七年級(jí)上冊(cè)幾何提優(yōu)：與角相關(guān)的問題

1、幾何提優(yōu)二與角相關(guān)的問題閱讀與思考角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角.角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角.由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個(gè)直角或是一個(gè)平角白角仍然得到我們的特別關(guān)注.兩角之和為直角的，這兩個(gè)角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證明中都有十分重要的地位 .解與角有關(guān)的問題常用到以下知識(shí)與方法：1 .角的分類；2 .角平分線的概念；3 .互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角；4

2、 .用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計(jì)算 .例題與求解【例1】如圖，在3X3的網(wǎng)格上標(biāo)出了/ 1和/2,則/1+/2=解題思路：對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚恚ㄟ^拼補(bǔ)求出N1+N2的值.【例2】如果/“與互補(bǔ),且,則下列表示 /P的余角的式子中：903-ZP ；/a 90電；1（/a +/P）；1（50（ -/P）.其中正確的有（）22A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān)【例3】已知/AOB=80，OC是不在直線 OA, OB上的任一條射線.OM, ON分別平分/ AOC,/BOC.求/ MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）AOi3

3、9A解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵.【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過 x分鐘秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分，求 x的值.解題思路：把秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個(gè)角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值.【例5】(1)現(xiàn)有一個(gè)19。的“模板”(如圖)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上 畫出1的角來.(2)現(xiàn)有一個(gè)17。的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1。的角來？(3)用一個(gè)21。的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1。的角來？對(duì)(2) (3)兩問，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫法步驟；如果不能，請(qǐng)你說明理由 解題思路：若只連續(xù)使用模板

4、，則得到的是一個(gè)19。(或17。或21。)的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的關(guān)鍵是在于能否找到 19。(或17?；?1。)的一個(gè)倍數(shù)與某個(gè)特殊角的某個(gè)倍數(shù)相差10.【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，/ COD是直角，OE平分/ BOC.(1)如圖，若 ZAOC =30 ,求/ DOE的度數(shù)；(2)在圖中，若 NAOC =0 ,直接寫出/ DOE的度數(shù) (用含”的代數(shù)式表示)；(3)將圖中的/ DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖的位置.探究/ AOC和/ DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； 在/ AOC的內(nèi)部有一條射線 OF ,滿足ZAOC -4ZAOF =2/BOE +/AOF，試確定

5、/ AOF與 /DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由圖ECO解題思路：(1)利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出/DOE的度數(shù)；(2)先根據(jù)/ DOE與/COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用/BOC表示出/ COE,再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用“表示出所求角的度數(shù)；(3)可設(shè)ZBOC為一個(gè)未知數(shù)，分別表示出/ AOC與/DOE,可得相應(yīng)關(guān)系；結(jié)合把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可能力訓(xùn)練1 .已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角余角的6倍，那么這個(gè)角等于2 .如圖，ZBOD =45、ZAOE =90 那么不大于 90的角有 個(gè)，它們的度數(shù)之和3 .如圖，ZAOC =/BOD =150,若 ZAOD =3/BOC ,則

6、/BOC 等于D4 .如圖，O是直線 AB上一點(diǎn)，ZAOD =120, /AOC=90： OE平分/ BOD,則圖中彼此互補(bǔ)5 . 一個(gè)角的補(bǔ)角的 工是6。，則這個(gè)角是（）17A. 68 B. 78 C. 88 D. 98 6 .用一副三角板可以畫出大于0且小于176。的不同角度有（）種A. 9 B. 10 C. 11 D. 127 .如圖，若ZAOB=180S, / 1是銳角，則/ 1的余角是（）A. 1. 2 - 1 B. 1 2-3. 1 C.2-. 1) D.-(. 2 . 1) 222238.如圖，ZAOB =180, OD是/ COB的平分線，OE是/ AOC的平分線, 的余角相等

7、的角是()設(shè)ZBOD =a ,則與eA. / COD B. / COEC./DOA D. Z COA9.如圖，已知 NCOB=2/AOC, OD 平分 / AOB,且/COD =19, 求/AOB的度數(shù).10 .如圖，已知/ AOB與/ BOC 互為補(bǔ)角，OD 是/ AOB的平分線，OE 在/ BOC內(nèi)，1一 ，、，, -，/BOE=/EOC, /DOE =72。求/ EOC 的度數(shù). 211 .已知 /AOB=80 , OC 平分/AOB, /COD =60) OE 平分 Z COD.求 / AOE 的大小.12 .如圖，已知 OB, OC, OD為/AOE內(nèi)三條射線.(1)圖中共有多少個(gè)角

8、?(2)若OB, OC, OD為/ AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400 ,求/ AOE的度數(shù).(3)若/AOE =89*, ZBOD =30,求圖中所有銳角的和B級(jí)1 .已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角余角的3倍大10 ,則這個(gè)角的度數(shù)是 .2 . a, 3, 丫中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算(a+P+Y)的值時(shí)，有三位同15學(xué)分別算出了 23 , 24。，25。這三個(gè)不同的結(jié)果.其中只有一個(gè)是正確的答案，則 o(+P+= .3 .如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC, OD, OE, OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個(gè)圖形中，不大于平角的角共有 個(gè).ECDaJ O4 .如圖，射線

9、 OC, OD, OE, OF分別平分/ AOB,則 ZAOB =.A / O5 . 4點(diǎn)鐘后，從時(shí)針到分針第二次成90。角，共經(jīng)過（A. 60B. 30C. 40D. 336 .如圖卷一個(gè)3X3的正方形，則圖中 /1+N2+N3 +A. 270B. 315C. 360D. 405 / COB, /AOC, /EOC,若/FOD=24。:）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）|+N9的和等于（）32F7 .已知，OM, ON, OP 分別是/ AOB, / A. /AOP a/MON B. /AOP =/MON8 .如圖，/ AOC 是直角，/COD =21.5,AOE Q ()BOC, / AOC的平

10、分線，則下列各式中成立的是（）M p b bOC. /AOP 0,且 m-2n 與(6-n)2 互為相反數(shù)。m-2n =02且(6- n) =0。 m = 12 ,門=16,即慶8=12, CD =6(2)有兩種情況，如圖.V 3國(guó)111.1.1 .當(dāng) C 在 AB 上時(shí)，MN =-AC + BC+-BD = -(AB- BC) + BC+(CD- BC)二一？ 222221 .(12-4)+4 + ? (6 4)=9；當(dāng) C 在 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，MN =MB +BC+CN = AB 2+ BC +CD - AM - ND1八1八，一= 12+4+6- -? (12 4)- -? (4 6

11、) = 22- 8- 5 = 9 ,綜上可 22知，MN =9(3)作圖如圖 ，結(jié)論 正確，設(shè)BP =x，則AP = 12 + x, PC=6 + xPA+PB x + 12+x 12 + 2x=2 ,當(dāng)然對(duì)于 我們也不難找出其值不為PC6 + x6 + xPA- PB x + 12- x 12定值的原因。 * =, x變化，其值也變化PC 6 + x 6 + xJ C 5P底1 5cm或1cm提示：當(dāng)A , B在。點(diǎn)兩側(cè)時(shí),A級(jí)4+6EF = 5cm ;當(dāng) A , B 在 O 同一側(cè)2g6- 4時(shí)，EF =1cm2 2023 41.6 提示：所有線段長(zhǎng)度總和為 4AB+6BC+6CD+/AO

12、C = 80x, . MON = / MOC + / NOC = 40.(2)如圖，若 OC 在 AOB 內(nèi)，設(shè)/ BOC = x,則/ AOC=80 + x./ MON = / MOC / NOC = 40.(3)如圖，若 OC 在 /AQB內(nèi)，設(shè)/ BOC =x,則 / AOC = 280 x./ MON = / MOC + / NOC= 140.(4)如圖，若 OC 在/AOB 內(nèi)，設(shè)/ BOC = x,則/ AOC = x-80./ MON = / NOC / MOC = 40,綜上所述：/ MON = 40或 140 ,例4x= 14竺提示：顯然x的值大于1小于2, 1427依題意得

13、 6x 360(x-1)=360(x-1)-0. 5x.例5提示：設(shè) 模板”角度為“，假設(shè)可由k個(gè)口角與t個(gè)180。角畫出1。的角來，即k, t滿足等式ka 180t= 1 .(1)當(dāng)a= 19時(shí)，取k=19, t=2,即用模板連續(xù)畫出 19個(gè)19的角，得到361的角，去掉360的周 角，即得1。的角.(2)當(dāng)a= 17時(shí)，即17k- 180t=1,此時(shí)，k=53, t=5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個(gè)17的角，得到901。的角，除去兩個(gè)周角和一個(gè)平角，即得 1。的角.(3)當(dāng)a= 21時(shí)，即21k 180t=1無整數(shù)解，不能用 21的模板與鉛筆畫出1的角.例 6 (1) /BOC=180/

14、AOC=180 30 = 150 .又 QE平分/ BOC, Z COE= 1 Z BOC= 75, Z DOE = 90 - 75 = 15.2a.(2) / DOE =90。- 180 - = !22/ AOF =y.則(3)/ AOC= 180 - 2Z COE = 180 2(90 Z DOE) = 2Z DOE ;設(shè)/ DOE=x, / AOC 4/AOF = 2/ DOE 4/ AOF = 2x 4y. 2/ BOE + Z AOF = 2/ COE + Z AOF = 2 ( 90 / DOE) +/AOF = 2 ( 90-x ) + y= 180 2x+y.故 2x4y=18

15、0 2x+ y,即 4x5y=180 .所以 4/DOE 5/ AOF = 180 .A級(jí)1. 722. 10 450 提示：一共有 10 個(gè)角，其中/ AOE = 90, /BOD = 45, / AOB 十/ BOE = 90, / AOC + /COE=90, / AOD+/ DOE = 90, / BOC + / COD = 45 .故這 10 個(gè)角的度數(shù)和為 90 4 + 45X2=360+90= 450.3. 304. 6 提示：/ AOC 和/ BOC, / AOD 和/ BOD , / AOE 和/ BOE, / AOE 和/ DOE , / AOE 和/ COD , / AO

16、D 和/ COE.5. B 6. A7. C 8. B319 . 114 提?。涸O(shè)/ AOC = x ,是/ BOC = 2x , /AOD=(x) , /COD=(x) , /AOB = /AOC + 22/ BOC = 11410 .設(shè)/ AOD = / BOD=x，則/ BOC= 1802x.又. / BOE= 1/EOC, ./ BOE= 1 /BOC= - (180 - 2x)233又 / BOD + /BOE = /DOE = 72。，.X+1(180。2x) = 72,解得 x=36 .3則/ EOC= 2 /BOC= 2(180。一2x) = 72.3311. (1)如圖，若

17、OD 在/AOB 內(nèi)時(shí)，. / AOC = Z BOC= 1 Z AOB = 40, /COE = /DOE=1/22COD = 30, ./ AOE=Z AOC + Z COE=70.(2)如圖，若 OD 在 /AOB 內(nèi)時(shí)，同理，/ AOC = 40, ZOOE = 30, Z AOE= Z AOC-Z COE = 10.綜上所述：/ AOE=70或10. 12. (1)共有：4+3+2+1 = 10 個(gè)角.(2) /AOE = 80.(3)所有銳角度數(shù)和為：416 .B級(jí)1. 502. 3453. 154. 64提示：設(shè)/ EOF = /COF = x,則/ AOE= 2x. . . / BOC = Z AOC = 2x+x+x= 4x, / COD = / BOD= 1 /BOC = 2x,又FOD = / FOC + / COD = x+ 2x=3x=24 , x= 80,/ AOB = 8x= 64 .25. D6. D沿AB對(duì)折，上下圖形能夠完全重合，則/1+Z 9=Z 4+Z 8=Z 2 + Z 6= 90.7. B8. D9,提示：/ COE+Z BOE= 90, / DOF =45, Z AOF + Z BOD = 135.10 .由題中條件知/ A30A2/A20A1 = 2 ，/ A40A3/