高三一輪專題復習基本不等式及其應用有詳細答案

1、§7.3基本不等式及其應用1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號.2.幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同號).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).3.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4.利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是

2、定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)1.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.(×)(2)ab()2成立的條件是ab>0.(×)(3)函數(shù)f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.(×)(4)x>0且y>0是2的充要條件.(×)(5)若a>0，則a3的最小值為2.(×)(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR).()2.當x>1時，關于函數(shù)f(x)x，下列敘述正確的是()A.函數(shù)f(x)有最小值2B.函數(shù)f(x)有最大值2C.函數(shù)f

3、(x)有最小值3D.函數(shù)f(x)有最大值3答案C3.若a，bR，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A.a2b2>2abB.ab2C.>D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A錯誤.對于B、C，當a<0，b<0時，明顯錯誤.對于D，ab>0，2 2.4.設x，yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，則的最大值為()A.2B.C.1D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，log3alog3blog3ablog321，當且僅當ab時“”成立，則的最大值為1.

4、5.(2013·天津)設ab2，b>0，則當a_時，取得最小值.答案2解析由于ab2，所以，由于b>0，|a|>0，所以2 1，因此當a>0時，的最小值是1；當a<0時，的 最小值是1.故的最小值為，此時即a2.題型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0，y>0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當x>0時，則f(x)的最大值為_.思維啟迪利用基本不等式求最值可以先對式子進行必要的變換.如第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)1解析

5、(1)x>0，y>0，且2xy1，332.當且僅當時，取等號.(2)x>0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號.思維升華(1)利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”.(2)在求最值過程中若不能直接使用基本不等式，可以考慮利用拆項、配湊、常數(shù)代換、平方等技巧進行變形，使之能夠使用基本不等式.(1)已知正實數(shù)x，y滿足xy1，則(y)·(x)的最小值為_.(2)已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_.答案(1)4(2)3解析(1)依題意知，(y)(x)1122 4，當且僅當xy1時取等號，故(y)·(x)的最小值

6、為4.(2)x>0，y>0且12，xy3.當且僅當時取等號.題型二不等式與函數(shù)的綜合問題例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，當xR時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A.(，1)B.(，21)C.(1,21)D.(21,21)(2)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.思維啟迪對不等式恒成立問題可首先考慮分離題中的常數(shù)，然后通過求最值得參數(shù)范圍.答案(1)B(2)，)解析(1)由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0，解得k1<3x，而3x2(當且僅當3x，即xlog3時，等號成立)，k1<

7、;2，即k<21.(2)對任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.設g(x)x，xN*，則g(2)6，g(3).g(2)>g(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范圍是，).思維升華(1)a>f(x)恒成立a>(f(x)max，a<f(x)恒成立a<(f(x)min；(2)求最值時要注意其中變量的條件，有些不能用基本不等式的問題可考慮利用函數(shù)的單調性.若不等式x2ax10對于一切x(0，)成立，則a的最小值是()A.0B.2C.D.3答案C解析方法一設f(x)x2ax1，則對稱軸為x.當，即a1時，f(x)在(0，)上是減函數(shù)，應

8、有f()0a，a1.當0，即a0時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，應有f(0)1>0恒成立，故a0.當0<<，即1<a<0時，應有f()110恒成立，故1<a<0.綜上，a，故選C.方法二當x(0，)時，不等式x2ax10恒成立轉化為a(x)恒成立.又(x)x在(0，)上是減函數(shù)，(x)min()，(x)max，a.題型三基本不等式的實際應用例3某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，求：倉庫面積S的最大允許值是多少？為使S達到

9、最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？思維啟迪把鐵柵長、磚墻長設為未知數(shù)，由投資3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解設鐵柵長為x米，一側磚墻長為y米，則頂部面積Sxy，依題設，得40x2×45y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，則S61600，即(10)(16)0，故0<10，從而0<S100，所以S的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是40x90y且xy100，解得x15，即鐵柵的長應設計為15米.思維升華對實際問題，在審題和建模時一定不可忽略對目標函數(shù)定義域的準確挖掘，一般地，每個表

10、示實際意義的代數(shù)式必須為正，由此可得自變量的范圍，然后再利用基本不等式求最值.(1)某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元.若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品()A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某種飲料分兩次提價，提價方案有兩種，方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：每次都提價%，若p>q>0，則提價多的方案是_.答案(1)B(2)乙解析(1)設每件產品的平均費用為y元，由題意得y2 20.當且僅當(x>0)，即x80時“”成立，故選B

11、.(2)設原價為1，則提價后的價格為方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因為1%，且p>q>0，所以<1%，即(1p%)(1q%)<(1%)2，所以提價多的方案是乙.忽視基本不等式等號成立的條件致誤典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C.5D.6(2)函數(shù)y12x(x<0)的最小值為_.易錯分析(1)對x3y運用基本不等式得的范圍，再對3x4y運用基本不等式，利用不等式的傳遞性得最值；(2)沒有注意到x<0這個條件誤用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，

12、所以3x4y(3x4y)()2 5，當且僅當x1，y時取等號，故3x4y的最小值是5.(2)x<0，y12x1(2x)()12 12，當且僅當x時取等號，故y有最小值12.答案(1)C(2)12溫馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致.方法與技巧1.基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點.2.對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變

13、形形式及公式的逆用等，例如：ab()2， (a>0，b>0)等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.失誤與防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三個條件缺一不可.2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1.已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時x的值為()A.B.C.D.答案B解析0<x<1，1x>0.x(33x)3x(1x)32.當且僅當x1x，即x時取等號.2.若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A.1B.1C.3D.4答案C解析f(x

14、)xx22.x>2，x2>0.f(x)x222 24，當且僅當x2，即x3時，“”成立.又f(x)在xa處取最小值.a3.3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()A.a<v<B.vC.<v<D.v答案A解析設甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時為，從而v.0<a<b，<，>a，<，即<，a<v<.4.若a>0，b>0，且ln(ab)0，則的最小值是()A.B.1C.4D.8答案C解析由a>0，b>0，ln(ab)0得.故4.當且僅當ab時上

15、式取“”.5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A.lg>lg x(x>0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析應用基本不等式：x，yR，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件.當x>0時，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確.二、填空題6.設x，yR，且xy0，則(x2

16、)(4y2)的最小值為_.答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，當且僅當x2y2時“”成立.7.已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù)，且p>0)，若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實數(shù)p的值為_.答案解析由題意得x1>0，f(x)x1121，當且僅當x1時取等號，因為f(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.8.某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是_.答案20解析設每次購買該種貨物x噸，則需要購買

17、次，則一年的總運費為×2，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為x240，當且僅當x，即x20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應購買該種貨物20噸.三、解答題9.(1)已知0<x<，求y2x5x2的最大值；(2)已知x>0，y>0，且xy1，求的最小值.解(1)y2x5x2x(25x)·5x·(25x).0<x<，5x<2,25x>0，5x(25x)()21，y，當且僅當5x25x，即x時，ymax.(2)x>0，y>0，且xy1，()(xy)10102 18，當且僅

18、當，即x，y時等號成立，的最小值是18.10.某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/平方米，水池所有墻的厚度忽略不計.(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.解(1)設污水處理池的寬為x米，則長為米.總造價f(x)400×(2x)248×2x80×1621 296x12 960

19、1 296(x)12 9601 296×2 12 96038 880(元)，當且僅當x(x>0)，即x10時取等號.當污水處理池的長為16.2米，寬為10米時總造價最低，總造價最低為38 880元.(2)由限制條件知x16.設g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函數(shù)，當x時(此時16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即為1 296×()12 96038 882(元).當污水處理池的長為16米，寬為米時總造價最低，總造價最低為38 882元.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1.已知a>0，b>0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A.4B.16C.9 D.3答案B解析因為a>0，b>0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因為2 6，當且僅當ab時等號成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.2.(2013·山東)設正實數(shù)x