高中數(shù)學概念及方法——向量

1、高中數(shù)學概念及方法向量一幾種特殊的向量1向量：長度為0的向量，方向任意，記作。2單位向量：長度為1個單位的向量。3平行向量：方向相同或相反的非零向量。 規(guī)定：與任何向量平行。4相等向量：長度相等，方向相同的向量。推論：平移后的向量與原向量相等，與起點無關(guān)。任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段表示。 5共線向量：平行向量都可以平移到同一直線上，共線向量可以相互平行，所以平行向量也稱為共線向量。二向量的加法1向量加法幾何作法的特征：“以尾為首，首尾相接”。2向量加法法則：三角形法則（首尾相接） 和向量：由開始的起點指向最后的終點的向量。平行四邊形法則（共起點） 和向量：以已知的兩向量作為鄰邊

2、構(gòu)造平行四邊形，共起點的對角線向量（三向量共起點）。 3交換律： 4結(jié)合律：5和向量的模與兩向量模之間的關(guān)系： （第一個等號在兩向量反向或至少有一個為零向量時取得， 第二個等號在兩向量同向或至少有一個為零向量時取得） 6坐標運算：設(shè)，則。三向量的減法1向量減法幾何作法的特征：“共起點”。2向量減法法則：三角形法則（共起點） 差向量：連終點，箭頭指向被減向量的向量。3與長度相等，方向相反的向量稱為的相反向量，記作。4差向量的模與兩向量模之間的關(guān)系：（第一個等號在兩向量同向或至少有一個為零向量時取得，第二個等號在兩向量反向或至少有一個為零向量時取得） 5是以和作為鄰邊構(gòu)造的平行四邊形的兩條對角線，

3、且，是兩條對角線長。 6坐標運算：設(shè)，則。四1實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積仍是向量，記作。 長度： 方向： 運算率： 定理：和非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得。 注：與共線 如與共線作用：判斷兩向量是否共線。要證三點共線，只要證有公共點的兩向量共線。坐標運算：設(shè)，則。2平面向量的數(shù)量積向量運算：已知非零向量，它們的夾角為，則。注：不是向量，是一個實數(shù)，其符號由決定。規(guī)定：零向量與任何向量的積是0，即。兩向量夾角的范圍時，與同向；時，與反向。 時，與垂直，記作，此時，稱為在方向上的投影。 投影=向量本身的長度夾角的余弦值 幾何意義：表示的長度與在方向上投影的乘積。向量數(shù)量積的性質(zhì)：

4、 若是非零向量，為夾角，是與同向的單位向量，則：與同向時，；與反向時，。特例：，即向量的平方等于模的平方。 或（求模的方法） 向量數(shù)量積的運算律交換律：分配律：完全平方公式：平方差公式：經(jīng)典錯題：。 例：且。 前者是與共線的向量，后者是與共線的向量。數(shù)量積的坐標公式：設(shè)，則。即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和。 特例：若則 向量模的坐標公式若點，點，則兩點間距離公式夾角公式的坐標形式： (非特殊角用反三角求)五平面基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使得，并把不共線的稱為平面內(nèi)所有向量的一組基底。六向量平行（或共線） 1向量形式

5、：，的符號能辨別兩向量同向或反向。 2坐標形式： 內(nèi)項之積等于外項之積。 其中，可為。七向量垂直（涉及垂直的向量都必須是非零向量） 1向量形式： 2坐標形式：八線段的定比分點： 1點p分成兩條有向線段，由三點共線知： ，即，稱為點p分有向線段所成的比，點p為的定比分點。 注：不是長度之比。的字母順序 2規(guī)律：當p在線段上，p為內(nèi)分點。 當p在線段的延長線或反向延長線上，p為 外分點-內(nèi)分為正，外分為負（的符號）的計算：先求長度之比，再定符號。（作箭頭示意圖）推導：設(shè) ，即 定比分點的坐標公式 特征： 特例：當即p是的中點時中點坐標公式九平移： 1設(shè)舊點，按平移向量平移后得新點，則有同一坐標系下的坐標平移公式。 2平移公式解決的問題： 舊點，平移向量，新點三者知二求一。舊函數(shù)，平移向量，新函數(shù)三者知二求一。（注意解題格式：設(shè)新點，舊點及平移向量）十其它公式及方法： 1證明四邊形為梯形，只要證，且 一組對邊平行但不相等。 2在三角形中，分別為三邊中點，為三條中線的交點，稱為重心。設(shè)，則重心坐標公式為頂點到重心的距離是重心到對邊中點距離的兩倍。即。三個重要結(jié)論：， 3若，求。法一：，用待定系數(shù)法解方程組。法二：若給出的坐標，可用平行的充要條件列出內(nèi)項積等于外項積求，但比法麻煩。 4求的方法： 法一：再開方求。（法一必須給出） 法二：構(gòu)造平行四邊形 數(shù)形