三角形中做輔助線的技巧及典型例題

1、三角形中做輔助線的技巧口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角 形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔 助線的作法，一般有兩種。

2、從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于 選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線則有件。平分DA=D（一）、截取構全等如圖1-1 , / AOCW BOC如取 OE=OF并連接 DE OE國 OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條例1. 如圖 1-2, AB/CD , BE 平分/ BCD CE /BCD 點 E在 AD上，求證：BC=AB+CD例2. 已知：如圖 1-3, AB=2AC / BAD玄 CAD B,求證 DCL AC例3

3、.已知：如圖 1-4,在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC 求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看的延長來證明呢?練習是截取法可否把短用到構造=AC已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/ C,求圖1-4證：AB+BD2.已知：在 ABC中，/ CAB=2/ B, AE平分/ CAB交 BC于 E, AB=2AC 求證：AE=2CE3.4.已知：D是4ABC的/ BAC的外角的平分線 AD上的任一點，連接 DB DG求證:BD+CD>A

4、B+A C已知：在 ABC中，AB>AC,AM/ BAC的平分線， M為AD上任一點。求證： BM-CM>AB-AC（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。如圖 2-1 ,已知 AB>AD, /BAC4 FAC,CD=BC求證:/ ADC吆 B=180分析：可由C向/ BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之例2.如圖 2-2,在 ABC 中，/ A=90 , AB=AC / ABD=求證:BC=AB+AD分析：過D作DE! BC于E,則AD=DE=CE則構造出全等三角形，從而得證。此題是證

5、明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。圖2-2例3.已知如圖2-3, ABC的角平分線 BM CN相交于點P。求證:/ BAC的平分線也經(jīng)過點 P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證 P到AB AC的距離相等。練習:MFPC 圖2-3圖2-41 .如圖 2-4/AOPW BOP=15 , PC/OA, PD±OA如果 PC=4 貝U PD=()2,已知在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AGAAE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=180 。4 .已知：如圖2-6,在正方形 ABCD43, E為CD的

6、中點，F(xiàn)為BC上的點，/ FAE=/ DAE 求證：AF=AD+CF5 . 已知：如圖 2-7,在 RtABC中，/ ACB=90 ,CD，AB,垂足為 D, 作FH/AB交BC于H。求證 CF=BHA CEB 圖 2-6 F CADB歹D 圖2-5AE平分/ CAB交CD于F,過FB（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）例1 . 已知：如圖3-1 ,

7、/ BADh DAC AB>AC,CDL AD于 D, H 是 BC中點。求一 1 ，一證：DHe (AB-AC)2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。已知：如圖3-2 , AB=AC/ BAC=90 , AD為/ ABC的平分線,求證：BD=2CEE± BE.分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線,垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。例3.已知：如圖 3-3在4ABC中，AR AE分另1JZ BAC的內(nèi)、延長此角平分可E于Ml外線，過頂點求證:分析：N 圖 3-3而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。1例4.已知：如圖 3-4,在

8、ABC中，AD平分/BAC AD=ABCMLAD交AD延長線于Ml求證：AM、2(AB+AC分析：題設中給出了角平分線 AD,自然想到以 AD為軸作對稱變換，作 ABD關于AD的對稱 AED即2A證DF是/然后只需證 DMEC,另外由求證的結果 AM=1 （AB+AC, 22M=AB+AC也可嘗試作 ACM于CM的對稱 FCM然后只需=CF即可。練習：1 .已知：在 ABC中，AB=5, AC=3 D 是 BC 中點，AEBAC的平分線，且 CEL AE于E,連接DE,求DEAF± BF于 F, AE± BE于 E,連接 EF分2 .已知BE BF分別是 ABC的/ ABC

9、的內(nèi)角與外角的平分線,1 一 另反AR AC于M N,求證 MN、BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1圖4-2AB例 4 如圖，AB>AC, /1=/2,求證：AB-AC>BD-CD=CAACE如圖,如圖,練習:1 .已知，如圖，/ C=2/ A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形。2,已知：如圖， AB=2AC / 1 = Z2, DA=DB 求證：DC!ACCB圖1 -23

10、 .已知CE AD是 ABC的角平分線，/ B=60° ,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證： BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于

11、第三邊, 故可想辦法放在一個三角形中證明。在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如:例1、 已知如圖1-1: D、E為 ABC證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：(法一)將DE兩邊延長分別交 AB AC于M N,在AMN, AM+AN>MD+DE+N El)在 BDW, MB+MD>B D (2)在 CEN中,CN+NE>CE ( 3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB

12、+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長 CE交BF于G,在人85和4 GFC4GDE中有:AB+AF>BD+DG+GB角形兩邊之和大于第三邊）（ D接證不出GF+FC>GE+C E 同上）DG+GE>D E 同上）（3）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AC>BD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直 來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個 三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角

13、定理：例如：如圖2-1:已知D為ABCft的任一點，求證：/ BDCX BAC畫因為/ BDC與/ BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形, 使/ BDC處于在外角白位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E,這日BDC是4EDC的外角， / BDC/ DEC 同理/ DEC/ BAC/ BDC/ BAC證法二：連接 AD并廷長交 BC于F,這時/ BDF是 ABDW外角， ./ BDFV BAD 同理，C CDF/ CAD，/ BDF+/ CDF/ BAD+/ CAD 即：/ BDC/ BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大

14、角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個 三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如:例如：如圖3-1 :已知AD為ABC勺中線，且/ 1=Z2, 7 3=BE+CF>EF回要證 BE+CF>EF可利用三角形三邊關系定理證明，EF移到同一個三角形中，而由已知/1 = /2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等等，把EN FN, EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取 DN=DB連接 NE NF,則DN=DC在 DB訝口 NDE中:。DN=DB（輔助線作法）/ 1 = /2 （已知）' ED

15、=ED（公共邊） . DBEE NDE （ SAS）BE=NE（全等三角形對應邊相等）同理可得：CF=NF在 EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中，AB>AC /1 = /2, P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC西要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC,

16、故可在AB上截取AN等于AC,彳導AB-AC=BN再連接PN貝U PC=PN 又在 PNB中,PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長法）在AB上截取 AN=ACi接PN,在4APN和4APC中AN=AC（輔助線作法）V 1 = 72 （已知）AP=AP （公共邊）AP陰 APC（SAS）,PC=PN（全等三角形對應邊相等）在4BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長 AC至M,使AM=AB連接PM在 ABP和 AM叩AB=AM（輔助線作法）<Z 1 = /2 （已知）Ap=ap （公共邊）.

17、AB眸 AMP (SAS)PB=PM（全等三角形對應邊相等）又在 PCM43有：CM>PM-P*角形兩邊之差小于第三邊AB-AC>PB-PCADDCDCBCEAB例4如圖A1A2MCBDCDB1【方法精講AABCCDDAEAMFCCBDNE方法 方法 方法23 ABC 中AD是BC邊中線例2如圖，在四邊形延長MDiij N使 DN=MD連接CD作C。AD于F,作BE! AD的延長線于E連接BE求證：BC=AB+D CABCM, AC平分/ BAD CE!AB于 E, AD+AB=2AE常用輔助線添加方法一一倍長中線例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC ZA=108

18、76; , BD平分/ ABGRtABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線【夯實基礎】可：AABC中，AD是/BAC的平分線E BDML AB于 M 且 AM=MB1 : 延長AD到E 使 DE=AD 連接BE作 DEL AB于 E,彳DF± AC于 F輔助線同上，利用面積倍長中線AD求證：/ ADC吆 B=180o且 BD=CD 求證 AB=AC 證明二次全等例 1.如圖，AC平分/ BAD CE!AB,且/ B+Z D=180° ,求證：CDB求證：AE=AD+BEB方法方法方法BE=AC例4: tDF=AC 求證：如圖AABC 中，AB# ACE在BC

19、上DE=EC過D作DF / BA交AE于點FAE平分/ BAC提示方法方法倍長AE至G倍長FE至H,DGCHD E第1題圖【經(jīng)典例題】例1: 4ABC中，AB=5, AC=3求中線 AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延長線上， DE交BC于F,且DF=EF求證：BD=CEA過 D作 DG/ AE交 BC于 G,證明 A DGM A CEF過E作EG/ AB交BC的延長線于 G,證明A EF® A DFB過D作DGL BC于G 過E作EH! BC的延長線于 H證明 A BDe A ECH,EB

20、E交AC于F,求證：AF=EFA提示：倍長 AD至G 連接BG證明ABD8ACDA 三角形BEG是等腰三角形提示：倍長 證明AE至FDFA AB段 A FDE ( SAS進而證明 A AD障A ADC (SAS【融會貫通】1、在四邊形 ABCD43, AB/ DC E為BC邊的中點 段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論BAE=/ EAF, AF與DC的延長線相交于點 F。試探究線A提示：延長 AE、DF交于G證明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分NBDA交AB于E, DF平分/ADC交AC于F.求證：BE十CF A EF提示：方

21、法1DA上截取 DG=BD連結 EG FG證明所以A BDE A GDE A DC庭 A DGFBE=EG CF=FG方法2 :倍長ED至H,連結 CH FHD第14題圖CD=AB / BDA=/ BAD AE是 ABD的中線，求證2.如圖， ABC中,BAC=90 ,AB=AC AE是過A的一條直線，且 B, C在AE的異側,證明 FH=EF CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖， 9BC中，NC=900, CMAB于M AT平分/BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE/AB交BC于 E,求證：CT=BE.提示：過T作TNJ± AB于N 證明 A BTN A EC

22、D1 .如圖，AB/ CD AE、 DE分另1J平分/ BAD各/ADE 求證：AD=AB+CDBD± AE于 D, CEL AE 于 E。求證：BD=DE+CE四、由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、 加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找 到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1, AD是A ABC的中線，則 Sa abd=Sa ac= 2 Sa ABC

23、（因為 AABg A AC皿等底同高的）。小冷例1.如圖2, A ABC中，AD是中線，延長 AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中線。已知 A ABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因為 AD是 AABC的中線，所以 Saac=1 &abc=1x2=1,又因 CD> AACE的中線，故 Sacde=Saac=1 , 22因 DF是 ACDEW中線，所以 Sa cd=1sacde=1 X 1 = 1 o222A CDF的面積為1 。2（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形 ABCD43, AB=CD E F分別是BC AD的中點，BA CD的延長線

24、分別交 EF的延長線G H。求證：/ BGE=/ CHE證明：連結BD并取BD的中點為 M連結ME MF2 .M比A BCD勺中位線，ME'' _ CD / MEF=/ CHE =2.MF是A ABD的中位線，MF' - AB, / MFE=/ BGE二23 AB=CD ME=MFMEF=/ MFE從而/ BGE=/ CHE（三）、由中線應想到延長中線例3.圖4,已知 A ABC中，AB=5, AC=3,連BC上的中線 AD=2求BC的長。解：延長 AD到 E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=2 2=4。在 A ACD A EBD中， AD=ED / ADC=/ E

25、DB CD=BD .A AC里 A EBD 1- AC=BE從而 BE=AC=3在 A ABE中，因 AE"+B=42+32=25=AB2,故/ E=90° ,BD=/十丁 =行 + 2?=舊，故 BC=2BD=2/13。例4.如圖5,已知 A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是 證：A ABC是等腰三角形。證明：延長 AD至ij E,使DE=AD仿例3可證：A BEN A CAD故 EB=AC / E=Z 2,又/ 1=/ 2,./ 1=/ E,.AB=EB從而AB=AC即A ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質例 5.如圖 6,已知梯形 ABC

26、D43, AB/DC, AC! BC, AD! BD,求證：AC=BD證明：取AB的中點E,連結DE CE,則DE CE分別為邊AB上的中線，故 DE=CE=AB,因此/ CDEW DCE2 AB/DC, ./ CDE=/ 1, / DCEh 2,Rt A A1=/ 2,在 A AD訝口 A BCE中,BC邊上的中線。求 DE=CE / 1=/ 2, AE=BEAADEABCE ，AD=BC從而梯形 ABCD等腰梯形,因止匕AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,BD的延長線于點 E。求證：BD=2CE證明：

27、延長 BA CE交于點F,在 ABEF和ABEC中， / 1=/2, BE=BE / BEF=Z BEC=90 , A BE陣 A BEC 1- EF=EC 從而 CF=2CEBD, Rt A ABC 斜BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于 BD交例二：如圖5-1 : AD為4ABC的中線，求證： AB+AC>2AD又/ 1+/F=/3+/F=90° ,故/ 1 = /3。在 AABD AACF 中，-/ 1 = /3, AB=AQ / BAD4 CAF=90° ,A AB陰 AACF 1- BD=CF，BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線

28、。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖 4-1 : AD為4ABC的中線，且/ 1 = /2, / 3=74,求證：BE+CF>EF證明：廷長 ED至M 使 DM=DE連接 CM ME在 BDE人和CDMfr,，BD=CD（中點定義）/，/1 = /5 （對頂角相等）/I ED=MD輔助線作法）/一）17 ABDEE CDM(SAS)又/1 = /2, / 3=/4（已知）? ./ !/Z1 + Z2+Z 3+7 4=180° （平角的定義） /3+7 2=90°

29、;圖4_1M即：/ EDF=90/ FDM= EDF=90在 EDFA MD沖ED=MD（輔助線作法）/ EDFW FDM（已證）DF=DF （公共邊）AEDF MDF （SAS）EF=MF（全等三角形對應邊相等）在 CM沖,CF+CM>M F三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍 FD,證法同上。1S當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至U： AB+BD>AD,AC+CD>A可以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD邊比要證結論多BD+

30、CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長 AD至E,使DE=AD連接BE, CE ADA ABC的中線（已知） .BD=CD（中線定義）在 ACD EBD 中BD=CD（已證） 1 = /2 （對頂角相等）AD=ED（輔助線作法） .AC里 EBD （SAS）BE=CA（全等三角形對應邊相等） 在 ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD1力門因 AR=R AC=A n% 的中占 隸 AD的取信枯闈一3 如圖，AB=AC AD=AE M為 BE中點，/ BAC=Z DAE=90。

31、求證：AML DQ練習：4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ,求證 EF=2A5.已知：如圖 AD為4ABC的中線，AE=EF求證：BF=AC常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的 “對 折”.2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“旋轉” .3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變 換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或

32、逆定理.4）過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、 差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.（一）、倍長中線（線段）造全等則中線AD的取值范圍是1 :（ “希望杯”試題）2:如圖,ABC 中,E、F分另I在 AB AC上,DEI DF,D是中點，試比較 BE+CFW EF

33、的大小.3:如圖,ABC 中,BD=DC=ACE是DC的中點，求證:AD平分/BAE.中考應用（09崇文二模）以AABC的兩邊 ARAC為腰分別向外作等腰Rt MBD 和等腰 Rt MCE ,/BAD =/CAE =90：連接 DE, M N分別是BC DE的中點.探究:AM與DE的位置關系及數(shù)量關系.（1）如圖 當AABC為直角三角形時,AMW DE的位置關系是線段AMW DE的數(shù)量關系是（2）將圖中的等腰 Rt&ABD繞點a沿逆時針方向旋轉9 （0九90）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由.（二）、截長補短2:如圖,AC/ BD, EA,EB分別平分/

34、CAB,/ DBA CD±點 E,求證;AB = AC+BD3:如圖,00已知在 L ABC 內(nèi)，NBAC=60 , NC=40 ,P, Q分別在BC, CA上,并且AP, BQ分別是/BAC, /ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BPABCD 中，BC>BA,AD=CD, BD4:如圖，在四邊形D5:如圖在 ABC中，AB>AC, / 1 = / 2, P為 AD上任意一點，求證；AB-AC>PB-PC中考應用（08海淀一模）如圖，在四辿成“北0中，點E是48上一個動點,若上出=60口,才。二"且Z DEC = 60”,判斷4。卜IA1寸BC的

35、關系并證明你的結論 解:；例題講解: 一、利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的 2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形如圖中，若/ ABC= 2/ C如果作 BD平分/ ABC則4 DBO等腰三角形；如圖中，若/ ABC= 2/ C如果延長線 CB到D,使BD= BA連結AD則 ADB等腰三角形；ACBBC D如圖中，若/ B= 2/ ACB如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作/ ACD= / ACB交BA的 延長線于點D,則4 DBB等腰三角形.1、如圖,2、如圖, ABC43, AB= ACBDL AC交 AC于 D 求證：/ DBC= - /

36、BAC2 ABC中，Z ACB= 2/B, BC= 2AC求證：/ A= 90 .二、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形如圖中,如圖中,如圖中,ADW/AM分/ADW/BACBACBACDE/ ACCE/ ABEF/ AD則4 ADE等腰三角形；則4 ACE等腰三角形；則4 AG既等腰三角形.A3、如圖,b4ABCD , AB= AC, B AC上BDAGP,過C P作EFBC交BA的延長線0 EF垂足為點F.求證：.AE=AP4、如圖， ABC中，AD平分/ 求證：EF/ ABBAC E、F分別在BDAD上，且 DE= CD EF= ACAAFABC DBADC圖2當一個三角形中出現(xiàn)角平分

37、線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形 如圖中，若 AD平分/ BAC AD/ EC則 AC蕾等腰三角形；三、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中,若AD平分/ BAG AD± DC則 AEC是等腰三角形.5、如圖2,已知等腰 RtAABC, AB= AG / BAG= 90° , BF平分/ ABG CDL BD交BF的延長線于 Db求證：BF=2CD四：其他方法總結1 .截長補短法6、如圖，已知：正方形 ABCD43, / BAC的平分線交 BC于E,求證：AB+BE=AC2 .倍長中線法題中條件若

38、有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。7、如圖（7） AD是4ABC的中線, 求證：AC=BFBE交AC于E,交AD于F,且AE=EFAE8、已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證EF= 2AD=若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt ，有時可作出斜邊的中線.3.平行線法（或平移法）P圖（2）9、4ABC中，/BAC=60 , / C=40° AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ A說明：本題也可以在 AB截取AD=AQ連OD 構造全等三角形，即“截長補短法B P圖（1）本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（1）,過。作OD/ BC交AC于D,則 AD堂 ABO如圖（2）,過。作DE/ BC交AB于D,交AC于E, 則 4AD筆 AQ（O AB（O AEOB解決. 如圖（3）,過P作PD/ BQ交AB的延長線于 D,D則A APD APC來解決.圖（3） 如圖（4）,過P作PD/ BQ交AC于D,則4 AB咤 AD稼解決.10、已知：如圖，在