高一函數(shù)大題訓練及答案

1、高 中 函 數(shù) 大 題 專 練1、已知關(guān)于x的不等式(kx k2 4)(x 4) 0,其中k Ro試求不等式的解集 A;對于不等式的解集 A,若滿足AI Z B (其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有 限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B ;若不能，請說明理由。2、對定義在0, 1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)。對任意的x 0, 1，總有f(x) 0;當 x1 0,x2 0,x1 x2 1 時，總有 f(x1 x2) f (x1) f(x2)成立。已知函數(shù)g(x) x2與h(x) a 2x 1是定義在0, 1上的函數(shù)。(1)試問函

2、數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說明理由；(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；(3)在(2)的條件下r,討論方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的個數(shù)情況。3.已知函數(shù)f(x)2x12|x|(1)若f (x) 2 ,求x的值；(2)若2tf(2t) mf(t) 0對于t 2, 3恒成立，求實數(shù) m的取值范圍4.設(shè)函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù).若當x 0時，f (x),x 0;0, x 0.(1)(2)求f(x)在(請你作出函數(shù),0)上的解析式.f(x)的大致圖像.(3)當0 a b時，若f(a) f(b),求ab的取值范圍.(4)若關(guān)于x的方程f2(x) bf (x) c 0

3、有7個不同實數(shù)解，求b,c滿足的條件.5.已知函數(shù) f(x) a (x 0)。 |x|(1)若函數(shù) ”*)是(0,)上的增函數(shù)，求實數(shù) b的取值范圍；(2)當b 2時，若不等式f (x) x在區(qū)間(1,)上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；(3)對于函數(shù)g(x)若存在區(qū)間m,n(m n),使x m,n時，函數(shù)g(x)的值域也是m, n,則稱g(x)是m, n上的閉函數(shù)。若函數(shù) f (x)是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探求a,b應(yīng)滿足的條件。26、設(shè)f (x) Jaxbx ,求滿足下列條件的實數(shù) a的值：至少有一個正實數(shù) b，使函數(shù)f (x)的定義域和值域相同。7 .對于函數(shù)f (x),若存在x0 R ,使

4、f(x0) x0成立，則稱點(,x0)為函數(shù)的不動點。2(1)已知函數(shù)f(x) ax bx b(a 0)有不動點(1, 1)和(-3, -3)求a與b的值；(2)若對于任意實數(shù)b ,函數(shù)f (x) ax2 bx b(a 0)總有兩個相異的不動點，求 a的 取值范圍；(3)若定義在實數(shù)集 R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個不動點，求證：n必為奇數(shù)。18 .設(shè)函數(shù)f(x) x (x 0)的圖象為C1、C1關(guān)于點A (2, 1)的對稱的圖象為 Ct, xC2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1)求函數(shù)y g(x)的解析式；(2)若直線y b與C2只有一個交點，求b的值并求出交點的坐標.9 .設(shè)定義在(0,

5、)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件：對于任意正實數(shù) a、b ,都有f (a b) f (a) f (b) 1 ； f (2) 0 ;當x 1時，總有f(x) 1. 一 1、(1)求”1)及£(一)的值；2(2)求證： “乂)在(0,)上是減函數(shù).1 310 .已知函數(shù)f(x)是定義在2,2上的奇函數(shù)，當x 2,0)時，f(x) tx,x3 (t為2常數(shù))。(1)求函數(shù)f (x)的解析式；(2)當t 2,6時，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值時的x,并猜想f (x)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)；(3)當t 9時，證明：函數(shù) y f(x)的圖象上至少有一個點落在直線y

6、 14上。x 7 一11 .記函數(shù)f x J2 的定義域為 A, gx lg 2x b ax 1 b 0, a R的定義域為B ,(1)求 A ：若A B,求a、b的取值范圍x12、設(shè) f x- a 0, a 1。1 ax(1)求f x的反函數(shù)f 1 x ：(2)討論f 1 x在1.上的單調(diào)性，并加以證明：(3)令g x 1 log a x，當m, n 1, m n時，f 1 x在m,n上的值域是g n ,g m ，求a的取值范圍。13.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的：(1)函數(shù)f(x)的定義域是0,);(2)函數(shù)f(x)的值域是2,4);(3)函數(shù)f(x)在0,)上是增函數(shù).試分

7、別探究下列兩小題：(I)判斷函數(shù)f1(x) & 2(x 0),及f2(x) 4 6 (1)x(x 0)是否屬于集合 A?并簡 2要說明理由.(n)對于(I)中你認為屬于集合 A的函數(shù)f(x),不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),f(x) (x 0)f(x) (x 0)是否對于任意的x 0總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論.14、設(shè)函數(shù) f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 為實數(shù)),F(x)=(1)若f(-1)=0 且對任意實數(shù)x均有f(x) 0成立，求F(x)表達式。(2)在(1)的條件下，當x 2,2時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范

8、圍。(3)(理)設(shè) m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)為偶函數(shù)，求證：F(m)+F(n)>0 。15.函數(shù)f(x)= x (a , b是非零實常數(shù))，滿足f(2)=1 ,且方程f(x)=x 有且僅有一個ax b解。(1)求a、b的值；(2)是否存在實常數(shù) m,使得對定義域中任意的x, f(x)+f(m - x)=4恒成立？為什么？(3)在直角坐標系中，求定點A(- 3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點P的距離|AP|的最小值。函數(shù)大題專練答案1、已知關(guān)于x的不等式(kx k2 4)(x 4) 0,其中k Ro試求不等式的解集 A;對于不等式的解集 A,

9、若滿足AI Z B (其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B ;若不能，請說明理由。解：(1)當k 0時，A (當k 2時，A (,4)；當 k 0且 k 2時，A,4) U(4,)；(不單獨分析k4(,4)U(k -, k2時的情況不扣分)，.4當 k 0時，A (k ,4)。 k(2)由(1)知：當k 0時，集合B中的元素的個數(shù)無限;當k 0時，集合B中的元素的個數(shù)有限，此時集合B為有限集。一4一因為k 4,當且僅當k 2時取等號，k所以當k 2時，集合B的元素個數(shù)最少。此時 A 4,4 ,故集合 B 3, 2,

10、1,0,1,2,3 。2、對定義在0, 1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)。對任意的x 0, 1，總有f(x) 0；當 xi0,x20,x1x21時，總有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立。已知函數(shù)g(x) x2與h(x) a 2x 1是定義在0, 1上的函數(shù)。(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說明理由；(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實數(shù)a的值；(3)在(2)的條件下:r,討論方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的個數(shù)情況。解：(1)當x 0,1時，總有g(shù)(x) x2 0,滿足，當 x1 0, x2 0,x1 x2 1 時，g(x x2) x； x22

11、 2x2 x； x22 g(x1)9(x2),滿足(2)若a 1時，h(0) a 1 0 不滿足，所以不是 G函數(shù)；若a 1時，h(x)在x 0,1上是增函數(shù)，則 h(x) 0,滿足由 h(x1x2)h(x1)h(x2)，得 a2x1x21 a2x11 a2x21 ,即 a1 (2x1 1)(2x2 1) 1,因為 x1 0 ,x2 0, x1 x2 1所以 0 2x1 1 10 2x2 1 1 x1 與 x2不同時等于 10 (2x1 1)(2x11) 111 (2x1 1)(2x11)1 x2 0 時，(；)min121 (2x1 1)(2x1 1)綜合上述：a 1(3)根據(jù)(2)知： a

12、=1,方程為4x 2x m,0 2x 1 1由 0 211 得 x 0,10 x 1令 2xt 1,2,則 m t2 t (t -)22由圖形可知：當 m 0,2時，有一解;當m (,0) (2,)時，方程無解。3 .已知函數(shù)f(x) 2x 1-.2岡(1)若f (x) 2 ,求x的值；(2)若 2tf(2t) mf(t) 0 對于 t2, 3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)當 x 0 時，f(x) 0；當 x 0時，f(x) 2x .2x 一 1由條件可知2x 2 ,即22x 2 2x 1 0 , 2x解得 2x 1 .2.2x 0, x log2 1 & .1,1(2)當 t 1

13、,2時，2t 22t m 2t 0,22t2t即 m 22t124tl.22t 10 , m 22tl.2tQ t 2, 3,1 22t 65, 17,故m的取值范圍是17,).4 .設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù).若當x 0時，f(x)1 - , x 0;x0, x 0.(1)求f(x)在(，0)上的解析式(2)請你作出函數(shù)f(x)的大致圖像(3)當0 a b時，若f(a) f(b),求ab的取值范圍. 2 ,(4)若關(guān)于x的萬程f (x) bf (x) c 0有7個不同實數(shù)解，求 b,c滿足的條件. 11解(1)當 x (,0)時，f(x) f( x) 1 1(2) f(x)的大致圖像

14、如下:a b 2ab 2、ab解得ab的取值范圍是(1,).(4)由(2),對于方程f(x) a,當a 0時，方程有3個根；當0 a 1時，方程 有4個根，當a 1時，方程有2個根；當a 。時，方程無解.15分2所以，要使關(guān)于x的方程f (x) bf(x) c 0有7個不同實數(shù)解，關(guān)于f(x)的方程 2f (x) bf(x) c 0有一個在區(qū)間(0,1)的正實數(shù)根和一個等于零的根。所以 c 0, f(x) b (0,1),即 1 b 0,c 0.5 .已知函數(shù) f(x) a (x 0)。|x|(1)若函數(shù) ”*)是(0,)上的增函數(shù)，求實數(shù) b的取值范圍；(2)當b 2時，若不等式f(x) x

15、在區(qū)間(1,)上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；(3)對于函數(shù)g(x)若存在區(qū)間m,n(m n),使x m,n時，函數(shù)g(x)的值域也是m, n,則稱g(x)是m, n上的閉函數(shù)。若函數(shù) f (x)是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探求a,b應(yīng)滿足的條件。解：(1)當 x (0,)時，f (x) a - x設(shè)Xi,X2 (0,)且為 x2 ,由f(x)是(0,)上的增函數(shù)，則f(x1)f(x2)f(x1) f(x2) b(X1 x2) 0 X1X2由 x1x2, x1,x2 (0,)知 x1 x2 0,x1x2 0,所以 b 0,即 b (0,)22(2)當b 2時，f(x) a x在x (1,)上恒成立，

16、即a x |x|x22因為x 2J2,當x 即x 42時取等號， xx222 (1,)，所以x -在x (1,)上的最小值為2正。則a 272xb(3) 因為f(x) a 的定義域是(，0)U(0,)，設(shè)f (x)是區(qū)間m,n上的閉函 |x|數(shù)，則mn 0且b 0(4) 若0 m n,bf (m) m當b 0時，f (x) a 是(0,)上的增函數(shù)，則，|x|f (n) nb所以萬程a - x在(0,)上有兩不等實根,即x2 ax b 0在(0,)上有兩不等實根，所以a2 4b 0x1 x2 a 0,即 a 0,b 0且 a2 4b 0x1 x2 b 0當b 0時，f (x) a a 在(0,

17、)上遞減，則 () ，即 | x | xf (n) mmbm na 0 mn0,b 0若m n 0r ,b bf (m) n .當b 0時，f(x) a a 一是(，0)上的減函數(shù)，所以，即|x| xf (n) mba nmba 一 mna 0,所以a 0,b 0 mn bI6、設(shè)f(x) Max2 bx ,求滿足下列條件的實數(shù)a的值：至少有一個正實數(shù) b ,使函數(shù)f (x)的定義域和值域相同。解：(1)若a 0,則對于每個正數(shù) b, f(x) JbX的定義域和值域都是0,)故a 0滿足條件b(2)若a 0,則對于正數(shù)b , f (x)Tax2bx的定義域為D , 0,a但f (x)的值域A

18、0,，故D A,即a 0不合條件;(f(x)maxb2、 a(3)若a 0,則對正數(shù)b ,定義域D 0,- abf (x)的值域為0,2 v a綜上所述：a的值為0或47 .對于函數(shù)f (x),若存在x0R，使f(x0) x0成立，則稱點(xq,x0)為函數(shù)的不動點。(1)已知函數(shù)f (x)ax2bx b(a 0)有不動點(1, 1)和(-3, -3)求a與b的值;(2)若對于任意實數(shù)b ,函數(shù)f (x) ax2 bx b(a 0)總有兩個相異的不動點，求 a的 取值范圍；(3)若定義在實數(shù)集 R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個不動點，求證：n必為奇數(shù)。解：(1)由不動點的定義：f(x)

19、x 0, ax2 (b 1)x b 0代入x 1知a 1,又由x 3及a 1知b 3。 . a 1, b 3。(2)對任意實數(shù)b, f (x) ax2 bx b(a 0)總有兩個相異的不動點，即是對任意的實數(shù)b ,方程f (x) x 0總有兩個相異的實數(shù)根。ax2 (b 1)x b 0 中 (b 1)2 4ab 0,即 b2 (4a 2)b 1 0恒成立。故 1(4a 2)2 4 0, . 0 a 1。故當0 a 1時，對任意的實數(shù)b ,方程f (x)總有兩個相異的不動點。 1'(3) g(x)是R上的奇函數(shù)，則 g(0)0,(0, 0)是函數(shù)g(x)的不動點。若g(x)有異于(0,

20、0)的不動點(x0,x0),則g(x0) x0。又g( x°)g(x°)x°,( x0, xO)是函數(shù) g(x)的不動點。g(x)的有限個不動點除原點外，都是成對出現(xiàn)的,所以有2k個(k N),加上原點，共有 n 2k 1個。即n必為奇數(shù)18 .設(shè)函數(shù)f(x) x ，(x 0)的圖象為Ci、Ci關(guān)于點A (2, 1)的對稱的圖象為C%, xC2對應(yīng)的函數(shù)為g(x).(1)求函數(shù)y g(x)的解析式;(2)若直線yb與C2只有一個交點，求b的值并求出交點的坐標11 一解.(1)設(shè)P(U,V)是y x 上任意一點，V U xu設(shè)P關(guān)于A (2, 1)對稱的點為 Q(x

21、, y),11代入得2 y 4 x y x 2 4 xx 41g(x) x 2 (x (,4) (4,)；x 4y b聯(lián)立1 x2 (b 6)x 4b 9 0,y x 2x 422b 0 或 b 4,(b 6)2 4 (4b 9) b2 4b 0(1)當b 0時得交點(3, 0)；(2)當b4時得交點(5, 4)9 .設(shè)定義在(0,)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件:對于任意正實數(shù) a、b,都有f(a b) f (a) f (b) 1;當x 1時，總有f(x) 1.,、1.(1)求”1)及£(1)的值；(2)求證：“乂)在(0,)上是減函數(shù).解(1)取 a=b=1,則 f (1) 2

22、f 1.故f(1) 1又 f(1) f (2 1) f (2) f(l) 1. 且 f (2)0.22得：心f (2) 1 1 1 2(2)設(shè) 0XiX2,則:f(X2) f (Xi)X2X) f(X1) f(二) f(x)X11f (Xi)f (當X1XiX2,可得任1X1再依據(jù)當X 1時，總有f(x) 1成立，可得f(x2) 1X1f(Xi) 0成立，故 “乂)在(0,)上是減函數(shù)。10.已知函數(shù)f(x)是定義在 2,2上的奇函數(shù),當 X 2,0)時,f(x)tx(t為常數(shù))。11)求函數(shù)f (X)的解析式;(2)當t 2,6時，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值時的并猜想f(x

23、)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)(3)當t 9時，證明：函數(shù) yf(x)的圖象上至少有一個點落在直線14上。解：(1) X 0,2 時， X 2,0 ,1則 f( x) t( x) 2(x)3tx數(shù)f (X)是定義在2,2上的奇函數(shù)，即txf(x)tx又可知0,，函數(shù)f (X)的解析式為f(x)tx-X3,213X ,即2132X，2,2(2)2,6,2,0+12t 一 X-2_ 31-X8t327即X22t,x 3.6t32,0)時,fmin猜想f (x)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間為c 6t0,3(3) t 9 時，任取 2 x1 x22f X1f x2x1x2 t12x1x1 x22x

24、220,2,2上單調(diào)遞增,2 , f 2 ,即 f x 4 2t,2t 4 , t 9 ,2t14,2t 4 14,142t,2t 4 , .當 t9時，函數(shù)y f(x)的圖象上至少有一個點落在直線y 14 上。11.記函數(shù)f x解：(1) Ax2,23,(2) 2x bax0,B,得a0,b orx212、設(shè) f xxa 17 a 0, a1 ax(1)求 f(2)討論的反函數(shù)f 1 x :1 x在1.上的單調(diào)性,并加以證明:(3)令 g xg n ,g1 log a x，當 m, n,求a的取值范圍。1, m n 時,f 1 x 在 m,n上的值域是1解：(1) f x, xlog a 一

25、x1x2,x11一 x11x2 12 x1x2(3)x1當0x2 ，1時,x11xif ff1x1 xX21X2在1.在1.x1 1 x2f 1 x 在上是增函數(shù)。上是減函數(shù),1.上是減函數(shù), x 1'由 lOga”x10g a x 倚；x 1ax,即 ax2 a2 -7的定義域為A, g x lg 2x b ax 1 b 0, a R的定義域為B ,(1)求 A ：(2)若A B,求a、b的取值范圍可知方程的兩個根均大于1 ,即f 100 a 3 2&，當 a 1 時，: f 1 x 在1.上是增函數(shù),2a1f m g n1f n g mm 1 amn an an 1 amn

26、 am1 (舍去)。上，得0 a 3 2四。13.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的：(1)函數(shù)f(x)的定義域是0,)；(2)函數(shù)f(x)的值域是2,4);(3)函數(shù)f(x)在0,)上是增函數(shù).試分別探究下列兩小題:(I)判斷函數(shù)f1(x) 7x 2(x 0),及f2(x) 4 6 (1)x(x 0)是否屬于集合 A?并簡 2要說明理由.(n)對于(I)中你認為屬于集合 A的函數(shù)f(x),不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),是否對于任意的x 0總成立？若不成立，為什么？若成立，請證明你的結(jié)論.解：(1)函數(shù)f(x) Vx 2不屬于集合 A,因為f1(x)的值域是2,)，所以

27、函數(shù) f,(x) & 2不屬于集合A.(或Q當x 49 051"49) 5 4 ,不滿足條件.)1、xf2(x) 4 6 (-)x (x 0)在集合A中，因為： 函數(shù)f2(x)的定義域是0, h 函 2數(shù)f2(x)的值域是2,4)； 函數(shù)f2(x)在0,)上是增函數(shù).1x1、 一 f(x) f (x 2) 2f(x 1) 6 ()x( -) 0 ,24f(x) (x 0)f(x) (x 0)不等式f(x) f(x 2) 2f (x 1)對于任意的x 0總成立14、設(shè)函數(shù) f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 為實數(shù)),F(x)=(1)若f(-1)=0且對任意實數(shù)x均有f(x

28、) 0成立，求F(x)表達式。(2)在(1)的條件下，當x 2,2時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。(3)(理)設(shè) m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)為偶函數(shù)，求證：F(m)+F(n)>0 。解：(1)f(-1)=0 b a 1 由 f(x) 0 恒成立 知4 =b2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1) 2 02(x 1)(x0)，a=1 從而 f(x)=x +2x+11- F(x)=,(x 1)2(x0)2_2(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1 ,由于

29、 g(x)在 2,2 上是單調(diào)函數(shù)，知-22或-二,而 a>0 -. f (x)在 0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)上為增函數(shù),當 x<0 時-x>0 ,22(3)f(x)是偶函數(shù)，f(x)=f(x)對于 F(x),當 x>0時-x<0F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(xiàn)(x)是奇函數(shù)且F(x)在0, 上為增函數(shù)，m>0,n<0,由 m>-n>0知 F(m)>F(-n) . . F(m)>-F(n) F(m)+F(n)>0 。15.函數(shù)f(x尸 一x (a , b是非零實常數(shù))，滿足f(2)=1 ,且方程f(x)=x 有且僅有一個ax b解。(1)求a、b的值；(2)是否存在實常數(shù) m,使得對定義域中任意的x, f(x)+f(m - x)=4恒成立？為什么？(3)在直角坐標系中，求定點A(- 3,1)到此函數(shù)圖象上任意一點P的