高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)向量

1、2012高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 向量一向量的概念1.定義既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模即有向線段的長度.2.表示方法:用字母表示如等.用有向線段表示如,等.用坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則的坐標(biāo)為,記為=.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔]有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè),其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線

2、向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.例.判斷下列命題是否正確：（1）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；（ ）（2）若，則；（ ）（3）與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；（ ）（4）單位向量都相等；（ ）（5）任一向量與它的相反向量不相等； （ ）（6）四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是； （ ）二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積,圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則

3、=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2注意：向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。 D E C A B 例。1.如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ，試用a ，b ， c ， d表示向量和.=a+b+d=-a-b-c-d D C E F A B 2.（1）在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是梯形（2）已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：.3.已知,則實(shí)數(shù)x=_6_.4.已知則_,(-2,-6)_,(4,-2)與的

4、夾角的余弦值是_.5在中,若,則=.； 6.邊長為的正三角形中，設(shè)，則=提示：，. 7.已知平面上三點(diǎn)滿足則的值等于提示: 為直角三角形, , 和夾角的余弦為,和夾角的余弦為,8.已知的三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是在邊上 提示:由題設(shè)得, 在邊上.9.已知為平面上四點(diǎn)，且，則點(diǎn)在線段上提示:,這表明點(diǎn)在直線上, , 和同向, , .10.平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 已知兩點(diǎn), 若點(diǎn)滿足, 其中且, 則點(diǎn)的軌跡方程為.提示：設(shè),則, , 消去得.11.在中,設(shè),又向量,若,.則點(diǎn)過的 心證明: 和分別是上的單位向量, 以和為邊的四邊形為菱形,的終點(diǎn)在的平分線上. 可為正,負(fù)

5、或零,表示點(diǎn)在的平分線所在直線上12.如圖，在直角ABC中，已知，若長為的線段以點(diǎn)為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。解：(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：設(shè)、為實(shí)數(shù); ;兩個(gè)向量的數(shù)量積:·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，例如(±)2=(三)重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù),使，叫做的線性組合。叫做表示該平面內(nèi)所有向量的一組

6、基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.即如果且,那么.當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面向量的坐標(biāo)表示.(2).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)=,=，則+=-=，=·=設(shè)A，B,則即向量坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)兩個(gè)向量平行的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件：(M為任意點(diǎn))=；兩個(gè)向量垂直的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，則兩個(gè)向量數(shù)量積的重要結(jié)論： 即 (求線段的長度);(垂直的判斷); (求角度)。叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義

7、是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則,三角形的重心坐標(biāo)公式ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則ABC的重心的坐標(biāo)是“按向量平移”的結(jié)論：點(diǎn)按向量=平移后得到點(diǎn)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=三角形五“心”向量形式:設(shè)角所對邊長分別為，則為的外心為的重心為的垂心為的內(nèi)心為的的旁心典型例題1 在OAB中，C是AB邊上一點(diǎn)，且(>0)，若a，b，試用a，b表示. 2.設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)（）3.已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，值為4.與向量a = (12，5)

8、平行的單位向量為 或5.已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是(0,1)6.在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·=±27.設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.t0且t8.已知ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b與kab互相垂直，則k的值為9.已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac則|bc|=10已知，則ABC的形狀一定是直角三角形11.如圖，在ABC和AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB=EF=1，若，則與的夾角等于12已知向量a，b，c滿足|a|=1，|a-b|=|b|，（a-c）·（b-c）=0，若對每一個(gè)確定的向量b，|c|的最大值和最小值分別為m，n，則對于任意向量b，m+n的最小值是_.13如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為；14.若把圓按向量平移后,恰好與直線相切,則實(shí)數(shù)的值為_. 或提示:圓的圓心為,半徑為,圓按向量平移后,圓心為,由題意得,.15.證明：對于任意的，恒有不等式證明：設(shè)，則,而即，得16