高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第3章《三角函數(shù)、解三角形》【8】

1、u第八節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用u主干知識梳理u一、實際問題中的有關(guān)概念u1仰角和俯角：u在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)u2方位角：u從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖2)u3方向角：u相對于某一正方向的水平角(如圖3)u(1)北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向u(2)北偏西即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向u(3)南偏西等其他方向角類似u4坡度：u(1)定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角為坡角)u(2)坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)u二、解三角形應(yīng)用題的一般步驟u

2、1審題，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；u2根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型；u3選擇正弦定理或余弦定理求解；u4將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位、近似計算要求u 基礎(chǔ)自測自評u1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關(guān)系是()uA BuC90 D180uBu2若點A在點C的北偏東30，點B在點C的南偏東60，且ACBC，則點A在點B的()uA北偏東15 B北偏西15uC北偏東10 D北偏西10uB如圖所示，uACB90，u又ACBC，uCBA45，u而30，u90453015.u點A在點B的北偏西15.u4(2014泰

3、州模擬)一船向正北航行，看見正東方向有相距8海里的兩個燈塔恰好在一條直線上繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏東60，另一燈塔在船的南偏東75，則這艘船每小時航行_海里u 關(guān)鍵要點點撥u解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形u(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解u(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解u典題導(dǎo)入u (2014肇慶模擬)如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達

4、的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一點D，從D點可以觀察到點A、C；找到一點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米測量距離問題 u(1)求CDE的面積；u(2)求A，B之間的距離u規(guī)律方法u求距離問題要注意：u(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解u(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理u 跟蹤訓(xùn)練u1如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度

5、，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C，測得CAB105，CBA45，且AB100 m.u(1)求sin CAB的值；u(2)求該河段的寬度u典題導(dǎo)入u 如圖，在坡度一定的山坡A處測u得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與u地平面垂直)對于山坡的斜度為，從Au處向山頂前進l米到達B后，又測得CD對u于山坡的斜度為，山坡對于地平面的坡角為.u(1)求BC的長；u(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度測量高度問題 u 規(guī)律方法u求解高度問題應(yīng)注意：u(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；u(2)準確理解題意，分清已知條件

6、與所求，畫出示意圖；u(3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用u典題導(dǎo)入u 在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值測量角度問題 u規(guī)律方法u1測量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義u2在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的

7、問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的特點 u跟蹤訓(xùn)練u3如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD的大小是_u (2014石家莊模擬)已知島A南偏西u38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇u島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度u向島北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方u向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該u走私船？【創(chuàng)新探究】運用正、余弦定理解決實際應(yīng)用問題u【思路導(dǎo)析】根據(jù)題意得出示意圖，先求BAC利用余弦定理求得BC，利用正弦定理求得ABC，得出結(jié)論u【解析】如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，u則BC0.5x，AC5，u依題意，uBAC1803822120，u所以ABC38.u又BAD38，所以BCAD，u故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船u【高手支招】解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為：u第一步：分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；u第二步：建模根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；u第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型