高三數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題七橢圓雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)

1、第二講橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)研熱點(diǎn)（聚焦突破）類(lèi)型一 橢圓1定義式：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)2標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：1(a>b>0)；焦點(diǎn)在y軸上：1(a>b>0)；焦點(diǎn)不確定：mx2ny21(m>0，n>0)3離心率：e<1.4過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)為.例1(2012年高考安徽卷)如圖，點(diǎn)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線(xiàn)PF2的垂線(xiàn)交直線(xiàn)x于點(diǎn)Q.(1)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，4)，求此時(shí)橢圓C的方程；(

2、2)證明：直線(xiàn)PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)解析解法一由條件知，P(c，)，故直線(xiàn)PF2的斜率為kPF2.因?yàn)镻F2F2Q，所以直線(xiàn)F2Q的方程為yx，故Q(，2a)由題設(shè)知，4，2a4，解得a2，c1.故橢圓方程為1.解法二設(shè)直線(xiàn)x與x軸交于點(diǎn)M.由條件知，P(c，)因?yàn)镻F1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故橢圓方程為1.(2)證明：直線(xiàn)PQ的方程為，即yxa.將上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直線(xiàn)PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1已知圓M：x2y22mx30(m<0)的半徑為2，橢圓C：1的左焦點(diǎn)為F(c，0)，若垂直于x軸且經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓M相切，

3、則a的值為()A. B1 C2 D4解析：圓M的方程可化為(xm)2y23m2，則由題意得m234，即m21(m<0)，m1，則圓心M的坐標(biāo)為(1，0)由題意知直線(xiàn)l的方程為xc，又直線(xiàn)l與圓M相切，c1，a231，a2.答案：C2(2012年山東師大附中一測(cè))點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P點(diǎn)在第一象限時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A. B. C. D.解析：由題意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yp，由題意易知SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)×1|F1F2|·yp，所以yp1.

4、答案：A類(lèi)型二 雙曲線(xiàn)1定義式：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)2標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)不明確：mx2ny21(mn<0)3離心率與漸近線(xiàn)問(wèn)題(1)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b；(2)e >1，注意：若a>b>0，則1<e<，若ab>0，則e，若b>a>0，則e>.；(3)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線(xiàn)的斜率k±，焦點(diǎn)在y軸上，漸近線(xiàn)的斜率k±；(4)與1共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為(0)例2(1)(2012年高考湖南卷)已知雙曲

5、線(xiàn)C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線(xiàn)上，則C的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1(2)(2012年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線(xiàn)1的離心率為，則m的值為_(kāi)解析(1)根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解雙曲線(xiàn)1的焦距為10，c5 .又雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y±x，且P(2，1)在漸近線(xiàn)上，1，即a2b.由解得a2，b，故應(yīng)選A.(2)建立關(guān)于m的方程c2mm24，e25，m24m40，m2.答案(1)A(2)2跟蹤訓(xùn)練1(2012年合肥模擬)過(guò)雙曲線(xiàn)1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F，作圓x2y2a2的切線(xiàn)FM交y軸于點(diǎn)P，切圓于點(diǎn)M， ，則雙曲

6、線(xiàn)的離心率是()A. B.C2 D.解析：由已知條件知，點(diǎn)M為直角三角形OFP斜邊PF的中點(diǎn)，故OFOM，即ca，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.答案：A2已知雙曲線(xiàn)1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2作與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)為P，且PF1F2，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)解析：根據(jù)已知得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(c，±)，則|PF2|，又PF1F2，則|PF1|，故2a，所以2，所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y±x.答案：y±x類(lèi)型三 拋物線(xiàn)1定義式：|PF|d.2根據(jù)焦點(diǎn)及開(kāi)口確定標(biāo)準(zhǔn)方程注意p>0時(shí)才有幾何意義，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離3直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y22px(p>

7、0)的焦點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，則有：(1)通徑的長(zhǎng)為2p；(2)焦點(diǎn)弦公式：|AB|x1x2p；(3)x1x2，y1y2p2；(4)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切；(5).例3(2012年高考福建卷)如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線(xiàn)E：x22py(p>0)上(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)E相切于點(diǎn)P，與直線(xiàn)y1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)解析(1)依題意，|OB|8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x22p

8、y上，所以(4)22p×12，解得p2.故拋物線(xiàn)E的方程為x24y.(2)證明：證法一由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為(，1)設(shè)M(0，y1)，令=0對(duì)滿(mǎn)足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于=(x0，y0y1)，=(，1y1)，由=0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對(duì)滿(mǎn)足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)M(0，1)證法二由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x

9、0(xx0)，即yx0xx. 由，得所以Q為(，1)取x02，此時(shí)P(2，1)，Q(0，1)，以PQ為直徑的圓為(x1)2y22，交y軸于點(diǎn)M1(0，1)、M2(0，1)；取x01，此時(shí)P(1，)，Q(，1)，以PQ為直徑的圓為(x)2(y)2，交y軸于點(diǎn)M3(0，1)、M4(0，)故若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在，只能是M(0，1)以下證明點(diǎn)M(0，1)就是所要求的點(diǎn)因?yàn)?(x0，y01)，=(，2)，所以=2y022y022y020.故以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)M(0，1)跟蹤訓(xùn)練(2012年鄭州模擬)如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，

10、若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線(xiàn)的方程為()Ay29x By26x Cy23x Dy2x解析：過(guò)點(diǎn)B作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為B1，記準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為F1，則依題意得，所以|BB1|FF1|，由拋物線(xiàn)的定義得|BF|BB1|.令A(yù)(x1，y1)、B(x2，y2)，依題意知F(，0)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為yk(x)聯(lián)立方程，消去y得k2x2p(k22)x0，則x1x2，x1·x2.又由拋物線(xiàn)的定義知|AF|x1，|BF|x2，則可得，于是有，解得2p3，所以此拋物線(xiàn)的方程是y23x，選C.答案：C析典題（預(yù)測(cè)高考）高考真題【真題】(2012年高考陜西卷)已知橢圓C1：y21，橢

11、圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，求直線(xiàn)AB的方程【解析】(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，解得a4.故橢圓C2的方程為1.(2)解法一A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由，得x4x，即，解得k±1.故直線(xiàn)AB的方程為yx或yx.解法二A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

12、別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由 及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由，得x，y.將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直線(xiàn)AB的方程為yx或yx.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用考查化歸思想及運(yùn)算求解能力難度中上本題(2)中2的作用是：一是說(shuō)明直線(xiàn)AB過(guò)原點(diǎn)可設(shè)出直線(xiàn)AB的方程二是利用向量知識(shí)可得A、B點(diǎn)之間橫坐標(biāo)的關(guān)系以便建立方程求斜率k.考情展望高考對(duì)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的考查，各種題型都有選擇、填空中主要考查這三種圓

13、錐曲線(xiàn)的定義及幾何性質(zhì)與應(yīng)用解答題中著重考查直線(xiàn)與橢圓、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，涉及方程求法、范圍、最值、定點(diǎn)、定值的探索與證明問(wèn)題等內(nèi)容難度中上名師押題【押題】已知拋物線(xiàn)C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為的直線(xiàn)n，交直線(xiàn)l于點(diǎn)A，交圓M于不同的兩點(diǎn)O、B，且|AO|BO|2.(1)求圓M和拋物線(xiàn)C的方程；(2)若P為拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)過(guò)直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)Q向圓M作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為S、T，求證：直線(xiàn)ST恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】(1)易得B(1，)，A(1，)，設(shè)圓M的方程為(xa)2y2a2(a>0)，將點(diǎn)B(1，)代入圓M的方程得a2，所以圓M的方程為(x2)2y24，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，)在準(zhǔn)線(xiàn)l上，所以1，p2，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y24x.(2)由(1)得，M(2，0