高中數(shù)學(xué)——導(dǎo)數(shù)難題

1、5.導(dǎo)函數(shù)不等式1. 已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。解：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立由得當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時，當(dāng)變化時的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故2. 設(shè)，對任意實數(shù)，

2、記（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）求證：（）當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對于任意正實數(shù)成立。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力分類討論、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法（I）解：由，得因為當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當(dāng)時，；當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值因此當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成

3、立下面證明的唯一性：當(dāng)，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立方法二：對任意，因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因為，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立3. 定義函數(shù)f n( x )(1x)n1, x2，nN*(1)求證：f n ( x ) nx；(2)是否存在區(qū)間 a，0 (a0)，使函數(shù)h( x )f 3( x )f 2( x )在區(qū)間a，0上的值域為ka，0?若存在，求出最小實數(shù)k的值及相應(yīng)的區(qū)間a，0，若不存在，說明理由.分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)

4、，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法解：(1)證明：f n( x )nx(1x)n1nx，令g( x )(1x)n1nx , 則g'( x )n(1x)n11.當(dāng)x(2，0)時， g'( x )0,當(dāng)x(0，）時，g'( x )0，g( x )在x0處取得極小值g( 0 )0，同時g( x )是單峰函數(shù)，則g( 0 )也是最小值.g( x )0,即f n ( x )nx(當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號). 注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2h'(

5、x )(1x)2x·2(1x)(1x)(13x)令h'(x)0, 得x1或x ，當(dāng)x(2，1)，h'(x)0；當(dāng)x(1，)時，h'(x)0；當(dāng)x( ,)時，h'(x)0.故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：當(dāng)時，h(x)最小值h(a)ka k(1a)2當(dāng)時h(x)最小值h(a)h()ka 當(dāng)時h( x )最小值h( a )a(1a)2ka k(1a)2，時取等號.綜上討論可知k的最小值為，此時a，0，0.例4. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)。（1）求實數(shù)的值組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實根為、。試問：是否，使得不等式對及恒成立？若存在，求的取

6、值范圍；若不存在，請說明理由。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力函數(shù)方程思想、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） 在上 對恒成立即，恒有成立設(shè) （2） 、是方程的兩不等實根，且， 對及恒成立 對恒成立設(shè)， 對恒成立 滿足題意5. 已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的反函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)；（2）假設(shè)對，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） （2） ，成立 設(shè)， 恒有成立 ， ，在上 即 在上 的取值范圍是6.設(shè)函數(shù).()當(dāng)x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;()對任意的實數(shù)x,證明()是否存在,使得a恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.（）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是（）證法一：因證