清泉州陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)模型,求三角形的最值問(wèn)題學(xué)法指導(dǎo)

1、清泉州陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)學(xué)校構(gòu)造函數(shù)模型，求三角形的最值問(wèn)題劉顯偉構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，利用構(gòu)造法解題往往能起到很好的效果，下面舉例說(shuō)明如何構(gòu)造 函數(shù)模型求有關(guān)三角形的最值問(wèn)題。1.構(gòu)造函數(shù)模型，解三角形中有關(guān)涉及角的最值問(wèn)題1 sin 2 B例1在厶ABC中，三邊a、b、c滿足b2 ac，求y的取值范圍。sin B cosB錯(cuò)解：因?yàn)閥1 si n2BsinB cosBsinB cosBsin B cosBsinB cosB . 2 s in B ，所以435錯(cuò)誤剖析：假設(shè)y 2 ， sin B1，那么B，所以B，這超出了4424三角形中內(nèi)角的取值范圍。事實(shí)上，條件b2 ac還沒(méi)有利用，因此

2、應(yīng)重新求 B的取值范圍。2正解：由bac和正弦定理，可得222 cos B cos AC2cosB 2 cos BcosB1 1cos A C 0 o-2cosB 1cosB 10又B0,，cosB 10，所以2 cos B 10，得-cosB1o27十2所以0B -，B，可知-sinB -1 o34412 24因?yàn)?y 2 sin B ，所以 y (1,2。4說(shuō)明：此題假設(shè)能從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)觀察、分析問(wèn)題，上述的錯(cuò)解就可能不會(huì)發(fā)生，事實(shí)上，此題求的是函數(shù)y f B的值域，而值域固然受對(duì)應(yīng)法那么f的制約，但它也依賴于函數(shù) f B的定義域，在這里為了求得自變量B的取值范圍，應(yīng)先求 cosB的取值范

3、圍，為此建立關(guān)于 cosB的不等式，至此，也就能理解為什么把 2 2 cos2 B cos A C cosB變形為2 cos2 B cosB 11 cos A C的理由了2.構(gòu)造函數(shù)模型，解三角形中有關(guān)涉及邊的最值問(wèn)題例2在厶ABC中，c . 6. 2，C 30，求a b的最大值。分析：可利用正弦定理，將 a b化為與c和A或者者B相關(guān)的等式，由此構(gòu)造 a b與A或者者B的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)獲解。a解：由正弦定理sin A sinB sin C，得sin A sin BsinC.A csi n, c si nA sin B-a bsin CB A B cos 2 2 ."C

4、Csin cos 2 2因?yàn)開(kāi) C，所以sin2 2 2A B C cos 。2 2最大值8A Bccosbsin2.2 cosA B2sin 45304 3 cos24,3 cos AA 150 ,4.3。7575A 7575，所以當(dāng)750 即A 75丨時(shí)，ab獲得說(shuō)明：此題是通過(guò)建立函數(shù)模型求解的，其關(guān)鍵是選擇角a為自變量，并把a(bǔ) b視作整體,利用正弦定理和比例性質(zhì)，將 a b轉(zhuǎn)化為與c和A相關(guān)的等式，構(gòu)造a b與A的函數(shù)關(guān)系a b fA ，然后利用余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，求出f A的最大值。3. 構(gòu)造函數(shù)模型，解三角形中有關(guān)涉及面積的最值問(wèn)題例3三角形的兩邊之和為 6,這兩邊的夾角為120，

5、求這個(gè)三角形面積 S的最大值。錯(cuò)解：設(shè)厶ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，不妨設(shè)a b 6，C 120 ，由余弦定理得2 2 2 2 2 2 cab abcos120 a b ab a b ab 36 ab。由S absin120 丄36 c2- c2 9 3 9.3，所以S的最大值為9 32 2 2 2錯(cuò)誤剖析：當(dāng)S取最大值9 3時(shí)，c 0，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，更談不上三角形面積的最大值了， 因此應(yīng)重新確定c的取值范圍。正解1：由上可知ab 36 c2。由2. 2.2 a b 3,2O-,由 c a b ab a ba b 27，24從而 ab 36 c23627 9，19J39J3所以Sab

6、sin120'，可知S的最大值為244正解2：由 a b 6，可得b6 a 0 a6 o1329.3所以Sabsi n120a6 aa 3244J4當(dāng)a0, 6，即 ab 3時(shí),S獲得最大值.9 3，o4說(shuō)明：求線段或者者圖形面積的最大或者者最小值時(shí)，通常可建立函數(shù)模型求解，在建立目的函數(shù)的過(guò)程中，一定要正確把握自變量的取值范圍，上述錯(cuò)解就是想當(dāng)然地取c 0,無(wú)視了 c的實(shí)際意義, 即無(wú)視了 c的取值范圍，在正解 2中，也應(yīng)檢驗(yàn)自變量 c的值是否在定義域0, 6內(nèi)4. 構(gòu)造函數(shù)模型，證明不等式解題中，公求得例4在厶ABC中，a、b、c為三內(nèi)角 A B、C所對(duì)的邊，且 C=2A求證-3式sin 33sin4sin3 可選用分析：欲證不等式，只須證1 乞工3 b1 c a，為此，可嘗試將看成某一角的三角函數(shù),2 b的值域即可。因此，此題可將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問(wèn)題證明：由正弦定理得abc由C=2A得B3A osi nA si nBsin C 'c abb可得sin 2A sin Asin3Asi n3A2cosA 111 4 cos2 A012 cosA3A1，所以cos A 1，可得 2 1 2 c