每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是2個(gè)奇素?cái)?shù)之和（Eratosthenes雙篩

1、每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是2個(gè)奇素?cái)?shù)之和（Eratosthenes雙篩法）作者：崔坤單位：即墨市瑞達(dá)包裝輔料廠郵箱：cwkzq摘要：Eratosthenes篩法的最大智慧就是用N1/2內(nèi)的素?cái)?shù)可以得到N內(nèi)的所有素?cái)?shù)，有雙記法可以給出任意大于等于6的偶數(shù)N都可以表示為2個(gè)奇素?cái)?shù)之和。關(guān)鍵詞：Eratosthenes篩法，奇素?cái)?shù)，等差數(shù)列，Eratosthenes雙篩法證明：偶數(shù)N大于等于6：N=2n+43.5.7.9(2n-5).(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+1)(2n-1).(2n-3)(2n-5).9.75.3上面的排列是用2雙篩后余下的奇數(shù)排列，是N分解為兩個(gè)奇數(shù)和的雙記法埃拉

2、托斯特尼篩法，簡(jiǎn)稱埃氏篩或愛氏篩，是一種由希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼所提出的一種簡(jiǎn)單檢定素?cái)?shù)的算法。要得到自然數(shù)N以內(nèi)的全部素?cái)?shù)，必須把不大于根號(hào)N的所有素?cái)?shù)的倍數(shù)剔除，剩下的就是素?cái)?shù)。顯然：Eratosthenes篩法的最大智慧就是用N1/2內(nèi)的素?cái)?shù)可以得到N內(nèi)的所有素?cái)?shù)設(shè)N1/2內(nèi)的最大奇素?cái)?shù)是Pm在N內(nèi)：由于1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù),故不考慮1+(N-1)的算式。我們只分析從3+(N-3)開始的N=2n+4:分析每個(gè)大于等于6的偶數(shù)N中的奇數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)：N=2n+4中共有n個(gè)不相同的奇數(shù)，共有n個(gè)不相同的奇數(shù)對(duì)。奇數(shù)對(duì)分類與N相關(guān)的有四種：1（奇素?cái)?shù)，奇素?cái)?shù)），簡(jiǎn)稱：1+1，令有r2(N)個(gè)2（奇

3、合數(shù)，奇合數(shù)），簡(jiǎn)稱：C+C,令有C(N)個(gè)3（奇素?cái)?shù)，奇合數(shù)），簡(jiǎn)稱：1+C,令有M(N)個(gè)4（奇合數(shù)，奇素?cái)?shù)），簡(jiǎn)稱：C+1,令有W(N)個(gè)根據(jù)其對(duì)稱性則有：M(N)=W(N)設(shè)N=2n+4中共有(N-3)-1個(gè)不相同的奇素?cái)?shù)，則：r2(N)+C(N)+W(N)+M(N)=n1M(N)= (N-3)-1- r2(N)2M(N)=W(N)3有上述1、2、3式得：r2(N)=C(N)+2(N-3)-2-n其中，r2(N)、C(N)均為自然數(shù)，(N-3)、n均為非零自然數(shù)。偶數(shù)表法數(shù)公式：r2(N)=C(N)+2(N-3)-N/2從集合概念上講:A:【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】，B:【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】，C

4、:【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】，D:【奇合數(shù)+奇合數(shù)】,這是4個(gè)平行的概念，它們沒有任何交集。大偶數(shù)N的集合中有且僅有這4個(gè)子集合，N=A+B+C+D是恒等式。根據(jù)埃氏篩法可知經(jīng)過(m-1)個(gè)素?cái)?shù)雙篩后，素?cái)?shù)有且僅有：【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】末篩素?cái)?shù)Pm只是篩掉了：【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇合數(shù)+奇合數(shù)】,由于【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)=【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】的個(gè)數(shù)，而【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)始終不變。我們用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：偶數(shù)N大于等于6：N=2n+4【1】 當(dāng)m=2時(shí)，P(2-1)= P(1)=3, P(2)=5根據(jù)埃氏篩法可知648內(nèi)的偶數(shù)都可以經(jīng)過(m-1)=2-1=1個(gè)素?cái)?shù),3雙篩后

5、，素?cái)?shù)有且僅有：【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】末篩素?cái)?shù)5只篩去了含有5的奇合數(shù)，素?cái)?shù)3雙篩后的【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)沒有變化?！?】假設(shè)m=k時(shí)，偶數(shù)N大于等于50，根據(jù)埃氏篩法可知經(jīng)過(k-1)個(gè)素?cái)?shù)雙篩后，素?cái)?shù)有且僅有：【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】末篩素?cái)?shù)Pk只是篩掉了含有素因子Pk的奇合數(shù)：【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇合數(shù)+奇合數(shù)】,由于【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)=【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】的個(gè)數(shù)，而素?cái)?shù)P(k-1)雙篩后的【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)始終不變。m=k+1時(shí)，根據(jù)埃氏篩法可知經(jīng)過(k+1)-1)個(gè)素?cái)?shù)雙篩后，素?cái)?shù)有且僅有：【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】末篩素?cái)?shù)P

6、(k+1)只是篩掉了含有素因子P(k+1)的奇合數(shù)：【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】+【奇合數(shù)+奇合數(shù)】,由于【奇合數(shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)=【奇素?cái)?shù)+奇合數(shù)】的個(gè)數(shù)，而素?cái)?shù)Pk雙篩后的【奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)】的個(gè)數(shù)始終不變?！?】綜合【1】、【2】，對(duì)一切自然數(shù)m2，偶數(shù)N大于等于6都能表示成為2個(gè)奇素?cái)?shù)之和。無論偶數(shù)N有多大經(jīng)過雙篩后的素?cái)?shù)是存在的，剩余素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)r2(N)大于含有素因子Pm合數(shù)的個(gè)數(shù)N/4Pm，是向下取整符號(hào)。r2(N)N/4Pm推導(dǎo)：?jiǎn)魏Y法時(shí)含有素?cái)?shù)因子Pm的合數(shù)至少有N/2Pm-1雙篩法時(shí)含有素?cái)?shù)因子Pm的合數(shù)至多有N/4Pm，由于是雙篩，則r2(N)N/4Pm，由于N>Pm*Pm所以r

7、2(N)N/4PmPm/4示范：50：首先我們運(yùn)用埃氏篩法：第一步：用 2 雙篩：剩余 50/2=25 個(gè)奇數(shù)1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 4949 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1第二步：用 3雙篩：剩余 11 個(gè)奇數(shù)1 3 7 13 19 25 31 37 43 47 4949 47 43 37 31 25 19 13 7 3 1第三步：用 5 雙篩：剩余 10 個(gè)奇數(shù)1 3 7 13 1

8、9 31 37 43 47 4949 47 43 37 31 19 13 7 3 1顯然：在末篩素?cái)?shù)7參入之前除1之外有9個(gè)奇數(shù)它們是數(shù)列： 3 7 13 19 31 37 43 47 49用末篩素?cái)?shù)7雙篩就得到8個(gè)素?cái)?shù)，也就是8個(gè)素對(duì)即r2(50)=8它們是：3 7 13 19 31 37 43 4747 43 37 31 19 13 7 3r2(50)Pm/4=7/4=1當(dāng)N趨向于無窮時(shí)，r2(N)=C(N)+2(N-3)-N/2(簡(jiǎn)稱：表示法個(gè)數(shù)偶數(shù)公式)r2(N)/N=C(N)/N+2(N-3)/N-1/2limr2(N)/N=limC(N)/N+lim2(N-3)/N-1/2N+ N+ N+根據(jù)素?cái)?shù)定理有：lim(N)/N=0，N+而r2(N)(N-3)(N),所以：limr2(N)/N=0，lim2(N-3)/N=0N+ N+即：limC(N)/N+lim2(N-3)/N-1/2N+ N+=limC(N)/N+0-1/2N+=limC(N)/N-1/2=0N+即：limC(N)/N=1/2N+C(N)N/2這個(gè)結(jié)論我們稱之為奇合數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)密度定理。根據(jù)奇合數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)密度定理:C(N)N/2根據(jù)素?cái)?shù)定理：(N-3)(N-3)/ln(N-3)r2(N)2（N-3）/ln(N-3)，由于r2(N)的最大值是