彈性與塑性力學(xué)第2,3章習(xí)題答案

1、第二章2.1（曾海斌）物體上某點的應(yīng)力張量ij為ij=（應(yīng)力單位）求出：（a）面積單位上應(yīng)力矢量的大小，該面元上的法線矢量為n=（1/2，1/2，1/）；（b）應(yīng)力主軸的方位；（c）主應(yīng)力的大小；（d）八面體應(yīng)力的大小；（e）最大剪應(yīng)力的大小。解答：(a)利用式（2.26）計算應(yīng)力矢量的分量i，得1=1jnj=11n1+12n2 +13n3 = 0 ;同樣 2= jnj =272.47 3=3jnj =157.31 所以，應(yīng)力矢量的大小為(1 )2 +(2 )2+(3)21/2=314.62(b)(c)特征方程：3I12 + I2I3=0其中I1 =ij 的對角項之和、I2 =ij 的對角項余

2、子式之和、I3 =ij的行列式。從一個三次方程的根的特征性可證明：I1 =1+2+3 I2=12+23+31I3=123其中得，1=400、2=3=0 是特征方程的根。將1、2和3分別代入（2.43），并使用恒等式n12+ n22 + n32=1可決定對應(yīng)于主應(yīng)力每個值的單位法線ni的分量（n1 、n2 、n3）：ni（1）=（0， ±0.866，±0.5）ni（2）=（0， 0.5，±0.866）ni（3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以選用與軸1正交的任何兩個相互垂直的軸。(d）由式（2.96），可算otc=1/3（0+100+3

3、00）=133.3otc=1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已經(jīng)求得1=400、2=3=0，則有（2.91）給出的最大剪應(yīng)力為max=2002.2（曾海斌）對于給定的應(yīng)力張量ij，求出主應(yīng)力以及它們相應(yīng)的主方向。ij=（應(yīng)力單位）（a）從給定的ij和從主應(yīng)力值1，2和3中確定應(yīng)力不變量I1，I2和I3；（b）求出偏應(yīng)力張量Sij；（c）確定偏應(yīng)力不變量J1，J2和J3；（d）求出八面體正應(yīng)力與剪應(yīng)力。解答：同上題2.1（a）（b）（c）方法得到1=4、2= 2 、3=1對應(yīng)于主應(yīng)力每個值的單位法線ni的分量（n1 、n2 、n3）：ni（

4、1）=（0， ，±）ni（2）=（±， 0.5，0.5）ni（3）=（±， ±0.5，±0.5）（a）特征方程：3I12 + I2I3=0中I1 =ij 的對角項之和、I2 =ij 的對角項余子式之和、I3 =ij的行列式。代入數(shù)據(jù)的：I1 =7；I2 =14；I3 =8（b）偏應(yīng)力張量由式子（2.119）得出Sij=12-pij ，其中p=7/3Sij=-(c)J1= Sii=0，J2=1/64+1+9=2.333, J3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741(d) otc=1/3*7=2.333otc= /3(I12-3

5、 I2) 1/2=1.2472.3（李云雷）（a）解釋：如果 （b）解釋：可以為負(fù)值嗎？ （c）解釋： 可以為正值嗎？解： （a）不能，因為所以不能等于0. （b）因為，所以不可能為負(fù)值。 （c）可以，當(dāng)中有一個正數(shù)，兩個負(fù)數(shù)時為正值。2.7 （金晶）證明以下關(guān)系（a）證明：（b）證明：（c）證明：(d) 證明：2.9（梁健偉）證明：從一個給定的應(yīng)力狀態(tài)中加上靜水應(yīng)力，其主方向不改變。證明：設(shè)靜水應(yīng)力為，從主方向的定義有，從給定的應(yīng)力狀態(tài)中減去靜水應(yīng)力得，即：把等式右邊的移項到左邊得所以從一個給定的應(yīng)力狀態(tài)中減去一個靜水應(yīng)力，其主方向不變。2.10（張東升） 證明：通過在應(yīng)力原始狀態(tài)中加上靜水

6、拉力或壓力，不改變作用于過某定點任何平面的剪應(yīng)力分量。證明：關(guān)于主應(yīng)力軸，任意平面上是用， 由式給出?，F(xiàn)假設(shè)靜水應(yīng)力狀態(tài)（）是被疊加上去，得一組主應(yīng)力。對于這一新的應(yīng)力狀態(tài)，在任意斜截面上的剪應(yīng)力分量由下式得出：由恒等式，將上式展開化簡得。這表明，原結(jié)論成立。2.11 （黃耀洪）畫出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所給出的在主應(yīng)力空間上的兩個應(yīng)力狀態(tài)，并畫出它們在偏平面上的投影。求的主應(yīng)力，代入解得 同理，解得的主應(yīng)力 在主應(yīng)力空間上的兩個應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示：求的 、 同理，求得的 、 在偏平面上的投影如下圖所示：2.12 （李松） 如果ijtjk=tijjk, ij和tij為兩

7、點的兩個應(yīng)力狀態(tài)，證明兩個應(yīng)力狀態(tài)的主軸重合。注意不必將tij作為另一個應(yīng)力張量如第三章的應(yīng)變張量一樣，且主軸重合保持不變條件。（提示：將其中一種應(yīng)力狀態(tài)換到主坐標(biāo)系上）證明：由題意得：ijtjk=tijjk 對i、j取1至3展開關(guān)系式得： 11t1k+12t2k+13t3k= t111k+ t122k+ t133k （1） 21t1k+22t2k+23t3k= t211k+ t222k+ t233k （2） 31t1k+32t2k+33t3k= t311k+ t322k+ t333k （3） 參照ij的主軸，即ij時，ij=0. 所以，對于（1）式 K分別取2、3.由于ij時，ij=0. 則

8、有： K=2時，1t12=t122 ；k=3時，1t13=t133 對于123，t12=0和t13=0. 同理由（2）（3）式可得： t21=0和t23=0，t31=0和t32=0.一般地，ij時，tij=0. 所以tij的主方向與ij的主方向重合2.14 （盧俊坤）在偏平面上畫出下列函數(shù)：（a）（b）（c）其中，為常數(shù)。解：（a）依題意得：將 代入 得 所以，在偏平面上的圖像為以三軸交點為圓心，半徑為的圓。函數(shù)圖象如圖a所示（利用Matlab繪制，圖線與最外圍的黑線圓重合，繪圖時常數(shù)暫不考慮）。圖a （b）依題意得：由 及 得： 和 再代入 得： 函數(shù)圖象如圖b所示（利用Excel和Matl

9、ab繪制，以為x軸，繪圖時常數(shù)暫不考慮）。 圖b （c）依題意得：由 得： 再得： 令 得 函數(shù)圖象如圖c所示（利用Excel和Matlab繪制，以為x軸，繪圖時常數(shù)暫不考慮）。 圖c2.15 （蘭成）如果由兩個應(yīng)力狀態(tài)疊加得出一個應(yīng)力狀態(tài)，證明：（a）其最大主應(yīng)力不大于單獨(dú)的最大主應(yīng)力之和；（b）其最大剪應(yīng)力不大于單獨(dú)的最大剪應(yīng)力之和；（c）靜水壓力分量的合成是兩個單獨(dú)狀態(tài)簡單的代數(shù)相加，但剪力分量合成是兩個單獨(dú)狀態(tài)的矢量相加。證明：假設(shè)兩個應(yīng)力狀態(tài)為：和疊加之后得到：正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為。（a） 應(yīng)力狀態(tài)的疊加是矢量的疊加，當(dāng)這兩個應(yīng)力狀態(tài)的方向相同時，疊加之后得到的應(yīng)力狀態(tài)方向也相同，其最

10、大主應(yīng)力等于兩個單獨(dú)的最大主應(yīng)力之和；當(dāng)方向相反時，最大主應(yīng)力為兩個單獨(dú)的最大主應(yīng)力之差；當(dāng)兩個應(yīng)力狀態(tài)的方向不同時，疊加之后得到的應(yīng)力狀態(tài)的方向沿兩個應(yīng)力狀態(tài)方向所夾的平行四邊形的對角線方向，根據(jù)平行四邊形法則，其最大主應(yīng)力小于單獨(dú)的最大主應(yīng)力之和。所以，疊加之后其最大主應(yīng)力不大于單獨(dú)的最大主應(yīng)力之和。（b） 同（a）的分析方法，兩個應(yīng)力狀態(tài)方向相同時，疊加后最大剪應(yīng)力等于單獨(dú)的最大剪應(yīng)力之和；方向相反時，疊加后最大剪應(yīng)力等于單獨(dú)的最大剪應(yīng)力之差；方向不同時，根據(jù)平行四邊形法則，疊加后最大剪應(yīng)力小于單獨(dú)的最大剪應(yīng)力之和。所以，疊加之后其最大剪應(yīng)力不大于單獨(dú)的最大剪應(yīng)力之和。（c） 因為靜水壓

11、力張量相當(dāng)于常數(shù)正應(yīng)力張量，兩個常數(shù)正應(yīng)力張量方向一致，其合成不改變其主方向。因此，靜水壓力分量的合成是兩個單獨(dú)狀態(tài)簡單的代數(shù)相加。因為在所有方向上加減一個常數(shù)正應(yīng)力不會改變其主方向，偏應(yīng)力張量與原應(yīng)力張量的方向一致。所以剪力分量合成相當(dāng)于原應(yīng)力張量合成，即矢量相加。2.16 （黃莉根）從式（2.172）出發(fā)，其中s1=(21-2-3)/3，并利用式（2.104）式（2.113）給出的關(guān)系（對于123）： (a) 證明 (b) 證明對于01，在0/3的范圍內(nèi)變化；(c) 定義稱作Lode的應(yīng)力參數(shù)為 證明以下關(guān)系：( i ) =2-1；(ii ) (iii) 證明：(a) 由式（2.172）知

12、 s1=(21-2-3)/3=(1-2)+(1-3)/3=212+213/3 123，則有 12=min 13=max s1=2min+max/3 又由式（2.134） 其中用到式（2.110），證畢。 (b) 令：，其中： ，分子分母除以，配方可得下式：，其中：可以解得：即：，則，證畢。 (c) ( i ) (i i) (iii) 如果123，即01則 -1=1-212.17 （周浩超、陳康海） 考慮對于主偏應(yīng)力的式（2.129） 并代入導(dǎo)出 (a) 考慮后一等式與三角幾何恒等式 的相似性，采用 和 證明r和對于是不變量。解：因為 題目中已知，而式（2.172） 可得 因為的值為與偏應(yīng)力不變

13、量和有關(guān)的不變量。 所以說和與，有關(guān)的不變量。即r和對于 是不變量。 （b）利用（a）中得出的結(jié)果及式（2.166）和式（2.175）證明： （i）解：式（2.166） 式 (2.175) 可知 得 得證 (ii)對于0，以及范圍內(nèi)變化。解：已知 而 （c）對于由主應(yīng)力定義的任意應(yīng)力狀態(tài)，并考慮在平面上的投影（如圖2.30所示），求解在以下條件中相應(yīng)的和：（i） = 或；解：已知 ， ， 由于代入已知式子，得， （ii）= 或； 解： （iii） 或， 解： ， ，2.18 （李樹旺、李煒） 對于纖維增強(qiáng)（金屬基）復(fù)合材料，考慮下面的“屈服函數(shù)”： 其中，第三章3.1（黃耀洪）給定一點上的相對

14、位移量，試證明對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)換是不變量。證明：3.1 （張東升）給定一點上的相對位移張量，試證明對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)換是不變量。證明：給定一點上的相對位移張量。在無限小變形情況下，其各分量很小，其乘積與其分量一次項相比可忽略不計。設(shè)線元OP=單位矢量n，假設(shè)線元在純剛體運(yùn)動后所處新位置為，則。因考慮的是無限小變形，的高次項被忽略，由代入上式得：，即。因為對于任意值上式必須成立，所以張量代表剛體旋轉(zhuǎn)的必要充分條件為：。所以。3.2 （梁健偉）給定一點上的相對位移張量為計算：（a） 應(yīng)變張量；（b） 旋轉(zhuǎn)張量；（c） 主應(yīng)變，和及其主方向；（d） 對具有方向的纖維元，找出應(yīng)變矢量，轉(zhuǎn)動矢量和相對位移矢量

15、。解：（a） 由公式：由已知條件可得：（b） 由公式：由已知條件可得： （c） 由主應(yīng)變特征方程：=0.65=0.799=0.074帶入特征方程中可以解得：由公式，將帶入可得到：主方向： ；主方向： ；主方向： （d） 由得 由得由得3.3 （黃莉根、盧俊坤）給定一點上的相對位移張量為 計算：（a）主應(yīng)變和主方向；（b）最大剪應(yīng)變；（c）八面體應(yīng)變；（d）具有方向n=（0.25，0.58，0.775）的纖維元的正應(yīng)變分量和合剪應(yīng)變分量；（e）偏應(yīng)變張量及其不變量和；（f）單位體積的體積變化（膨脹）（g）應(yīng)變不變量和。 解：（a）應(yīng)變不變量 I1'=0.023+0.009+0.013=0

16、.045 =（0.023）（0.009）-（-0.015）（-0.015）+（0.009）（0.013）-（0.008）（0.008）+（0.023）（0.013）-（0.001）（0.001）=0.000333 特征方程為: 三個主應(yīng)變?yōu)榇胫鲬?yīng)變解得各個對應(yīng)的主方向： ， ， （b）最大剪應(yīng)變（c），（d） =0.023*0.25*0.25+0.009*0.58*0.58+0.013*0.775*0.775-0.015*0.25*0.58*2+0.001*0.25*0.775*2+0.008*0.58*0.775*2=0.0155 =0.023*0.25-0.015*0.58+0.001*

17、0.775=-0.002175， =-0.015*0.25+0.009*0.58+0.008*0.775=0.00767 =0.001*0.25+0.008*0.58+0.013*0.775=0.014965 （e） （f） （g）由（a）得=0.000333，3.4 （周浩超、李松）證明：（a）oct=-31/2;(b) =.證明： （a）由（3.40）得：oct=1/2 展開得：oct=1/2 其中由于：，所以有： oct=1/2 （1） 又由：= 所以：=- 把該式帶入（1）式得： oct=-31/2（b） 由公式（3.33）有： 所以：3= + =則：=-= （1）又由于 ，所以（1）式=又由（3.51）有 所以：= 3.5 （金晶、李云雷）對平面應(yīng)變分量 計算主應(yīng)變，主方向，最大剪應(yīng)變，正應(yīng)變分量和剪應(yīng)變分量。此線元具有方向余弦 解：3.6（曾海斌）一物體指點的位移分量ui由函數(shù)分量給定 u1=10x1+3x2，u2=3x1+2x2，u3=6x3證明若變形假設(shè)