培優(yōu)專題講解_等腰三角形(含解答)-

1、等腰三角形專題練習題等腰三角形是一種特殊的三角形，它具有一般三角形的性質(zhì)，同時，還具有自身的特殊性，這些特殊性使它比一般三角形應用更加廣泛.等腰三角形的性質(zhì)和判定為證明兩 個角相等和兩條線段相等提供了依據(jù).等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高所在直線是 它的對稱軸，對于某些含有（或隱含）等腰三角形條件的問題，可以作等腰三角形底邊上 的高或構(gòu)建等腰三角形、等邊三角形找到解決問題的途徑.例 1 如圖 1-1 , ABC中，AB=BC M N 為 BC邊上兩點，且/ BAMh CAN MN=AN 求/ MAC勺度數(shù).1 .如圖 1-2 ,已知 ABC中，AB=AC AD=AE / BAE=30 ,則/

2、DEC等于（）A. 7. 5° B . 10° C . 12.5 ° D , 18°1-22.如圖1-3, AA'、BB'分別是/ ABC的外角/ EAB和/ CBD勺平分線，且AA' =AB=BB, A'、B C在一直線上，則/ ACB的度數(shù)是多少？1-33.如圖1-4,等腰三角形 ABC中，AB=BC / A=20° . D是AB邊上的點，且 AD=BC ?連結(jié)CD，貝U/ BDC=C1-4HE狡 ACBHD練習21.已知如圖1-6,在 ABC中，AB=CD D是AB上一點, 長線交CA的延長線于點F,判斷A

3、D與AF相等嗎？DEL BC, E為垂足,ED?勺延/iC1-8例2 如圖1-5, D是等邊三角形 ABC的AB邊延長線上一點，BD?勺垂直平分線 延長線于點E,那么CE與AD相等嗎？試說明理由.2 .如圖1-7 ,ABB等腰直角三角形，/ BAC=90點D是 ABC一點，且/ DACW DCA=15 , 則BD與BA的大小關(guān)系是（）A . BD>BA B . BD<BA C . BD=BA D ,無法確定3.已知：如圖 1-8,在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=?AC ?延 長BE交AC于F, AF與EF相等嗎？為什么？例3 已知：如圖1-9 , AB

4、/口 BEC勻為等邊三角形， M N分別為AE和DC?勺中點, 那么 BMh等邊三角形嗎？說明理由.練習31 .已知：如圖 1-10,在等邊三角形 ABC中，BD=CE=AF AD與BE交于 G BE與CF? 交于H, CF與AD交于K,試判斷 GHK勺形狀.8 DC1-102 .已知：如圖1-11 , ABC是等邊三角形，E是AC延長線上的任意一點，選擇一點D, ?使CD弱等邊三角形，如果 M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，那么 CMN? 是等邊三角形嗎？為什么？1-11作等邊三角形 PCD QA市RAR則以P、Q R為頂點的三角形是例 4 已知：如圖 1-13,等腰 ABC中，AB=

5、AC Z A=100° , 試比較AE+BE與BC的大小？BOF C練習41 .如圖1-14,在 ABC中，AB=AC P為底邊BC上的一點， ?cn AB于F,那么PD+PE CF相等嗎？三邊三角形，請說明理由.尸 1-12/ABC的平分線交 AC于E,PD± AB于 D, PEI AC于 E,A3.已知：如圖1-12,等邊三角形 ABG在AB上取點D,在AC上取點E,使AD=AEB1-15C D在一條直線上， 猊B C 01-152 .已知：如圖 1-15, ABC和 ADE都是等邊三角形. B 明CE與AC+CDf等的理由.?以BD用一邊作等邊三角<”)1-16

6、延長 AB至ij D,使BD=AB3 .已知：如圖1-16, ABC是等邊三角形，延長 AC到D, 形 BDE，連結(jié) AE,則 AD AE+AB (填“ >”或“=”或"例5 已知：如圖1-17, 4ABC中，AB=AC CE是AB邊上的中線, 那么CE是CD的幾分之幾？練習51 .如圖1-18, D E分別是等邊三角形 ABC兩邊BG AC上的點，且 AE=CD連結(jié)BE、 ?AD交于點P.過B作BQL AD于Q,請說明BP是PQ的2倍.2.如圖 1-19,在 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC BE平分/ ABC； CEL BE,那么 CE裾BD的幾分之幾？1-193

7、 .已知：如圖1-20 ,在 ABC中，AB=AC AD和BE是高，它們相交于 H,且AE=BE ?那么AH是BD的 倍.1-20往往需要做一些工作，如添加輔助1-5答案：例1 分析AB=AC MN=ANI知 ABC和 AMN勻為等腰三角形，充分利用等腰三角形的性 質(zhì)尋找所求角間的關(guān)系.解：設/ BAMh CAN奇，/ AMN書， MN=AN / AMN= MAN書.設/ABC=r,在 ABC 中，/ABC吆 BCA+Z CAB=180 ,由于/ BCA之 CAB=2x +3 ,-4a+23 +r =180° .在AB 3 =" + 丫，. 4a +2 3 + (3 - a

8、) =180° .即 3 (a + 3) =180 a + 3 =60° ,故/MAC=60 .例2分析要說明似乎沒有任何關(guān)系的兩條線段相等, 線，構(gòu)造全等三角形等，從而達到解決問題的目的.解：延長 AD到F,使AF=EF.ABC是等邊三角形，AB=AC / A=60° . . AEF是等邊三角形.EA=EF / AEF=Z A=60° .又二 EH垂直平分BD, EB=ED / EBD=/ EDB . EAD EFBAD=BF又 BF=AF-AB=AE-AC=CEAD=CE例3分析 要說明一個三角形是等邊三角形，？只要能夠證明這個三角形滿足“三條邊相等

9、或三個角相等或一個角是 60。的等腰三角形”即可.本題只需利用三角形全等證得BM=BN且/ MBN=60即可.解：在 ABE和4DBC中, . /ABE=60 + /DBE / DBC=60 +/DBE / ABE土 DBC AB=BD BE=EC ABEADBC AE=DC / MEBh NCB又二 M N分別是AE和DC的中點，ME=NC又4 BEC為等邊三角形,BE=BCMBEANBC BM=BN / MBNW MBE上 NBE4 NBC-/ NBE=60 . . BMN等邊三角形.例4 分析說明一條線段的長是否等于其他兩條線段長的和，？常常采用截取等長線段的方法，將那些本來沒有關(guān)系的線

10、段放在條線段上，這樣可迎刃而解.解：在 BC上截取 BF=BE BD=BA連結(jié)FE、DE,. AB=AC /A=100° ,ZABC=/ C=40° ,又BE平分/ ABC； / 1=Z 2=1 / ABC=20 .2,. BF=BE / BEF=Z 5=80° 在 BAE和 BDE中，BA=BD , / 1 = / 2, BE=BE . BAE BDEAE=DE / 3=/ A=100° ./ 4=180-Z 3=180° , / 4=/ 5, DE=FE AE=FE 又/ 6=/ 5- / C=80 -40 =40 ，/6=/C,FE=FC

11、故 AE+BE=FC+BF=BC例5 分析 延長線段到倍長，再證明三角形全等，往往是說明線段倍分關(guān)系的重要途徑 和必要手段.解：延長 CE至ij F,使EF=CE連結(jié)BF, CE是AB的中線，AE=EB又/ FEB=Z AEC.EBFEAC/ EBF=/A.BF=AC=BD .在 FBC和 DBC中，F(xiàn)B=BD , BC=BC/ FBC=Z FBE+Z EBC = / A+Z ACB/ DBCh A+Z ACB / FBC玄 DBC BCH BCD-1 .CF=CD=2CE 故 CE=-CD2練習11 .解：設/ DEC=x AD=AE / ADE4 AED .x=ZAEC-Z ADE=( /

12、 B+30° )-/ADE=( / B+30° )- (/ C+x),. AB=AC / B=/C.-2x=30° ,x=15° ,故選 C.2 .解：AB=BB , ./BAB =/BB' A, / B' BD=Z BAB +/BB' A=2/BAB'.又/ CBB =/ DBB , / ACB4 CBB +/ CB' B=3/ CAB設/ CAB=x / ACB=3x / CBD=4x 又 AA' =AB) . ./A' =/ABA =/CBD=4x. AA'平分/ EAB. ./A&#

13、39; AB=1 (180°-x).2又 / A' AB=180- (/A' +/ABA' ) =180 -8x1 ，。 、 一 ( 180 -x ) =180 -8x .2.x=12° ,故/ACB=36 .3 .解：如圖，作 AENBAC 連結(jié) EC則/AED4 BAC=20 ,/DAEh ADE=/ B=Z ACB=80 . / CAE4 DAE-/ BAC=80-20 =60° .又 AB=AE=AC ACE正三角形, AE=EC=ED / DECW AEC-Z AED=40 .,1 ，。 /ED2 (180 -/DE。=70 .2

14、 ./BDC=180- (/ ADE吆 EDC =30° .練習21 .解：AB=AC / B=/C. DEI BC,DEB=/ FEC=90 .在 RtDEB與 RtFEC中， . / B=Z C, / BDEW F. / FDA土 BDE / FDA之 F,故 AD=AF2 .解：以 AD為邊在 ADB作等邊 ADE連結(jié) BE 則/ 1=/ 2=/ 3=60° .AE=ED=AD . / DAC=15 , ./EAB=90-/1-/DAC=15 . Z DACW EAB 又 DA=AE AB=AC . EAB DAC ./ EBA=Z DCA=15 . ./ BEA=1

15、80 -/ EBA-/ EAB=150° . . / BED=360 -/ BEA-/AED=150 . / BEA土 BED又EB=EB AE=ED .BEABEQBD=BA故選擇C.3 .解：延長 AD到G,使DG=AD連結(jié)BQ BD=DC / BDGh CDA AD=DG ADCCABDE .AC=BG / G=Z EAF, 又 BE=AC BE=BG ./ G=Z BED 而 / BEDh AEF, / AEF=Z AFE 故 FA=FE 練習31 .解：. ABC是等邊三角形， AB=BC=CA/ABCh ACB=/ BAC=60 .又 BD=AF=CE.AB陰BCECAF

16、1=/ 2=/ 3. ./ BAC-Z 1 = ZABC-Z 2=/ACB-/ 3.DC即 / CAK4 ABGW BCH又 AB=BC=CAABCABCKACAK / AGBW BHCW CKA即/ KGHh GHKW GKH故4 GKH等邊三角形.2 .解：由于 ABUf4CDE均為等邊三角形， A C、E三點共線，得知:CA=CB , CD=CE / ACDW BCE故4 AC里 BCE / ADCW BEC AD=BE11又 DMAD, EN=- BE,22 . DCIW ECN/ DCM= ECN CM=CN又/ ECN吆 NCD= ECD=60 ,/ NCM= MCD + NCD=

17、60 . . CMN等邊三角形.3 .解：連結(jié)BP., ABCf CDP勻為等邊三角形，AC=BC CD=CP / ACB4 DCP=60 ./ 1=/ 2,ADCABPC/ CBP=/ DAC=60 . . / RBP=/ RBA吆 ABC吆 CBP=60 +60°+60 =180° , R、R P三點共線.又. / RAQ=/ RAB吆 BAC+/ CAQ=60+60 +60 =180 R、A Q三點共線.而 AQ=AE=AD=BPRQ=RA+AQ=RB+BP=RP又/ R=60° , .PQ幅等邊三角形.故以P、。R為頂點的三角形是等邊三角形.練習41 .解

18、：Sace=Saapb+Saapc,即 1 AB CF=1 AB PD+1 AB PE.2 22，CF=PD+PE2 .解： AC=AB / CAE4 BAD AE=AD AECAADB.CE=BD又 BD=BC+CD=AC+CD . CE=AC+C D3 .解：. ABC和BDE均為等邊三角形./ ABE=60- / EBC4 CBQ AB=BC BE=BDABEACBDAE=CD 又 AB=ACAD=AC+CD=AB+AE練習51 .解：. / CAB4 C=60° , AE=CD AB=AC ， AD室 BEA / CADW EBA 又/ BPQW PAB吆 PBA土 PAB吆 CAD=60 ,在 RtPQB中，/ PBQ=30 , BP=2PQ2 .解：延長 CE交BA的延長線于 F, / 1=/ 2, / BEC4 BEF=90 , BE=BE.BE黃