高中數(shù)學(xué)直線的傾斜角和斜率

1、課題：直線的傾斜角和斜率教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）數(shù)學(xué) 第3章第1節(jié)一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與能力：(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念.(2)掌握過兩點的直線的斜率公式，會求直線的斜率和傾斜角.(3)理解直線的傾斜角和斜率之間的相互關(guān)系.2、過程與方法：(1)經(jīng)歷直線傾斜角概念的形成過程，理解直線傾斜角和斜率之間的關(guān)系.(2)從數(shù)與形兩方面讓學(xué)生明白，傾斜角和斜率都是刻畫直線相對于x軸的傾斜程度.滲透數(shù)形結(jié)合思想.(3)通過問題，層層設(shè)疑，提高學(xué)生分析、比較、概括、化歸的數(shù)學(xué)思維能力,使學(xué)生初步了解用代數(shù)方程研究幾何問題的思路.3、情感態(tài)度與價值觀：1從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)

2、學(xué)中直線的斜率，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，滲透辯證唯物主義世界觀.2幫助學(xué)生進(jìn)一步了解分類思想、數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)、形的統(tǒng)一，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神.二、教學(xué)重點：直線的傾斜角和斜率的概念，直線的斜率公式推導(dǎo)和應(yīng)用.三、教學(xué)難點：傾斜角概念的形成，斜率公式的推導(dǎo)四、教學(xué)方法與手段：計算機輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合.即在多媒體課件支持下，創(chuàng)設(shè)情境問題，層層設(shè)疑，制造認(rèn)知沖突，引發(fā)爭論，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗公式的推導(dǎo)過程，主動建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).【教學(xué)過程】一、知識導(dǎo)入在初中，我們

3、學(xué)過了函數(shù)的圖象，知道在直角坐標(biāo)系中，點可以用有序?qū)崝?shù)對來表示和確定.那么直線呢？在平面直角坐標(biāo)系中，問題：經(jīng)過一點P的直線L的位置能確定嗎? 預(yù)案：不能.如圖, 過一點P就可以作無數(shù)多條直線.那么，問題：這些直線之間又有什么聯(lián)系和區(qū)別呢?短暫思考和討論后，學(xué)生可以回答預(yù)案：(1)它們都經(jīng)過點P.(2)它們的“傾斜程度”不同.那么，我們應(yīng)該怎樣描述這種不同直線的“傾斜程度”呢？設(shè)計意圖學(xué)生剛剛學(xué)完立體幾何，對解析幾何已經(jīng)有些陌生.所以從簡單問題入手，便于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，同時又能引入傾斜角的概念，起到承上啟下的作用.二、知識探索(一)直線傾的斜角1定義：直線L與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，

4、x軸正向與直線L向上的方向之間所成的角叫做直線L的傾斜角.教師指出：對于定義的理解，我們強調(diào)的是x軸正向與直線L向上的方向所成的角.為了幫助學(xué)生加深理解，此時，可以借助幾何畫板來直觀呈現(xiàn).如下圖所示： 教師在演示的過程中再次向?qū)W生強調(diào)：從x軸正方向出發(fā)，到直線向上的方向之間所成角就是直線L的傾斜角.設(shè)計意圖學(xué)生開始對傾斜角概念還有些模糊，再此數(shù)形結(jié)合，向?qū)W生動態(tài)、直觀的展示給定直線傾斜角的形成過程，加深學(xué)生對概念的理解.【快速練習(xí)一】1下列四圖中，表示直線的傾斜角的是( ) A B C D2請標(biāo)出下列直線L的傾斜角. 設(shè)計意圖該題組的設(shè)計均為加深學(xué)生對傾斜角概念的理解.第一題比較簡單，通過PP

5、T展示出來后，讓學(xué)生集體回答即可.第二題稍難一些，在實際授課時，教師將四個圖形畫到黑板上，請一個同學(xué)到黑板上來畫.這個題目看起來簡單，而實際上，題目中設(shè)置了一些問題，圖（4）情況的傾斜角學(xué)生找一會兒，可就是找不到的！這樣就給學(xué)生的制造了一定的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣，同時加深了學(xué)生對圖（4）這種特殊情況下傾斜角的記憶.教師一邊巡查一邊指導(dǎo).待學(xué)生完成后指出，圖（1）的傾斜角是銳角，圖（2）是鈍角，圖（3）是直角.那圖（4）呢？問題：為什么圖（4）的傾斜角我們沒能標(biāo)出來呢？那么它到底應(yīng)該是多少呢？學(xué)生可能難以回答.此時讓學(xué)生再看到傾斜角的定義，然后學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：預(yù)案：定義中的傾斜角是要

6、求直線L與x軸相交的，而圖（4）中的直線L卻是與x軸平行的.教師指出：因此，對于圖（4）的直線的傾斜角并不能用該定義標(biāo)出.所以，我們對于此類直線，也就是當(dāng)直線L與x軸平行或是重合時，我們規(guī)定它們的傾斜角均為00.所以，根據(jù)上述四種情況，我們可以得到直線L傾斜角的范圍為：001800.設(shè)計意圖至此，直線傾斜角的定義從引入到解讀基本完成.由易到難，由舊到新，符合學(xué)生的認(rèn)知過程.學(xué)生很自然的完成了知識的過渡，并通過動態(tài)演示、認(rèn)知沖突加深了對傾斜角這個概念的理解，讓學(xué)生明白了“直線的傾斜角通俗的講就是直線對x軸正方向的傾斜程度.”為了更加深直線和傾斜角之間的關(guān)系，我們繼續(xù)提問：問題：在平面坐標(biāo)系中，每

7、一條直線有多少個傾斜角呢？預(yù)案：有且只有一個.問題：一個傾斜角對應(yīng)的直線有多少條呢？預(yù)案：無數(shù)條.它們都是互相平行的.如右圖.所以僅有傾斜角是不能確定直線的！問題：傾斜角再加什么條件就可以確定直線呢？預(yù)案：再加一個點.即一個點P和傾斜角可以唯一確定一條直線.設(shè)計意圖每提出一個問題，讓學(xué)生自己先行思考，或是合作討論，老師再加以點評.以加深對直線傾斜角的理解，明晰直線和傾斜角之間的關(guān)系.（二）直線的斜率問題：除了傾斜角外，我們還有沒有其他表示傾斜程度的量呢？學(xué)生可能難以回答此問題.老師可以慢慢引導(dǎo).在日常生活中，我們還會遇到一個叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的鉛直高度和水平長度之比（如右圖）.其實

8、坡度的實際就是傾斜角的正切.用類似的方法我們可以定義一個新的量來刻畫直線的傾斜程度.1直線斜率的定義：我們把直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.用小寫字母 k 表示，即.【快速練習(xí)二】已知直線的傾斜角如下，分別求出其斜率.（1） （2） （3） （4）設(shè)計意圖學(xué)生對于初中學(xué)過的特殊角的三角函數(shù)值已經(jīng)有些陌生，在此既復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值，又熟悉直線斜率的求法.對于（4）要告訴同學(xué)們公式（是銳角）.同時，根據(jù)題目可以總結(jié)出一些結(jié)論，承上啟下.教師：從上面的運算或是正切的計算可以得到：（設(shè)直線的傾斜角為） 我們也可以通過幾何畫板來直觀演示斜率的正負(fù)和傾斜角的關(guān)系，請大家看屏幕.(略)問題：任何

9、一條直線都有斜率嗎？預(yù)案：傾斜角為900的直線沒有斜率.教師：所以，我們要知道，所有的直線都有傾斜角，但是并不是所有的直線都有斜率的.設(shè)計意圖加深對傾斜角和斜率之間的關(guān)系的理解.2過兩點的直線斜率的公式學(xué)習(xí)了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度了.我們知道，如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義求出直線的斜率.我們也知道，兩點確定一條直線，也就是給定直線上兩點坐標(biāo)，直線就確定了，傾斜角也就確定了，那么怎么求出該直線的斜率呢？也就是：問題：已知直線L上兩個點的坐標(biāo)，如何求直線L的斜率呢？對于這個問題，學(xué)生一下難以回答.教師可以先給出一個圖形（圖一），一定要讓學(xué)生結(jié)合圖形思考

10、，先讓學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)引導(dǎo)，最后共同完成公式的推導(dǎo)（圖二）,得出. 圖一 圖二 圖三教師：我們知道傾斜角還有可以是鈍角，那么當(dāng)為鈍角時，公式還成立嗎？在此老師要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，得出(如圖三)，再利用誘導(dǎo)公式鈍角的情況轉(zhuǎn)化為銳角來求解.具體過程由同學(xué)們自己推導(dǎo).讓一個學(xué)生到黑板上推導(dǎo).設(shè)計意圖整個斜率的推導(dǎo)過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，教學(xué)中一定要向?qū)W生不斷滲透這些數(shù)學(xué)思想.師生共同完成了傾斜角為銳角的推導(dǎo)過程，而傾斜角為鈍角的推導(dǎo)則通過教師引導(dǎo)，由學(xué)生自己完成，讓學(xué)生真正體會到知識的形成過程，并利用這一過程將外在的知識點內(nèi)化成自身知識體系的一部分，完成知識飛躍，完善知識結(jié)構(gòu).問題：當(dāng)

11、=00時，公式還成立嗎？預(yù)案：當(dāng)=00時，直線與x軸平行或重合.，此時，所以當(dāng)=00時公式依然成立.問題：與P1，P2在直線上的順序有關(guān)嗎？讓學(xué)生思考，討論.學(xué)生開始會覺得與順序有關(guān)，但是后來有覺得應(yīng)該是沒有關(guān)系的，但說不出具體的利用.此時教師結(jié)合幾何畫板，再結(jié)合圖象，拖動點P1，P2的位置，讓學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)直線L的斜率并沒有因P1，P2位置的改變而改變.詳細(xì)推導(dǎo)過程留給學(xué)生課外完成.斜率k的大小并沒有改變?nèi)我馔蟿痈淖働1,P2位置 預(yù)案:無關(guān).即和在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子、分母不能交換.問題：從幾何角度怎樣理解公式中要求呢？預(yù)案：當(dāng)，直線垂直x軸，傾斜角為900，此時斜率不存在

12、.所以一定要注意公式適用的范圍.設(shè)計意圖通過問題引導(dǎo)，層層推進(jìn)，分解公式難點，挖掘公式中的隱含知識點.同時結(jié)合幾何畫板，加深對公式的理解.留下一定的思考題，將課堂內(nèi)容延伸到課外，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的能力和習(xí)慣.教師：到現(xiàn)在為止，我們用代數(shù)的方法刻畫出了直線的斜率公式.我們也有兩種方式來求直線的斜率了.一是利用傾斜角，二是利用直線上兩點的坐標(biāo).而且我們還可以先利用直線上兩點的坐標(biāo)算出斜率，進(jìn)而求得直線的傾斜角.三、知識應(yīng)用例1：關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的： （1）任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 （ ）（2）直線的傾斜角越大，它的斜率就越大 （ ） （3）平行于x軸的直線的傾斜角

13、是00或1800 （ ） （4）兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等 （ ）設(shè)計意圖斜率與傾斜角概念的辨析題，鞏固對斜率與傾斜角的理解.例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直線AB、BC、CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.設(shè)計意圖斜率公式的直接應(yīng)用和斜率的正負(fù)與傾斜角之間的關(guān)系.練習(xí)：1求經(jīng)過點A(2，-1)和點B(a，-2)的直線L的斜率，并討論a為何值時，直線L的傾斜角是銳角、鈍角、直角？設(shè)計意圖例2知識點的延伸，同時隱含了分類討論的思想.2已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一條直線上，求實數(shù)a的值.設(shè)計意圖加深對斜率公式的理解，讓

14、學(xué)生明白斜率的求得與直線上的點的選擇無關(guān).同時此題也是用斜率研究三點共線問題，為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊. 題組設(shè)計意圖整個練習(xí)的設(shè)計圍繞斜率和傾斜角展開，由淺入深.同時注意了知識的承上啟下和數(shù)學(xué)思想的滲透.四、知識小結(jié)1、直線的傾斜角定義及其范圍：0018002、傾斜角和斜率k之間的關(guān)系： 3、直線斜率的兩種求法： 若已知傾斜角時，若知直線過兩點且，五、板書設(shè)計教案說明全課以化歸思想為主線，達(dá)到化未知為已知，化難為易，化幾何問題為代數(shù)問題的目的.通過利用多媒體課件輔助教學(xué)，幫助學(xué)生變抽象為具體，破解教學(xué)難點.本節(jié)課在教法上力求通過設(shè)置問題，層層遞進(jìn)，揭示知識的形成發(fā)展過程，講清知識的來龍去脈，突出知識的本質(zhì)特征，整節(jié)課突出“問題解決”.從而使學(xué)生對所學(xué)的知識理解得更加深刻.（一）設(shè)置層層疑問，促進(jìn)學(xué)生探究在教學(xué)過程中按照“教、學(xué)、研同步協(xié)調(diào)原則”，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位.借助提問，給學(xué)生營造一個思考情境，促進(jìn)學(xué)生探究，給每個學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)及獲得成功的機會，使學(xué)生在民主開放、和諧愉悅的教學(xué)氛圍中獲取新知識，提高能力，發(fā)展自我.（二）引導(dǎo)學(xué)生反思,滲透數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的靈魂.