的絕對值越接近于1,表明x與y之間線性關(guān)系越密切。當r=1,表明x 與y之間完全正相關(guān);當r=-1,表明x與y完全負相關(guān);當r=0,表明x

11、與y之間不存在任何聯(lián)系。在預測分析中由于產(chǎn)量或成本均不會為負,故只有IrI趨近于1才有實際意義。利用相關(guān)系數(shù)的計算公式,經(jīng)過計算得到本例中r=0.9073,這說明該種產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品總成本具有高度的正向相關(guān)性,因而計算結(jié)果是有效的(程小紅, 2000。(三數(shù)學模型對經(jīng)濟政策的指導政策評價是指決策者從眾多的決策中選擇一種最優(yōu)的政策來執(zhí)行。其中用到彈性函數(shù)、乘數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學概念。如果該地人均月收入增加了2.50元,政府為了讓種植戶也增加收入,決定該經(jīng)濟作物的價格提高39%。同時,政府為了不使消費者受太大的損失,決定對消費者進行補貼,那么,應(yīng)該補貼多少比較合適呢?根據(jù)需求函數(shù)公式,由

12、全微分公式得dy=fx(x,pdx+fp(x,pdp,近似地有yf(x,p。當p=1.30,x=50時,由于x=2.5,p=0.39,則y-1.3。由此計算結(jié)果可知,如果該地人均月收入增加2.50元、該經(jīng)濟作物的價格提高39%的前提下,每月該經(jīng)濟作物人需求量減少1.3斤。所以,為了保持需求量不減少,在提價39%的前提下,通過計算可知大約人均每月應(yīng)補貼2.35元才能達到目的(楊麗賢、曹新成、關(guān)麗紅,2006。經(jīng)濟學研究中應(yīng)用數(shù)學方法的注意事項經(jīng)濟學是人類活動中有關(guān)經(jīng)濟現(xiàn)象和經(jīng)濟行為的一種力量,它作為社會科學的一個分支,受到歷史、社會、文化、道德等諸多方面的影響,并不是所有的經(jīng)濟活動和經(jīng)濟關(guān)系都可

13、以用數(shù)學進行量化研究。甚至有些經(jīng)濟學思想是不能轉(zhuǎn)化成簡單的數(shù)學模型的。在經(jīng)濟研究中過分強調(diào)數(shù)學的應(yīng)用,會失去經(jīng)濟學作為社會科學的人文性和真正的科學性。經(jīng)濟學研究中要綜合應(yīng)用各種方法,不能將數(shù)學作為經(jīng)濟研究的唯一方法。在經(jīng)濟研究中過分強調(diào)數(shù)學的應(yīng)用,會導致經(jīng)濟研究資源和研究方向的單一化,不利于經(jīng)濟學的發(fā)展。一種唯一的方法不可能形成對真實的經(jīng)濟事物的正確認識,經(jīng)濟學是一門非常復雜的科學體系,數(shù)學只是其研究方法中的一個,而不是全部。研究經(jīng)濟學的方法包含多個層次:一般方法是唯物辯證法和歷史唯物主義;特殊方法是系統(tǒng)抽象理論;輔助方法是電腦及信息手段,而數(shù)學方法是經(jīng)濟研究中某些方面的具體方法。所以,在經(jīng)濟

14、研究中必須綜合應(yīng)用各種方法,才能使相關(guān)的經(jīng)濟問題有效解決,才能使經(jīng)濟理論真實有效,具有真正的科學性。正如凱恩斯曾經(jīng)說過的那樣,“一個好的經(jīng)濟學家,在某種程度上必須是一位數(shù)學家、歷史學家、政治學家和哲學家。”經(jīng)濟研究在應(yīng)用數(shù)學方法時,要力求數(shù)學條件的設(shè)定與真實的經(jīng)濟現(xiàn)實相一致,不可設(shè)定一種脫離現(xiàn)實的完全競爭的經(jīng)濟模型。運用數(shù)學方法演繹出來的理論,是在給定的假設(shè)條件下的有效結(jié)論,如果假設(shè)是錯誤的,那么得到的結(jié)論也不是真實事物的表現(xiàn)。正如某些經(jīng)濟學家所說:“數(shù)學像磨盤一樣,把撒在下面的東西磨碎,如果撒下的是蒺藜,怎么也不可能得到面粉的?！彼?要保證經(jīng)濟理論的真實性,就要不斷地追求假設(shè)條件和經(jīng)濟現(xiàn)實

15、的最大接近,要找好數(shù)學與經(jīng)濟理論的結(jié)合點,提高解決問題的能力,使數(shù)學成為經(jīng)濟理論研究的科學依據(jù)。綜上,經(jīng)濟科學的發(fā)展,要求繼續(xù)深入研究的同時,也要求加強數(shù)量關(guān)系的分析研究,以便更有效地認識和利用經(jīng)濟規(guī)律。因此,數(shù)學方法作為輔助工具,會一直在經(jīng)濟研究中被成功地運用。相信隨著經(jīng)濟和數(shù)學的共同發(fā)展,在經(jīng)濟研究中還將更進一步地運用現(xiàn)代數(shù)學方法和更多的數(shù)學模型。數(shù)學模型作為研究的一種方法,是源于現(xiàn)實的,最終還要回到現(xiàn)實中去,去接受現(xiàn)實的檢驗,經(jīng)得住現(xiàn)實檢驗的經(jīng)濟模型才能得以有效應(yīng)用。數(shù)學建模的目的是構(gòu)建數(shù)學建模意識,培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力,在諸多的思維活動中,創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動,是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力,主要應(yīng)培養(yǎng)學生靈活運