兩階段法分析與實現(xiàn)

1、最最最最 優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu) 化化化化 方方方方 法法法法課課課課 程程程程 設(shè)設(shè)設(shè)設(shè) 計計計計題 目： 兩階段法分析與實現(xiàn) 院 系： 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 統(tǒng)計學(xué) 姓名學(xué)號： 張雨坤 1200720216 指導(dǎo)教師： 李豐兵 日 期： 2015 年 01 月 22 日摘摘 要要常用的解線性規(guī)劃問題的方法有圖解法，單純形法，對偶單純形法，解乘數(shù)法，橢球法等。而本論文即主要闡述的是從屬于單純形法的兩階段法。兩階段法第一階段是先求解一個目標函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，當?shù)谝浑A段求解結(jié)果表明問題有可行解時，第二階段是從第一階段的最終單純形表出發(fā)，去掉人工變量，并按問題原來的目標函數(shù)，繼續(xù)尋找問

2、題的最優(yōu)解，即是一種為使人工變量被替換出成為非基變量的方法。與大 M 法同時被廣為使用，但相較于大 M 法，兩階段法能夠求的更準確地結(jié)果。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；單純形法；兩階段法；大 M 法Abstract We usually solve the linear programming problems with graphic method, simplex method and dual simplex method, the multiplier method, ellipsoid method and so on.This paper mainly expounds the two

3、stage method which belongs to simplex method. The first stage of two stage method is used to solve a objective function which only contains artificial variables linear programming problem. When the first phase of solving results show that the problem has a feasible solution, the second stage is from

4、 the first stage of the final simplex tableau, remove artificial variables, and according to the problems of the original objective function, continue to look for the optimal solution of the problem. It is a kind of way to make artificial variables substituted the non variable method. The big M meth

5、od is also widely used at the same time, but compared with the big M method ,two-phase method can more accurate results.Key words:;Linear programming；Simplex method;Two stage method; The big M method; 目目 錄錄1、引言引言.12、兩階段法描述兩階段法描述.12.1 基本可行解.12.2 兩階段法概述.12.3 兩階段法第一階段.22.4 兩階段法第二階段.33、兩階段法求解引例兩階段法求解引例.

6、43.1 兩階段法計算步驟.43.2 例 1.53.3 例 2.83.4 引例分析.94、算法比較算法比較.94.1 大 M 法.94.2 算法比較.104.3 特殊情況.115、總結(jié)總結(jié).125.1 總結(jié)概括.125.2 個人感言.126、參考文獻、參考文獻：.13最優(yōu)化方法課程設(shè)計11 1、引言引言在各種優(yōu)化算法中，兩階段法（Two stage method）是非常重要的一種。即如果線性規(guī)劃模型中的約束條件系數(shù)矩陣不存在單位向量組，階梯式應(yīng)先加入人工變量，人工構(gòu)成一個單位向量組，其只起過渡作用，不應(yīng)影響決策變量的取值，兩階段法即可控制人工變量取值。尋找線性規(guī)劃問題初始基可行解的一種方法.把

7、增加人工變量的線性規(guī)劃問題分為兩個階段去求解.第一階段是構(gòu)造一個輔助的人工目標函數(shù),即或0,0aaAxxbxx。若原問題有可行解,則在本階段的最終單純形表中,必有和max()iZy 0Z ,并使人工變量均為非基變量.此時,劃去人工變量所在的列與人工目0(1,2,)iyim標函數(shù)所在的行,就得到原問題的初始可行基對應(yīng)的單純形表,進入第二階段.2 2、兩階段法描述兩階段法描述2.1 基本可行解基本可行解當線性規(guī)劃問題的玉樹條件全部為“”時，可按下述方法比較方便的尋找可行解：設(shè)給定線性規(guī)劃問題為11max(1,). .0(1, )njjjnijjijjzc xa xb imstxjn在第 個約束條件

8、上加上松弛變量，化為標準形式i(1,)sixim最優(yōu)化方法課程設(shè)計2111max0(1,). .0(1, )nmjjsijinijjsiijjzc xxa xxb imstxjn1112121222121 000 100 01 nnmmmnaaaaaaaaa由于這個系數(shù)矩陣中含一個單位矩陣，只要以這個單位矩陣作為基，1(,)ssmPP就可以立即解除基變量值，因為有，由此(1,)siixb im0(1,)ibim就是一個基可行解。1(0,0,)TmXbb當線性規(guī)劃中約束條件為“”、“ ”時，化為標準形式后，一般約束條件的系數(shù)矩陣中不包括有單位矩陣。這是為能方便地找出一個初始的基可行解，可添加人工

9、變量來人為地構(gòu)造一個單位矩陣作為基，稱作人工基。先在不等式左端減去一個大于等于零的剩余變量（也稱為松弛變量）化為等式，然后再添加一個人工變量。2.2 解線性規(guī)劃概述解線性規(guī)劃概述兩階段法第一階段是先求解一個目標函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，即令目標函數(shù)中其他變量的系數(shù)取 0，人工便靈的系數(shù)取某個正的常數(shù)，（一般取 1），在保持原問題約束條件不變的情況下求這歌目標函數(shù)極小化的解。顯然在第一階段中，當人工變量取值為 0 的時候，目標函數(shù)值也為 0。這時候的最優(yōu)解就是原線性規(guī)劃問題的一個可行解，。如果第一階段求解結(jié)果最優(yōu)解的目標函數(shù)值不為 0，也即最優(yōu)解的基變量中含有人工基變量，表明原線性規(guī)劃

10、問題無可行解。當?shù)谝浑A段求解結(jié)果表明問題有可行解時，第二階段是從第一階段的最終單純性表出發(fā)，去掉人工變量，并按問題原來的目標函數(shù)，繼續(xù)尋找問題的最優(yōu)解。2.3 兩階段法第一階段兩階段法第一階段兩階段法第一階段是先求解一個目標函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，即令目標函最優(yōu)化方法課程設(shè)計3數(shù)中其他變量的系數(shù)取 0，人工便靈的系數(shù)取某個正的常數(shù)，（一般取 1），在保持原問題約束條件不變的情況下求這歌目標函數(shù)極小化的解。顯然在第一階段中，當人工變量取值為 0 的時候，目標函數(shù)值也為 0。這時候的最優(yōu)解就是原線性規(guī)劃問題的一個可行解。如果第一階段求解結(jié)果最優(yōu)解的目標函數(shù)值不為 0，也即最優(yōu)解的基變量

11、中含有人工基變量，表明原線性規(guī)劃問題無可行解。兩階段法第一階段是求解第一個 LP。首先我們可以知道，原 LP 的表達式為1min. .0njjjzc xAxbstx其可行域為:0 xxD xDDa 而我們需要一個輔助的 LP，其表達式為1min. .0,0miiwaAxabstxa其可行域為:min00 xDDw 我們計算以上輔助 LP 有三種可能結(jié)果：1)、最優(yōu)值，且人工變量皆為非基變量。從第一階段的最優(yōu)解中去掉人工變0w量后即為原 LP 的一個基本可行解。作為原 LP 的一個初始基本可行解，再求原問題，從而進入第二階段。2)、最優(yōu)值，且存在人工變量皆為基變量，取值為。把某個非基變量與該0w

12、0人工變量進行調(diào)換。 3)、最優(yōu)值，說明至少有一個人工變量不為。原 LP 無可行解，不需要再0w0做第二階段計算。最優(yōu)化方法課程設(shè)計4兩階段法第一階段目的就是判斷原 LP 有無可行解，若有，則可得原 LP 的一個初始基本可行解，再對原 LP 進行第二階段的計算。2.4 兩階段法第二階段兩階段法第二階段以第一階段求得最優(yōu)解作為初始基本可行解，再用第一階段求得最優(yōu)解時的約束條件和原問題的目標函數(shù)進行迭代，直到求出最優(yōu)解。3 3、兩階段法求解引例、兩階段法求解引例3.1、兩階段法計算步驟、兩階段法計算步驟兩階段法具體計算步驟：第一步：求出線性規(guī)劃的初始基可行解，列出初始單純形表。第二步：進行最優(yōu)性檢

13、驗。第三步;從一個基可行解轉(zhuǎn)換到另一個目標函數(shù)值更大的基可行解，列出新的單純形表。第四步：重復(fù)第二、三步一直到計算終止。第五步：去除人工變量。根據(jù)求得初始基本可行解，求得最優(yōu)解。 其中第三步具體方法如下：1)、確定換入基變量。只要檢驗數(shù)，對應(yīng)的變量就可作為換入基的變量，0jjx當有一個以上檢驗數(shù)大于零時，一般從中找出最大的一個kmax0kjj 其對應(yīng)變量作為換入基的變量（簡稱換入變量）。kx2)、確定換出基的變量，確定min0ilikiklkbbaaa確定為換出基的變量（簡稱出基變量）。元素決定了從一個基本可行解到另一個lxlka可行解的轉(zhuǎn)移去向，取名主元素。最優(yōu)化方法課程設(shè)計53)、用換入變

14、量替換基變量中的換出變量，得到一個新的基kx。對應(yīng)這個基可以找出一個新的基本可行解。并1111( ,)lklmmm nPPP PppP可劃出一個新的單純形表。進行如下計算:a、將主元素所在的 行數(shù)字除以主元素，即有l(wèi)lkaljllljlklkabbaaab、為使列變換成單位向量，將單純形表的第 行數(shù)字乘上，加到單kPl()ljlkaa純形表第 行數(shù)字上，計入其相應(yīng)行。即有i()()liiiklkljljljiklkbbbailbaaaailac、計算單純形表中各檢驗數(shù)，如下11111()11()lmllliikkiikii llkmkiikkkilklklkczcc acc aacc acza

15、aa 1111111()()()lmmmljjjjiijiijiikkiikii lii llkmmljljjiijkiikjjkkiilklkaczcc ac ac acc aaaacc acc aczczaa 由上可看出，檢驗數(shù)計算同樣因基變量后，其檢驗數(shù)應(yīng)為零，故將單純形表kx()kkcz中第 行數(shù)字乘上加到該表的檢驗數(shù)上，得新的變量的檢驗數(shù)。l()()kklkcza 接下來在引例中用以上步驟實際求解3.2、例一：、例一：用兩階段法求以下問題最優(yōu)解最優(yōu)化方法課程設(shè)計61312312323max3421. .390(1,2,3)jzxxxxxxxxstxxxj 首先第一階段是將此問題化為標

16、準形式，在約束條件中加入松弛變量后得4567,x x x x67123412356237min421.390(1,7)jwxxxxxxxxxxxstxxxxj先用單純形法解一階段問題，迭代如下：1jjBjjBjjzcc B Pcc yc1jjBjjBjjzcc B Pcc yc其中，時目標函數(shù)中基變量的系數(shù)構(gòu)成的維行向量，是上表中的第列，是上Bcjyjb表中的右端列。求解過程如下單純形表 3-1表 3-1 單純形表jc00000-1-1Bc基b1x2x3x4x5x6x7x04x41211000-16x1-21-10-110-17x90310001jjcz-2400-100最優(yōu)化方法課程設(shè)計70

17、4x3 30211-1002x1-21-10-110-17x660403-31jjcz60403-4004x0000112121202x301130001301x110230121216jjcz00000-1-1所有判別級數(shù)，因此達到最優(yōu)解，在第一階段問題最優(yōu)解中，人工變量0jjcz、都是非基變量。因此我們可得到初始基可行解6x7x 12345,1,3,0,0,0 x x x x x第二階段是將表 3-1 中的人工變量去除，目標函數(shù)改為：67,x x12345max3000zxxxxx 再從表 3-1 最后一個表出發(fā)，繼續(xù)迭代，求解過程的單純形表如下表 3-2表 3-2 單純形表jc-3010

18、0Bc基b1x2x3x4x5x04x000011202x3011300-31x11023 012jjcz003032最優(yōu)化方法課程設(shè)計804x000011202x52121001413x323201034jjcz9200034得到其最優(yōu)解，所以目標函數(shù)最優(yōu)值1235 3,0,2 2x x xmax32f3.3、例二：、例二：用兩階段法求解以下問題1212121212min2311424336. .10,0zxxxxxxstxxx x首先第一階段是將此問題化為標準形式，在約束條件中加入松弛變量后3456,x x x x得121231245126123456min2311424336. .10,0

19、zxxxxxxxxxstxxxx x x x x x先用單純形法解一階段問題，迭代如下1jjBjjBjjzcc B Pcc yc1jjBjjBjjzcc B Pcc yc其中，時目標函數(shù)中基變量的系數(shù)構(gòu)成的維行向量，是上表中的第列，是上Bcjyjb表中的右端列。求解過程如下單純形表 3-3最優(yōu)化方法課程設(shè)計9表 3-3 單純形表jc000011Bc基b1x2x3x4x5x6x03x41214100015x36130-11016x10110001jjcz240-10003x321401001415x6-200-11-302x10110001jjcz-20010-4所有判別級數(shù)，但此時，說明至少有

20、一個人工變量不為 0，原問題0jjcz6w無可行解，不需要進入第二階段計算。3.4、引例分析、引例分析根據(jù)引例一和引例二的求解過程計算可知，第一階段使用單純形法可以得到一般的最優(yōu)解，而使用兩階段法能在第二階段找到更精確更優(yōu)化的最優(yōu)解。4 4、算法比較、算法比較4.14.1 大大 M M 算法算法單純形法從一個初始可行基開始，要求標準型對應(yīng)的單純形表滿足兩個條件，其一是中心部位具有階單位子塊，其二是右列元素非負。對于線性規(guī)劃問題m最優(yōu)化方法課程設(shè)計10 （4.1.1）11min,1,2.,. .0,1,2.,njjjnijjijjzc xa xb imstxjn若，且對應(yīng)的廚師單純形表條件二滿足

21、條件一不滿足，那么應(yīng)引入人工變量( )r Am，構(gòu)造新的線性規(guī)劃問題12,nnn mxxx （4.1.2）1111min,1,2.,. .0,1,2., ,1,nn mjjjjj nnijjnijjzc xMxa xxb imstxjn nnm 其中，且為無限大的數(shù)，令，則相性規(guī)劃問0M 12,1,1,1TTnnn myxxxE題可表示為 （4.1.3）min. .,0TTzC xME yAxybstx y設(shè)是（4.1.3）的最優(yōu)解，若，則是（4.1.2）的最優(yōu)解，若，則(,)Txy0yx0y（4. 1.2）無可行解。反之，若是（4.1.2）的最優(yōu)解，則是（4.1.3）的最優(yōu)解。x(,0)Tx

22、故其求解方法步驟為1）、經(jīng)初等行變換通常使，使右列元素非負。( 1)ir 2）、在中心部位人工的添加一個階單位子塊，即引入人工變量，得到新m12,my yy的約束方程組。3）、講目標函數(shù)修改為，其中為足夠大的正常數(shù)，從而得到新1mjjzzMy0M 的 LP 模型。4）、用單純形法求解新的 LP 模型，試圖將變成自由變量，最終有兩種12,my yy最優(yōu)化方法課程設(shè)計11結(jié)果如下a、設(shè)球的新的 LP 模型最優(yōu)解為，若，則(,)Txy12(,)0myyyy是原 LP 問題的最優(yōu)解。若，則原 LP 問題12(,)nxxxx12(,)0myyyy無最優(yōu)解。b、新 LP 無界（無最優(yōu)解），則原 LP 問題

23、也無最優(yōu)解。4.24.2 算法比較算法比較如果線性規(guī)劃模型中約束條件系數(shù)矩陣中不存在單位向量組，解題時應(yīng)先加入人工變量，人工地構(gòu)成一個單位向量組。而兩階段法和大 M 法都是可以控制人工變量取值的方法，并且兩種方法都是在單純形法的基礎(chǔ)上進一步求解最優(yōu)解的方法，兩種方法的用法相似，各有優(yōu)缺點。通過設(shè)置新的變量得到初始基本變量，并通過在目標函數(shù)中設(shè)置新變量的價格系數(shù)為 M 使得在優(yōu)化過程中，新變量的值優(yōu)化為 0 在計算機求解過程中，由于計算機只能對 M 設(shè)置有限大的數(shù)值，所以在計算過程中可能會產(chǎn)生誤差，為了解決這個問題，產(chǎn)生了兩階段法。所以大 M 法雖然簡單直觀，在單純形表上的計算步驟與普通單純形法

24、相同，但是大 M 到底取值多大不能確定，M 取值過大也將增加數(shù)值計算困難。用大 M 法處理人工變量，用手工計算求解時不會碰到麻煩。但用電子計算機求解時，對 M 就只能在計算機內(nèi)輸入一個機器最大字長的數(shù)字。如果線性規(guī)劃問題中的參數(shù)值與這個代表 M 的數(shù)相對比較接近，或遠遠小于這個數(shù)字，由于計算機計算時取值上的誤差，可能使計算結(jié)果發(fā)生錯誤。而兩階段法通過對添加人工變量后的線性規(guī)劃問題分兩個階段來計算，從而可以克服這個困難。4.34.3 特殊情況特殊情況1）、無可行解：線性規(guī)劃最優(yōu)解中出現(xiàn)人工變量大于零的情況，則此線性規(guī)劃無可行解。2）、無界解：在求目標函數(shù)最大值等問題中，在某次迭代的單純形表中，如

25、果存在這一個不滿足符號條件的檢驗數(shù)，并且該列的系數(shù)向量的每個元素都小于或等于令，則此線性規(guī)劃無界。3）、無窮多最優(yōu)解:對于某個最優(yōu)的基本可行解，如果存在某個非基變量的檢驗最優(yōu)化方法課程設(shè)計12數(shù)為零，則此線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。4）、退化：在單純形法計算過程中，基變量有事存在兩個以上相同的最小比值，這樣在下一次迭代中就有一個或幾個基變量等于零，稱之為退化。而退化就容易產(chǎn)生循環(huán)迭代，為避免如此，應(yīng)遵守以下兩條原則：a、在所有不滿足符號條件的檢驗數(shù)對應(yīng)的非基變量中，選一個下標最小的作為調(diào)入變量。b、若存在兩個以上的最小比值，選一個下表最小的作為調(diào)出變量。5 5、總結(jié)、總結(jié)5.15.1 總結(jié)概括總結(jié)概括求解最優(yōu)問題是一個艱難而具有挑戰(zhàn)性的過程，最優(yōu)化方法是近幾十年形成的一門運用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案，為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)的學(xué)科，它涵蓋了無約束最優(yōu)化問題、凸集與凸函數(shù)、等式約束最優(yōu)化問題和不等式約束最優(yōu)化問題等知識點。通過本課程教學(xué)，使學(xué)生掌握最優(yōu)化計算方法的基本概念和基本理論，初步學(xué)會處理應(yīng)用最優(yōu)化方法解決實際中的碰到的各個問題，培養(yǎng)解決實際問題的能力。而本次課程設(shè)計