倒立擺系統(tǒng)的建模與Matlab仿真

1、WORD格式倒立擺系統(tǒng)的建模及 Matlab仿真1 .系統(tǒng)的物理模型考慮如圖（i）所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖 面內(nèi)運動的二維問題。圖（i）倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：l =1m、車的質量:M=1kgB 力加速度：g=9.8m/ s2 擺桿的質量在擺桿的中心設計一個控制系統(tǒng)，使得當給定任意初始條件 （由干擾引起）時，最大超調(diào)量6 £10%調(diào)節(jié)時 問ts 0 4s ,通過小車的水平運動使倒立擺保持在垂直位置。2 .系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1 建立倒置擺的運動方程并將其線性化。為簡化問題，在數(shù)學模型中首先假設：

2、1）擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點之間的摩擦；3）忽 略小車與接觸面間的摩擦。設小車瞬時位置為z,擺心瞬時位置為（z + lsinH ）,在u作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速遠動， 根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線遠動方向的慣性力應與u平衡，于是有.2. 2M m2 （z l sin -） = udt2dt2即:(M m)z ml icosi - ml / sin 二-u繞擺軸轉動的慣性力矩與重力矩平衡，因而有mddp(z lsinu)l cos? - mglsin1專業(yè)技術整理分享即：Zcos+ieco2sHie2sincoS = gsin以上兩個方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于

3、控制的目的是保持倒立擺直 立，在試駕合適的外力條件下，假定9很小，接近于零時合理的，則sin日e,cose/,且可忽略e4 項。于是有(M + m)z + mli = u聯(lián)立求解可得mg 1z 沿 uM M二(M m)uMl Ml2.2 列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式選取系統(tǒng)變量x,x2,x3,x4,x= Ui,X2,X3,X4 T 則X1二 X2_ mgx2 一x3Mx3 = x4X4(M m)MlX31-uMld x =dtL910000_m5M0(M m)gMl01010十 | M u = Ax + Bu Ml1y=x1 = 1 0 0 0x=Cx代入數(shù)據(jù)計算得到:-00 A =001 00

4、-10 00 11010T,B = 0 1 0 1T,C= 1 0 0 02=0103 .設計控制器01Qk = B AB A2B A3B】=100 -11010-11-110,rank( Qk )=4,故被控對象完全可控3.1 判斷系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性由特征方程|九1 - A=V(Z2 -11)=0解得特征值為0, 0, 土布。出現(xiàn)大于零的特征值，故被 控對象不穩(wěn)定3.2 確定希望的極點希望的極點n=4,選其中一對為主導極點s和電，另一對為遠極點，認為系統(tǒng)性能主要由主導極點決定，遠極點只有微小影響。根據(jù)二階系統(tǒng)的關系式，先確定主導極點,t£仃p =e、1上0,1可得0之0.59 ,

5、于是取亡=0.6 ；取誤差帶 =0.02有ts =，則8n =1.67,閉環(huán)n主導極點為S1,2 = -3n ± j =-1 ±0.8j,遠極點選擇使它和原點的距離大于主導極點與原點距離的5倍，取電4=-153.3 采用狀態(tài)反饋方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為u=-kx , k=k。匕k2 k3；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x =(A-BK)x + Bv ,其特征多項式為乂 (A BK)| = X+( k3)九3+(k0 k2 11)片一10k/一10ko希望特征多項式為(九 +15)2(九 +1 0.8j)(九 +1 +0.8j)=九4 +32 九3 +286.6

6、4,2 +499.2兒+369比較以上兩式系數(shù)，解得狀態(tài)反饋矩陣 k = 1-36.9 -49.92 334.54 81.92】4 .設計全維觀測器4.1 判斷系統(tǒng)的能觀性10 00Qg=C ATC (AT)2C (AT)3C】=0 1 00 , rank( Qg)=4,故被控對象完全可觀g0 0-10JO 0-1_4.2 確定觀測器的反饋增益全維觀測器的動態(tài)方程為X = (A-GC)X+Bv+GCx；其特征多項式為川 (A_GC)| =力4 +g073 +® -11)/十(11g° g2)九 十(11g1 gj取觀測器的希望極點為：-45, -45, -3+3j , -3

7、-3j ;則希望特征多項式為(九十 15)2(九十 1 0.8j)(九十1 +0.8j)=北 +96九3 + 25832 +13770% +34650比較以上兩式系數(shù)，解得觀測器反饋矩陣 G = 96 2594 -14826 -64984T5 .降維狀態(tài)觀測器的設計5.1 建立倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程設小車位移z由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設計降維(三維)狀態(tài)觀測器，通過重 新排列被控系統(tǒng)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測器估計的狀態(tài)變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量 分離開。將z作為第四個狀態(tài)變量，則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為簡記為:ddt-1 011001000Z 一101-111

8、一 Z【 9 e工一X1A11,L =-X2 1A21A|2A22式中x1 = Zt eT, An-1011A12 = 0 0 0T ,b1 =1 0 -1TA21 =0 ，x2 = z = y ,A21 =1 0 0，被控系統(tǒng)的n-q維子系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為X1 = A1X1 +v, z' = A21X1式中 v = a21y biu = b1u, z 二 y - a22y _b2u = y = z z'為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為 一 zl 0 -1ddt0 00 11OUzl 一1。一n 15.2 .判斷子系統(tǒng)的可觀測性A1=0 -1 0;0 0 1;

9、0 11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1)尸rank(Qgl)運行Matlab程序；結果臼r=3,故該子系統(tǒng)可觀測降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的一般形式為=A11hhA21c ,16 -hb2uA11- hA21hA12- hA221yX1 二 hy式中h= h0h1 h2To考慮被控對象參數(shù)，單倒置擺降維觀測器動態(tài)方程的一般形式為. ho -1 o = -h10-h211九X1 =8 + h1 y ?2j01-1 h： h 11 切十 0 u 十-h0h1 + h2 y0-1h0h2+11h15.3確定三維狀態(tài)觀測器的反饋矩陣h三維狀態(tài)觀測器的特征多項式為KI -(A11 -

10、hA21 )=九3 +h0X +(-11 -h1 % +(-11h0 - h2 )設希望的觀測器閉環(huán)極點為-45 , -3+3j , -3-3j ,則希望特征多項式為453 3j , 3 -3j = 3 51 2 288810比較以上兩式系數(shù)，解得 h= 51 -299 -1371故所求三維狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程為I - 51 6= 2991371-1011十一10 u +：-iJ1 0 09 0 0010006.Matlab仿真分析-66632-一 51-2991-1371-16.1源程序通過Matlab對用全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的倒置擺系統(tǒng)進行仿真分析，下面是文件名為Inversion_

11、pendulum_system.m 的源程序%倒立擺索統(tǒng)建模分布WORD格式%a)判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0；0 0 -1 0；0 0 0 1；0 0 11 0；B=0；1；0；-1；C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=ndisp(The system is controlled.) elseif rc<ndisp(The system is uncontrolled.) endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=ndispfThe system i

12、s observable)' elseif ro=ndispfThe system is no observable)' end%b)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re>0)=0)disp('The system is unstable and the ubstable poles are:'v(find(Re>0)elsedisp('The system is stable),;end% c)極點配置與控制器-全維狀態(tài)觀測器設計與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0

13、.8*j,-15,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控過程創(chuàng)建為一個LTI對象disp(受控對象的傳遞函數(shù)模型：,);H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp(觀測器一一控制器模型：,);Gc=ss(Af,-G,-K,0)%將觀測器-控制器創(chuàng)建為一個LTI對象disp(觀測器控制器的極點：,);f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc;%控制器和對象串聯(lián)disp(觀測器一一控制器與對象串聯(lián)構成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：,);Gcl

14、=feedback(GpGc,1,-1) %閉環(huán)系統(tǒng)disp('閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：,);c_poles=pole(Gcl)專業(yè)技術整理分享c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gcl)%低頻增益N=1/lfg %歸一化常數(shù)T=N*Gcl;%將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)x0=100 10 30 10 0 0 0 0；% 初始條件向量t=0:0.01:1'%時間列向量r=0*t;%零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0);% 初始條件仿真plot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8) %由初始條件引起的狀態(tài)響應titl

15、e('bf狀態(tài)響應')legend(x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hatTx4hat')figure(2)step(T)title('bf階躍響應')figure(3)impulse(T)title('bf脈沖響應')6.2程序運行結果The system is controlled.The system is observable. P =1 0-1100v =003.3166-3.3166The

16、 system is unstable and the ubstable poles are:ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G =962594-14826-64984受控對象的傳遞函數(shù)模型Transfer function:sA2 - 1.776e-015 s - 10觀測器控制器模型:x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92b = u1x1-96x2-2594x3 1.483e+004x4 6.49

17、8e+004 c = x1 x2 x3 x4 y1 36.9 49.92 334.5 81.92 d =u1y1 0Continuous-time model.觀測器一一控制器的極點：f_poles =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328觀測器一一控制器與對象串聯(lián)構成的閉環(huán)系統(tǒng)模型:x1x2x3x4x5x101000x200-1036.9x300010x400110-36.9x596000-96x62594000-2557x7-1.483e+0040001.483e+004WORD格式x8-6.498e+0040x6x7x100x249.92334.5x300x4-49.92-334.5x510x649.92333.5x700x8-49.92-323.5b =u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x86.498e+004006.495e+004x8081.920-81.92081.921-81.92x80c = x1x2x3x4x5x6x7y1 1000000d =u1y1 0 Continuous-time model.閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：c_poles = -45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i