全等三角形難題集錦

1、1 .如圖，已知等邊 ABG P在AC延長線上一點，以PA為邊作等邊 APE,EC延長線交BP于M,連接AM,求證：(1) BP=CE (2)試證明：EM-PM=AM.Word資料2、點C為線段AB上一點， ACM, 4CBN都是等邊三角形，線段 AN,M皿于點E, BM,CN交于點F。求證:(1) AN=MB.(2)將 ACMg點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否依然成立？ (3) AN與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。5 .已知，如圖所示，在 4ABC和4ADE中，AB = AC , AD =AE , /BAC=/DAE ,且點B, A, D在一條直線上，

2、連接 BE, CD, M, N分別為BE, CD的中點.(1)求證： BE =CD ; AM =AN ；(2)在圖的基礎(chǔ)上，將 4ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180 ,其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立圖圖ABC和正三角形CDE AD與BE交于點6 .如圖，C為線段AE上一動點(不與點 A, E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形O, AD與BC交于點P, BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ以下五個結(jié)論: AD=BE; PQ / AE; AP=BQ;DE=DR Z AOB=60 CP=CQ CPM等邊三角形.共有2對全等三角形CO平分/ AOPCO平分/ BCD恒成

3、立的結(jié)論有(把你認為正確的序號都填上).10.已知：如圖，ZXABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG / BC ,交AC于點G ,在GD的延長線上取點 E ,使 DE =DB ,連接 AE, CD .(1)求證：AGEzXDAC；(2)過點E作EF / DC ,交BC于點F，請你連接AF ,并判斷4AEF是怎樣 的三角形，試證明你的結(jié)論.11、如圖1,以 ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形 與 AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由.ABDE和正方形 ACFG ,連結(jié)EG，試判斷zABC（圖1）（把你認為正確的序號都填上）9如圖，C為線段AE上一動點（不與點A, E重合），在AE同側(cè)分別作

4、正三角形 ABC正三角形 CDE AD與BE交于點O,AD與BC交于點巳BE與CD交于點Q,連結(jié)PQ以下五個結(jié)論: AD=BE; PQ / AE; AP=BQ DE=DR /AOB=60 .恒成立的結(jié)論有如圖所示，已知 ABC和4BDE都是等邊三角形， 且A、B D三點共線.下列結(jié)論：AE=CDBF=BGHB平分/ AHD/ AHC=60 ,4 BFG是等邊三角形； FG/ AD.其中正確的有（）A. 3個B . 4個C. 5個D. 6個1、在 ABC 中，AB=BC=2, /ABC =120°,將 ABC繞 a (0° <a <90 )得 ABCi, AB 交

5、 AC 于點 E, A1cl分別兩點.如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA,與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論;2 .如圖所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90° , AD是BC邊上的中線，過 C作AD的垂線，交AB于點E,交AD 于點F,求證：/ ADC= / BDE3 .如圖1,四邊形ABC虛正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D,且直角頂點 E在AB邊上滑動（點E不與點A, B重合），另一條直角邊與/ CBM 的平分線BF相交于點F.如圖141,當(dāng)點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE, EF的長度，猜想 DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是

6、 ; 連接點E與AD邊的中點N猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ;請證明你的上述兩猜想. 如圖142,當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在 AD邊上找到一點 N, 使得NE=BF進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明A E B M圖 14 一 1E B M國 14-2已知 RtzXABC 中，AC=BC, /C=90: D 為 AB邊的中點，NEDF=90°,NEDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC、CB （或它們的延長線）于 E、F.1當(dāng)/EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE_LAC于E時（如圖1）,易證S.DEF +SACEF =-SAABC.2當(dāng)/EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在

7、圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立,請給予證明;若不成立，SA DEF、Szxcef、Saabc又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明1 .已知AC/BD, / CAB和/ DBA的平分線 EA EB與CD相交于點 E.求證：AB=AC+BD.2 .等邊 ABC D為ABCZ卜一點，/ BDC=12 0 , BD=DC / MDN=6 0射線DlW 直線AB相交于點 M,射線DN與直線AC相交于點N,Word資料N在邊AB> AC上，且 DM=D時，直接寫出 BM NG MN間的數(shù)量關(guān)系.N在邊AR AC上，且DW DN時，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明.N在邊

8、AR CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出 BM NG MN之間的數(shù)量關(guān)系.3 .如圖1, BD是等腰RtMBC的角平分線，/ BAC = 901(1)求證 BGAaAD(2)如圖2, AF ± BD于F, CE，BD交延長線于E,求證：BD=2C圖21、已知，如圖1,在四邊形 ABC中, BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC 求證：/ BAB/BCD180 。2、如圖，四邊形 ABCD, AC平分/ BA口 CH AB于E, AD+AB=2AE則/ B與/ ADCS補.為什么?3、如圖 4,在 ABC中，BD=CD / ABD之 ACD,求證 AD平分/ BAC.4

9、.如圖，在 ABC中/ ABC,/ ACB的外角平分線交 P.求證:AP是/ BAC的角平分線Word資料圖十一5、如圖在四邊形 并證明你的猜想,ABCM, AC平分/ BAD / ADO Z ABG= 180度，CH AD于E,猜想 AR AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系,6、如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC勺角平分線 AD,CE相交于點 O,求證：OE=ODWord資料DBE=CF7.如圖所示，已知在 AEC中，/ E=90° , AD平分/ EAG DFL AC,垂足為F, DB=DC求證:8、如圖，OP是/ MON勺平分線，請你利用t圖形畫一對以O(shè)P所在直

10、線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在 ABC43, / AC配直角，/ B=60° , AD CE分別是/ BAC / BCA勺平分線，AD CE相交于點F。 請你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而 成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。(1)中的其它條件不變，請問，你在 (1)中所得結(jié)論是否仍然9.已知：如圖， BF，AC于點F, CH AB于點E,且BD=CD求證：(1) BD珞 CDF (2) 點D在/ A的平分線上D10、如圖在 ABC中，AB>AC, / 1=

11、/2, P為AD上任意一點，求證11、(2007 年成都)已知：如圖， ABC43, / AB(=45° , CDLAB于 D, BE平分/ ABC 且 BE!AC于 E,與 CDf交于點F, H是BC邊的中點，連結(jié) DH與BE相交于點 G(!)求證：BF=AQ(2)求證：CE=1BF;2 CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。12、（2009年赤峰市）如圖，在四邊形ABCD,AB=BC BF是/ABC的平分線，AF/ DQ連接AGCF,求證：CA是/DCF的平分線。1、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCO正方形，點E是邊BC的中點./AEF = 90，且EF交正

12、方形外角/DCG的平分線 CF于點F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點 M連接ME則AM=EC易證 AAME AECF ,所 以 AE =EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點 E是邊BC上（除B, C外）的任意一點”，其它條 件不變，那么結(jié)論" AE=EF'仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理I（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF'仍然成立.你 認為

13、小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.圖3G/C=40° , AP平分 / BAC& BC于 P, BOW / ABCJc ACT Q,求證：AB+BP=BQ+AQ4.問題背景，如下命題: 如圖1,在正三角形 ABC中,N為BC邊上任一點，CM為正三角形外角/ ACK的平分線，若/ ANM=60，則AN=NM如圖2,在正方形 ABCM ,N為BC邊上任一點，CM為正方形外角/ DCJ平分線，若/ ANM=90,則AN=NM 如圖3,在正五邊形 ABCD中,N為BC邊上任一點,CM為正五邊形外角/ DCK勺平分線，若/ ANM=108,則AN=NM任

14、務(wù)要求： 請你證明以上三個命題；請你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4,在正n （ n左）邊形ABCDEF中,N為BC邊上任一點，CM為正n邊形外角/ DCK的平分線，問當(dāng)/ ANMU?于 多少度時，結(jié)論AN=N械立（不要求證明）. 如圖5,在梯形ABCD43,AD / BC,AB=BC=CD,俄/ BC延長線上一點，CM為/ DCN的平分線，若/ ANM= ABC請問AN=NM是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由5 . （1）如圖，已知在正方形 ABCD43, M是AB的中點，E是AB延長線上一點， MNL DM且交/ CBE的平分線于 N.試判 定線段MD MN的大小關(guān)系；（2）

15、若將上述條件中的“ M是AB的中點”改為“ M是AB上或AB延長線上任意一點”，其余條件不變.試問（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.P已BD, PF± AC, E、F為垂足.求6 .如圖，在 ABC中，/ A=90° , D是AC上的一點，BD=DC P是BC上的任一點,證：PE+PF=AB1.如圖，已知 ABC 中，AB=AC=6cm Z B=Z C, BC=4cm ,嵐 D 為 AB 的中點.(1)如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點 Q在線段CA上由點C向點A運動.若點Q的運動速度與點 P的運動速度相等，經(jīng)過

16、 1秒后， BPD與4CQ提否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點 P的運動速度不相等，當(dāng)點 Q的運動速度為多少時，能夠使 BPM4CQ也等？(2)若點Q以中的運動速度從點 C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點 B同時出發(fā)，都逆時針沿 ABC三邊運動，則經(jīng)過 后，點P與點Q第一次在 ABC的邊上相遇？(在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程)2 .已知：在 ABC中，/ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD,以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角 ADE 解答下列各題：如果 AB=AC / BAC=90 .（i）當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段 BD, CE之間的位置關(guān)系

17、為（ii ）當(dāng)點D在線段BC的延長 線上時，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？3 . （2012?內(nèi)江）已知 ABC為等邊三角形，點 D為直線BC上的一動點（點 D不與B C重合），以AD為邊作菱形 ADEF （A、D E、F按逆時針排列），使/ DAF=60 ,連接CF.（1）如圖1,當(dāng)點D在邊BC上時，求證： BD=CFAC=CF+CD（2）如圖2,當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+C諼否成立？若不成立，請寫出AG CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3,當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AG CF、CD之間存在的數(shù)

18、量關(guān)系.M E圖1圖2圖31.在4ABC中，AD±BC, BEXAC, D、E為垂足，AD與 BE交與點 H, BD=AD求證：BH=ACBE! AD2. （08河北中考第24題）如圖14-1,在4ABC中，BC邊在直線l上，AQ BC,且AC = BC. EFP的 邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP. （1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并 寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將4EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP 交AC于點Q,連結(jié)AP, BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3） 將4EFP沿

19、直線l向左平移到圖14-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結(jié)AP, BQ你 認為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明 理由.圖 14-23. （2006年遼寧沈陽25題）.如圖1,在正方形ABCDK 點E、F分別為邊BG CD的中點，AF、DE相 交于點G,則可得2論：AF=DEAF，DE.（不需要證明）（1）如圖2,若點E、F不是正方形ABCD勺邊BG CD的中點，但滿足CE=DF則上面的結(jié)論、是 否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）(2)如圖3,若點E、F分別在正方形ABCD勺邊CB的延長線和DC的延長線上，且C

20、E=DF止匕時上面 的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由 第25題4.如圖 1 , A、E、F、C在同一條直線上,AE=CF過E、 F分另1J作 DEL AC,BF±AC,若AB=CD試說明B葉分EF;若將 DEC勺邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時，其余條件不變，BD是否還平分EF,請說明理由。5.如圖， ABC43,/ AC990°,AO BCAE是BC邊上的中線，過C作CFAE垂足為F,過B作BD±BC交CF的延長線于D.Word資料6.E、求證：（1） AEE= CD(2)若 AC= 12 cm,求 BD的長.如圖，兩個全等的含

21、30°、60°角的三角板 ADE和三角板 ABC放置在一起，/ DEAhACB=90 , / DAE4 ABC=30 ,7.已知BE, CF是4ABC的高，且BP=AC CQ=AB試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系A(chǔ)、C三點在一條直線上，連接 BR取BD中點M連接ME MC試判斷 EMM形狀，并說明理由.8.在 RtABC中，AC= BG / ACB= 90°, D是 AC的中點，DGLAC交 AB于點 G.（1）如圖1, E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF連結(jié)EF與CF ,過點F作FH，F(xiàn)C,交直線AB于點H.求證：DG=DC判斷FH與FC

22、的數(shù)量關(guān)系并加以證明.（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點 F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖 2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變.（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）Word資料30、如圖，AD/BC, AD=BC AE±AD, AF±AB,且 AE=AD AF=AB 求證：AC=EF1.直線CD經(jīng)過WBCA的頂點C, CA=CBE、F分別是直線 CD上兩點，且 NBEC CFA .(1)若直線C陳過/BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖 1,若dBCA=90，,Na =9。&quo

23、t;則 EF|BE-AF (填“或“=”號)；,并給予證如圖2,若0c </BCA<180,，若使中的結(jié)論仍然成立，則Za與/BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是 (2)如圖3,若直線CD經(jīng)過/BCA的外部，/a=NBCA,請?zhí)骄縀R與BE AF三條線段的數(shù)量關(guān)系, 明.圖1圖2圖32.已知：如圖，四邊形 ABCD,AC平分/BAD CELAB 于 E,且 ZB+ZD=180) 求證:AE=AD+BED為頂點作一個60。角，角的兩邊EFD3 .操作：如圖， ABC是正三角形， BDB頂角/ BDC= 120°的等腰三角形，以分別交AB AC邊于M N兩點，連接 MN探究：線段BM MIN

24、 NC之間的關(guān)系，并加以證明.4 .如圖，已知 E是正方形 ABCD勺邊CD的中點，點 F在BC上，且/ DAE至FAE 求證：AF=AD-CF5 .如圖所示，已知 ABC中，AB=AC D是CB延長線上一點，/ ADB=60 , E是AD上一點，且 DE=DB求證：AC=BE+BC6、在 ABC中，BD=DC ED± DF.求證：BE+ CF> EF.Word資料已知，如圖，三角形 ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 , F是AB的中點，直線l經(jīng)過點C,分別過點A、B作l的垂 線，即 AD± CE, B已 CE(1)如圖1,當(dāng)CE位于點F的右側(cè)時，求證： AD

25、隼 CEB(2)如圖2,當(dāng)CE位于點F的左側(cè)時，求證：ED=BE-AD(3)如圖3,當(dāng)CE在 ABC的外部時，試猜想 ED AR BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析： (1)利用同角的余角相等得出/CADh BCE，進而根據(jù) AAS證明 ADe CEB(2)根據(jù)AAS證明AAD% CEB后，得其對應(yīng)邊相等，進而得到ED=BE-AD(3)根據(jù) AAS證明 AD隼 CEBB,得 DC=BE AD=CE 又有 ED=CE+DC進而得至U ED=AD+BE 解答：(1)證明：: AD ICE, BE!CE, / ADCh CEB=90 ./ A

26、CD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADC CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS .(2)證明：AD! CE BEX CE, / ADCh CEB=90 . / ACD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADCf CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS . DC=BE AD=CE又 ED=CD-CEED=BE-AD(3) ED=AD+BE證

27、明：- AD± CE, BEX CE, / ADCh CEB=90 . / ACD它 ECB=90 , / CAD+Z ACD=90 , / CADh BCE (同角的余角相等).在 ADCf CEB 中/ ADCh CEB / CADW BCE AC=BC ,. .AD隼 CEB (AAS .DC=BE AD=CE又 ED=CE+DCED=AD+B評點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進行等量交換，證明線段之 間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3, AOtB COD勻是等腰直角三角形，/ AOB= Z COD= 90o,

28、(1)在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。(2)若 CO噬點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達圖 2的位置，請問 AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么?(3)若 CO璘點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達圖3的位置，請問 AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么?考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：(1)根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進行解答.(2)證明 DO由ACO/A根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行說明.解答：解：(1)相等.在圖1中， AOB COD勻是等腰直角三角形，/ AOB=Z COD=90 ,OA=OB OC=OD 0A-0C

29、=0B-OD, . AC=BD（2）相等.在圖 2 中，0D=OC / DOBW COA OB=OA . DO里 COA，BD=AC點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不 變的，找出圖形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角.4. （2008河南）.（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在 ABC中，AB=ACP是ABS部任意一點，將 AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ使/ QAF/BAC連接BQ CP則BQ=CP"小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖的分析，證明了AB軍AACF?從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形A

30、BC：外，原題中的條彳不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP仍然成立，請你就圖給出證明.圖圖考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析：此題的兩個小題思路是一致的；已知/ QAP=/ BAC那么這兩個等角同日減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得/ QAB=/ PAC而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ且已知 AB=AC即可由SAS證得 AB* ACR進而得出 BQ=CP勺結(jié)論.解答：證明：（1） ;/ QAPW BAC.Z QAP-Z BAP=/ BAC-/ BAP,即 / QABh CAP在 BQ用口 CPA中，AQ=AP / QABh CAP AB=AC ,.BQ&

31、 CPA （SAS ；BQ=CP（2） BQ=CP5然成立，理由如下：/ QAPh BAC / QAP它 PAB=/ BAC-+Z PAB,即 / QABh PAC在 QAB PAC 中，AQ=AP / QABh PAC AB=AC ,.QA望 PAC （SAS ,BQ=CP點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答 本題的關(guān)鍵.5. (2009山西太原)將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開， 得到圖中的兩張三角形膠片 4ABC和4DEF .且 ABC ADEF 。將這兩張三角形膠片的頂點 B與頂點E重合，把 DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這

32、時 AC與 DF相交于點O .圖圖當(dāng)4DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點 B(E) , C, D在同一直線上時， ZAFD與/DCA的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng)4DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？ AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.困點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：探究型.分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，得/ AFD4 D+/ ABC /DCA=/A+/ABG 從而彳#出/ AFD4DCA（2）成立.由 ABe DEF7,可證明/ ABF土 DEC 則 ABH DEC 從而證出/ AFD叱 DCA（3） BOLAD.由ABe DEF,可證得點 B在AD的垂直平分線上，進而證得點

33、O在AD的垂直平分線上，則直線 BO是AD的垂直平分線，即 BOL AD.解答：解：（1） Z AFD=/ DCA（或相等）.（2） / AFD1 DCA（或成立），理由如下：方法一：由 AB集 DEF7,彳A AB=DE BC=EF（或 BF=EC , / ABC4 DER / BAC=Z EDF. /ABC-/ FBC=Z DEF-/ CBR / ABF土 DEC在 ABFA DEC中,AB=DE / ABF4 DEC BF=EC AB陣 DEC / BA EDC / BAC-Z BAF=Z EDF-/ EDC / FAC玄 CDF / AOD= FAC叱 AFD叱 CDF吆 DCA /

34、AFD4 DCA方法二：連接AD同方法一 ABF DECAF=DC由 AB黃 DEF 彳導(dǎo) FD=CA在 AFg DCA AF=DC FD=CA AD=DA AFg DCA / AFD=/ DCA(3)如圖，BOL AD.方法一：由 AB黃 DEF點B與點E重合,得 / BACh BDR BA=BD點B在AD的垂直平分線上，Word資料且 / BADh BDA/ OAD= BAD-/ BAG / ODAh BDA-/ BDF/ OAD= ODAOA=OD點O在AD的垂直平分線上.，直線BO是AD的垂直平分線，BOL AD.方法二：延長 BO交AD于點G同方法一，OA=OD在 AB麗 DBO43

35、, AB=DB BO=BO OA=OD AB8 DBO / ABOW DBO在 AB的 DBG, AB=DB / ABGW DBG BG=BG. .AB8 DBG / AGBW DGB=90 .BOLAD.點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.例1正方形ABC計，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF求/ EAF的度數(shù).考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：延長EB使得BG=DF易證 AB竽A ADF(SAS可得AF=AG進而求證 AEG AAEF可得/ EAGh EAF,再求出/ EAGV EAF=90即可解題.解答

36、：解：延長 EB使得BG=DF 在 ABG ADF 中，由 AB=AD /ABG支 ADF=90 BG=DF ,可得 AB® ADF ( SAS), / DAF=/ BAG AF=AG又 EF=DF+BE=EB+BG=E(AE=AE： AEG AAEF (SSS), / EAG4 EAFZ DAF+/ EAF吆 BAE=90 / EAGM EAF=90 , / EAF=45 .答：/EAF的角度為45°.點評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等 的性質(zhì)，本題中求證/ EAGh EAF是解題的關(guān)鍵.例2 D為等腰(1)(

37、2)RtMBC斜邊AB的中點，DML DN,DM,D曲別交BC,CA于點E,F。 當(dāng)ZMDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF 若AB=2,求四邊形DECF勺面積?？键c：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題:N根據(jù)三角形的面積公式易求計算題.分析：（1）連CD,根據(jù)A 貝U / BCD=45 °,/判定易得 DC昭AADF,即可得到等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分/ ACB CD±AB, /A=45° , CD=DACDA=90 ,由/DML DM!/ EDF=90 ,根據(jù)等角的余角相等得到/ CDEh ADF根據(jù)全等三角形的 結(jié)論；（2）由 DC隼

38、 ADF,貝U SADCE=S ADF,于是四邊形 DECF的面積=SAACR由而AB=2可得CD=DA=1 得SAACR從而得到四邊形 DECF勺面積.解答：解：（1）連CD如圖，,D為等腰RtABC斜邊AB的中點， CD 平分/ACB CDL AB, / A=45° , CD=DAWord資料 / BCD=45 , / CDA=90 ,:/ DMILDN, / EDF=9。， / CDE4 ADF(圖2)(圖3)在 DC臣口 ADF中，/ DCE=/ DAF DC=DA/ CDEh ADFDC昭 A ADF3,DE=DF(2) . DC隼 A ADF, SA DCE=SADF,:

39、四邊形DECF勺面積=$ ACD而 AB=2,CD=DA= 1：四邊形DECF的面積=$ ACD=1 2 CD?DA=1 2 .點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).1、已知四邊形 ABCD 中，AB_LAD, BC _L CD , AB = BC , / ABC =120，, /MBN=60, /MBN 繞 B 點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長線）于 E, F .當(dāng)/MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1）,易證AE+CF = EF .當(dāng)

40、/ MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE C CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段 AE, CF , EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.解:圖10-2成立，圖不成立*證明圖10-2.如圖延長DC至點心 feJK=AK>連接EK,則胡f/ZlBCK,- BE = BK, =、T 乙F8E = 60r，乙鉆C = 12(T - /FgC + 4郎=6T圖 10-4ZFBC + 乙KBC = 6(T > ZKBF = ZFBE = 6(T，玄8尹Sfl跳尸， KF = EF， KC-CFEF，即月E + CF =郎.圖10 3不成立，A

41、E, CF,匹的關(guān)系是乂*.2、（西城09年一模）已知：PA=企,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點落在直線 AB的 兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)/APB=45時，求AB及PD的長；Word資料P當(dāng)/ AP曜化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應(yīng)/ APB的大小.3、在等邊AABC的兩邊AB AC所在直線上分別有兩點 Mk n, D為L ABC外一點，且/MDN =60：/BDC =120：bd=dc.探究：當(dāng)MN分別在直線NCmn間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長Q與等邊AABC的周長L的關(guān)系.(I )如圖1 ,當(dāng)點AR AC上移動時，BMN邊AR AC上，且DM=DNt, BM

42、NC MN之間的數(shù)量關(guān)系是止匕時二L(II )如圖2,點N邊AR AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想(I)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明;(III )如圖3,當(dāng)M N分別在邊AR CA的延長線上時,若 AN=X ,貝U Q=(用X、L表示).Word資料(3 分).考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析:(1)由DM=DN/MDN=60 ,可證得 MDN1等邊三角形，又由 ABC是等邊三角形，CD=BD易證得RtABDIWRtACDhN然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM NG MN間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN此時QL =2 3 ;(2)在CN的延長線上截取 CM1=B

43、M連接DM1可證 DB眸 DCM1即可得DM=DM 1易證得/ CDNW MDN=60 ,則可證得 MDNAM1DN 然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；(3)首先在 CN上截取 CM1=BM連接DM1可證4 DB陣 DCM1即可得 DM=DM 1然后證得/ CDNW MDN=60 ,易證得 MDNPM1DN則 可彳| NC-BM=MN解答：解：(1)如圖1, BM NG MN間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN此時 Q L =2 3.(2 分).理由：DM=DN / MDN=60 , .MDNg等邊三角形， .ABC是等邊三角形，/ A=60° ,BD=CD / BDC=120

44、, / BDC4 DCB=30 , / MBD= NCD=90 ,dm=dn bd=cd RtABDIW RtACDN / BDM= CDN=30 , BM=CN DM=2BM DN=2CNMN=2BM=2CN=BM+CNam=an .AMN©等邊三角形， ab=am+b M .AM AB=2: 3, .Q L =2 3 ; 2)猜想：結(jié)論仍然成立.證明：在CN的延長線上截取 CM1=BM連接DM1 （4分）:/ MBD= M1CD=90 , BD=CD： DBMP ADCM1：DM=DM 1 / MBDM M1CD M1C=BM:/ MDN=60 , / BDC=120 ,/ M1

45、DN= MDN=60 ,： MD降 AM1DNMN=M1N=M1C+NC=BM+NC AMN勺周長為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=A B+AC .Q L =2 3 ;（3）證明：在 CN上截取 CM1=BM連接DM1 （4分）可證 DB曄 DCM1：DM=DM1（5 分）可證/ CDN=/ MDN=60 ,： MD降 AM1DN：MN=M1N （7 分）.：NC-BM=M N （8分）.點評：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性 很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.例8. （2005年馬尾）用

46、兩個全等的等邊三角形 AB和4AC聊成菱形ABCDffi一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點 合，兩邊分別與AB, ACt合.將三 繞點儆逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與 的兩邊BQ CDf交于點E,麗，（如 131）,通過觀察或測量 BE CF 度，你能得出什么結(jié)論？并證明你 論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC CM延長線相交于點E,用寸（如圖132）,你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.考點：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：（1）利用全等三角形的判定得出 ABE AC唧可得出

47、答案；（2）根據(jù)已知可以得出/ BAE4 CAR進而求出 AB瞌 AC即可；（3）利用四邊形AECF勺面積S=S AEC+塾ACF=SAEC+至ABE=S ABCjt出即可.解答：解：（1）得出結(jié)論是：BE=CF證明：. / BAC=/ EAF=60° , / BAC-Z EAC=/ EAF-Z EAC即：/ BAECAF,X / AB=AC /ABE=/ACF=60 ,/ BAE=Z CAF AB=AC / ABE=/ ACF.ABE ACF （ASA, .BE=CF（2）還成立，證明：. / BAC=/ EAF=60° , / BAC+/ EAC=/ EAF+Z EAC

48、 即 / BAE=Z CAFy.- AB=A(C /ABE=/ ACF=60 , 即 / BAE=Z CAF AB=AC / ABE=/ ACF.ABE ACF (ASA, .BE=CF（3）證明：. AB9 ACRSAABE=S ACF,，四邊形 AECF勺面積 S=SA AEC+SX ACF=S AEC+SX ABE=S ABQ而 SMBC=1 2 S 菱形 ABCD.S=1 2 S菱形ABCD點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是 解題關(guān)鍵.解：（1） BE=CF證明：在 ABE 4ACF 中，./BAE+/ EA（=Z CAF+Z EA（=60

49、 , / BA=/CAF ABAC / B=/ACF=60 ,AB降 ACF（ASA .BE=CF（2） BE=CF5然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明AB即AACF旋轉(zhuǎn)型以CG為一邊向正方形 ABCD7卜作正1、如圖，正方形 ABCD勺邊長為1, G為CD邊上一動點（點 G與C、D不重合）， 方形GCEF連接DE交BG的延長線于 Ho求證：BCe ADCE BH XDE考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).專題：動點型.分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過 SAS判定 BC84DCE從而利用全等的性質(zhì)得到/ BGCh DEC（2）連接BD,解題

50、關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE從而找到BD= 2, CE=BE-BC= 2-1 ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.解答：解：（1）證明：二四邊形 ABCD GCEFfB是正方形，BC=DC / BCGh DCE=90 , GC=EC.BC® DCE （3 分） ./ BGCW DEC （4 分）（2）連接BD如果BH垂直平分 DE,則有BD=BE （6分） BC=CD=1BD= 2 （8 分）CE=BE-BC= 2 -1 （9 分）CG=CE= 2 -1即當(dāng)CG= 2 -1時，BH垂直平分DE. （10分）點評：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平 分線的

51、性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握.2、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B, C, E在同一條直線上,連ZDC（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）證明：DC! BE.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形Word資料分析：（1）此題根據(jù) ABC與4AE尚為等腰直角三角形，容易得到全等條件證明AB昌 ACD（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明DC，BE.解答：證明：（1）ABC與4AE尚為等腰直角三角形，AB=AC AE=AD /

52、BA" EAD=90 . / BAC廿 CAEN EAD+Z CAE即 / BAE=/ CAD在 ABE與 ACD中，AB=AC/ BAE=/ CAD AE=AD： AB9 MCD（2） . ABEACQ / ACD4 ABE=45.又,：/ ACB=45 , / BCD4 ACB廿 ACD=90. .DC，BE點評：此題是一個實際應(yīng)用問題，利用全等三角形的性質(zhì)與判定來解決實際問題，關(guān)鍵是理解題意，得到所需要的已知條件.OCD3、（1）如圖7,點O是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形 OA*口等邊三角形 連ZAC和BD,相交于點 E,連結(jié)BC.求/ A

53、EB的大小；(2)如圖8,AOAB固定不動，保持 A OCD勺形狀和大小不變，將 AOC璘著點O旋轉(zhuǎn)（A OAB和A OCM能重疊）,求/ AEB的大小.4、如圖，AE± AB, ADL AC, AB=AE Z B=Z E, 求證：(1) BD=CE (2) BD± CE,證明：（1） AE± AB, AD± AC / BAE土 CAD=BAD4CAE 而 AB=AE / B=Z E, .ABD AEC BD=CE（2）由 ABD AEC知/ B=Z E.而/AGBh EGF / EFGN EAB=90 ,. BD± CE.如圖，點O是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形 OA街口等邊三角形 OCD連接AC和 BD,相交于點E,連接BC.求/AEB的大小.