高數(shù)第七章(8)常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、常系數(shù)非齊次線性微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 八節(jié)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為,

2、 )(*xQeyx其中 為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項式, 故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項式,故特解形式為x

3、mexQxy)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *( )(0,1, 2)kxmyx Qx ek特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比

4、較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次

5、方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應齊次方程通解為1CY xeC2xeC23原方程通解為x211

6、Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點ximexP)()(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一步第一步 利用歐拉

7、公式將 f (x) 變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項式為mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y這說明為方程 的特解 .ximexPyqypy)()(

8、ximexPyqypy)()( 設(shè)則 有特解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四步第四步 分析的特點yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實多項式 .11yyy本質(zhì)上為實函數(shù) ,11yy機動

9、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小小 結(jié)結(jié):xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數(shù)qpxRxRexymmxksincos*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是單根是單根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求

10、非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. xxyy3sin303c

11、os189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2x

12、y )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxy)sincos(xkxdx求下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xce例例7.求物體的運動規(guī)律. 解解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程 tphxktxsindd222 當p k 時, 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為第七節(jié)例1 (P323)中若設(shè)物體只受

13、彈性恢復力 f,sin的作用ptHF 和鉛直干擾力xox代入可得: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,)(sintkAxtppkhsin22自由振動強迫振動!22將很大振幅pkh 當 p = k 時, )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若要利用共振現(xiàn)象, 應使 p 與 k 盡量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2隨著 t 的增大 , 強迫振動的振幅tkh2這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應使 p 遠離固有頻率 k ;p = k .

14、自由振動強迫振動xox對機械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機機座被破壞等, 但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用, 如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練

15、習時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設(shè)特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對應齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xeyy2 對應齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeC