概率論復習題及答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習題一事件及其概率1. 設 A, B, C 為三個事件，試寫出下列事件的表達式：(1) A, B, C 都不發(fā)生； (2) A, B, C 不都發(fā)生； (3) A, B, C 至少有一個發(fā)生； (4) A, B, C 至多有一個發(fā)生。解： (1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 設 A , B為兩相互獨立的隨機事件 , P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求 P(A B), P(A B), P( A | B) 。解： P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(

2、B) P(A)P( B) 0.76 ；P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A| B) P( A) 0.4。3. 設 A, B 互斥， P(A) 0.5， P(A B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。解： P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。4. 設 P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求 P(A B), P( AB) 。解： P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( AB) 0.8,P( A B) P( A B) P( A)

3、P( A)B 。0. 25. 設 A, B, C 獨立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求 P(A B C) 。解： P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。6. 袋中有 4 個黃球， 6 個白球，在袋中任取兩球，求(1) 取到兩個黃球的概率；(2) 取到一個黃球、一個白球的概率。解： (1)P2 CC4210215；(2)P1 1C C4 6 2C10815。7. 從 0 9 十個數(shù)字中任意選出三個不同的數(shù)字，求三個數(shù)字中最大數(shù)為 5的概率。解：P1 2C C1 5 3C10112。1

4、專心-專注-專業(yè)8. 從 (0,1) 中任取兩數(shù)，求兩數(shù)之和小于 0.8 的概率。解：10.8 0.82 0.32P 。19. 甲袋中裝有 5只紅球， 15 只白球，乙袋中裝有 4 只紅球， 5 只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問從乙袋中取出紅球的概率為多少？解：設 A “從甲袋中取出的是紅球 ”， B “從乙袋中取出的是紅球 ”，則：1 3 1 2P( A) , P ( A ) ,P (B |A ) ,P B( A| ) ,4 4 2 5由全概率公式得：17P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A) 。4010. 某大賣場供應的微波爐中， 甲

5、、乙、丙三廠產品各占 50%、40%、10%，而三廠產品的合格率分別為 95%、85%、80%，求(1) 買到的一臺微波爐是合格品的概率；(2) 已知買到的微波爐是合格品，則它是甲廠生產的概率為多大？解： (1) 設 A1 ,A2 ,A3 分別表示買到的微波爐由甲、乙、丙廠生產， B 表示買到合格品，則P( A ) 0. 5P, A( ) 0.P4 ,A ( ) P0. B1, A( | ) P 0.B9 5A, ( | P) B0. A,8 5 , ( | )1 2 3 1 2 33由全概率公式得 P( B) P( Ai ) P(B | Ai ) 0.895 ；i 1(2)P( A | B)

6、1P( A B) P(A )P(B | A ) 0.475 951 1 1P(B) P(B) 0.895 179。二一維隨機變量及其數(shù)字特征1. 已知 X 的概率密度函數(shù) f (x)kx 1, 0 x 20, else，求1k, P X , EX 。2解：21f (x )dx (kx 1)dx 2k 2 1 k ,021 1 92P X x 1 d x ，12 2 1 622 1 2EX x x 1 dx 。02 32. 設 X B(3 , 0.1)，求 P X 2 , P X 1 。解：2 2 3P X 2 C (0.1) (0.9) 0.027, P X 1 1 P X 0 1 0.9 0

7、.271。33. 設三次獨立隨機試驗中事件 A 出現(xiàn)的概率相同， 已知事件 A 至少出現(xiàn)一次的概率為 驗中出現(xiàn)的概率 p 。3764，求 A 在一次試解：三次試驗中 A 出現(xiàn)的次數(shù) X B (3, p) ，由題意：237 1 0 0 3 3P X 1 1 P X 0 1 C3 p (1 p) 1 (1 p) p 。64 41000, x 100011. 某種燈管的壽命 X （單位：小時）的概率密度函數(shù)為 2f ( x) x，0, else(1) 求 P X 1500 ；(2) 任取 5只燈管，求其中至少有 2 只壽命大于 1500 的概率。解： (1)1000 2P X 1500 dx2150

8、0 x3；(2) 設5 只燈管中壽命大于 1500 的個數(shù)為 Y ，則2Y B 5, ，故35 41 2 1 232PY 2 1 PY 0 PY 1 1 5 。3 3 3 24312. 設 X B(n, p), EX 1.6, DX 1.28, 求 n, p 。解： EX np 1.6, DX np (1 p) 1.28 n 8, p 0.2。13. 設 X (2) ，求2P X 2, E(X 2X 3)。解：2P X 2 1 3e ，22 2E(X 2X 3) E( X ) 2EX 3 EX DX 2EX 3 4 2 4 3 7 。14. 設 X U 1,6 ，求 P 4 X 2 。解：1f

9、 (x) 70, 1 x 6else，1 32 1 2P 4 X 2 f ( x)dx 0dx dx 。4 14 7715. 設 X 服從 ( 1,5 ) 上的均勻分布，求方程2 1 0t Xt 有實根的概率。解：1f (x) 60, 1 x 5else，5 1 12P 0 P X 4 0 dx 。26 216. 設 X U 1,3 ，求 EX , DX , E1X。解：12(3 1) 1 , 1 x 3 1 1 1 13EX 2, DX , f (x) 2 , E dx ln312 3 X x 2 210, else。317. 設某機器生產的螺絲長度 X N (10.05,0.0036) 。

10、規(guī)定長度在范圍 10.05 0.12內為合格，求螺絲不合格的概率。解：螺絲合格的概率為P 10.05 0.12 X 10 .05 0 .12 P0 .120.9 06X4. 050 .060 .120 .06(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9544故螺絲不合格的概率為 1 0.9544 0.0456 。5. 設 X N (0,4) ，Y 2X 3000 ，求 EY 、 DY 及Y 的分布。解： EY 2EX 3000 3000, DY 4DX 16, Y N (3000,16) 。6. 設 X 與Y 獨立，且 X N (1,1) , Y N (1,3), 求 E(2 X Y), D(2

11、X Y)。解： E(2X Y) 2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX DY 7 。7. 設1X (4), Y B 4, , 0.6, 求 D(3 X 2Y) 。XY2解： (3 2 ) 9 4 12 25.6D X Y DX DY DX DY 。XY8. 設 X U 1,2 ，求 Y X 的概率密度函數(shù)。解： F ( y) P Y y P X yY(1) 當 y 0時， FY ( y) 0；1 2 y(2) 當 0 y 1時， F ( y) dx y ；Y 3y 3(3) 當1 y 2 時，1 1 y 1yFY ( y) 0dx dx ；y 1 33(4) 當 y 2時， FY ( y

12、) 1；故F (y)Y0, y 023y, 0 y 1y31, 1 y 2，23, 0 y 11f (y) F ( y) , 1 y 2Y Y30, else。1, y 2三二維隨機變量及其數(shù)字特征1. 已知 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為：4YX1 1 25 0.1 0.4 05 0.2 a 0.2(1) 求 a ；(2) 求 P X 0,Y 1 , PY 1| X 5 ；(3) 求 X ,Y 的邊緣分布律；(4) 求 XY ；(5) 判斷 X ,Y 是否獨立。解： (1) a 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2；(4) E

13、X 0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X,Y) 0, XY 0 ；(5)18. 0.419. 0.1，不獨立。0.10 已知 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為：XY1 0 20 a1916119b13且 X 與Y 相互獨立，求：(1) a,b 的值；(2) P XY 0 ；(3) X, Y 的邊緣分布律；(4) EX , EY, DX , DY ；(5) Z XY 的分布律。1 1解： (1)a 1 29 6 , a b1 1 18 9 b9 3;5(2) 4 5P XY 0 1 P XY 0 1 ； 9 9(3) 1 1 1 1 2X : , , ; Y : , ； 6 3 2 3

14、 3(4)5 13 53 2 2 22 2 2 2 2 2EX , EX , DX EX (EX ) , EY , EY , DY EY (EY) ；6 6 36 3 3 9(5) 1 5 1P Z 1 , P Z 0 , PZ 2 。 9 9 320. 已知 ( X ,Y) 的概率密度函數(shù)為f (x, y)c(x y), 0 x 2,0 y 10, else，求：(1) 常數(shù) c；(2) 關于變量 X 的邊緣概率密度函數(shù) fX ( x) ；(3) E( X Y) 。解： (1)2 1 21 1f (x, y )dxdy dx c(x y )dy c x dx 2c c 3c 1 c ；0 0

15、 02 3(2)1 1 11(x y) dy x , 0 x 2f (x) f (x, y)dy 3 3 20X0, else；(3)1 162 12E( X Y) ( x y) f (x, y) dxdy dx ( x y) dy 。0 0 9321. 設 (X ,Y) 的概率密度函數(shù)為： f ( x, y)Axy, 0 x 1,0 y x0, else，(1) 求 A ；(2) 求 ( ), ( ) f x f y ； X Y(3) 判斷 X ,Y 是否獨立；(4) 求1P Y , P X Y 1 ；2(5) 求 cov( X ,Y) 。解：(1)1 x Adx Axydy 1 A 8 ；

16、0 0 8(2)f (x) f (x, y )dyXx038xydy 4x , 0 x 1，0, else6f (y) f (x, y )dxY1 28 xydx 4 y(1 y ), 0 y 1y；0, else(3) f (x, y) fX (x) fY (y) X, Y 不獨立；(4)1 151 3P X 4x dx ，12 1621/2 1 y1P X Y 1 dy 8 xydx ；0 y6(5) 4 8 4 4EX , EY , E( XY) , cov( X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 。 5 15 9 225四中心極限定理22. 某種電器元件的壽命服從指數(shù)分布 E(0

17、.01) （單位：小時） ，現(xiàn)隨機抽取 16只，求其壽命之和大于 1920小時的概率。16解：設第 i 只電器元件的壽命為 X (i 1,2, ,16), 則 E(X ) 100, D(X ) 10000。令i i iX X ，ii 1則 EX 1600, DX 。由中心極限定理得X 1600 1920 1600P X 1920 P 0.8 1 (0.8) 0.2119。 40023. 生產燈泡的合格率為 0.8，記10000 個燈泡中合格燈泡數(shù)為 X ，求(1) E( X )與 D(X ) ；(2) 合格燈泡數(shù)在 7960 8040 之間的概率。解： (1) X B(10000,0,8),

18、E(X ) 10000 0.8 8000, D(X ) 10000 0.8 0.2 1600 ；(2) 由中心極限定理得P 7960 X 8040 p7960408000 X8000408040800040(1)(1)2 (1) 1 0 .6826 。24. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中 80% 的長度不小于 3m ，現(xiàn)從這批木柱中隨機地取 100根，問至少有 30根短于 3m 的概率是多少？解：設這 100根木柱中短于 3m 的個數(shù)為 X ，則X B(100,0.2), EX 100 0.2 20, DX 100 0.2 0.8 16 ；由中心極限定理得X EX 30 20P X 30 P

19、 2.5 1 (2.5) 0.0062。DX 1625. 某單位設置一電話總機，共有 200 架電話分機。設每個電話分機是否使用外線通話相互獨立，設每時刻每個分機有 0.05 的概率要使用外線通話。 問總機至少需要多少外線才能以不低于 0.9的概率保證每個分7機要使用外線時可供使用 ?解：設至少需要 k 條外線。使用外線的分機數(shù) X B(200,0.05) ，EX 200 0.05 10, DX 200 0.05 0.95 9.5 。由中心極限定理得：P X k PX EX k 10 k 10DX 9.5 9.526.k100.119. k 13.9452 。五抽樣分布2. 從一批零件中抽取

20、6個樣本，測得其直徑為 1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8 ，求2x, s 。解：6 61 12 2x x 1.9667, s (x x) 0.1427 。i i6 5i 1 i 13. 設 X1, X2 是來自正態(tài)總體 N (0,9) 的簡單隨機樣本，已知2Y a(X1 X ) 服從22分布，求 a。解：2X X X X 11 2 1 2 2X X N (0,18) N (0,1) (1) a 。1 218 18184. 總體 X N (72,100) ，(1) 對容量 n 50 的樣本，求樣本均值 X 大于 70 的概率；(2) 為使 X 大于 70 的概率不小于 0.95 ，樣本

21、容量至少應為多少？解： (1)70 72X N 72,2 , P( X 70) 1 1 ( 2) ( 2) 0.92；2(2)100 70 72 n nX N 72, , P(X 70) 1 1 0.95n n 5 5100 /n51.645 67.65n 。5. 設X1,X2, ,X10 取自正態(tài)總體 N (0,0.09) ，求102P X 1.44 。ii 1n2(X)ii 1 n2解：由于 ( )2，故102 2P Xi 1.44 P (10) 16 0.1。i 1827. 設 X1, X2, , Xn 來自總體2X N( , )，2S 為樣本方差，求ES DS 。 2, 22, 2解：

22、2 2 2(n 1)S 2 2 2 2 (n 1), E( S ) E (n 1) (n 1) ,2n 1 n 12 4 422 2D(S ) D (n 1) 2(n 1)2n 1 (n 1) n 1。六參數(shù)估計0.12 設隨機變量 X B(n, p) ，其中 n已知。 X 為樣本均值 , 求 p 的矩估計量。解： EX np X p? Xn。1, x 10.13 設總體 X 的概率密度函數(shù)為： f (x) 1，其中 是未知參數(shù)，求 的矩估計量。0, else解：1 ? 2 1EX X X 。20.14 設總體 X 的分布律為X 1 2 3P 1 2現(xiàn)有樣本： 1,1,1, 3,1, 2, 3

23、, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1, 2，求 的矩估計值與最大似然估計值。解： (1)3 X?EX 2 3(1 2 ) 3 3 X ，將37x 代入得4?512；(2) 似然函數(shù) L P X1 1, X2 1, , X16 27 6 3P X 1 P X 1 P X 2 (1 2 )1 2 16對數(shù)似然函數(shù) ln L 13ln 3ln(1 2 ) ，令ln L 13 61 20，得?1323。0.15 設總體 X 的概率密度函數(shù)為f (x)x x 1, 0 11, 0 1。0, else現(xiàn)測得 X 的8 個數(shù)據： 0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0

24、.6 ，求 的矩估計值和最大似然估計值。解： (1)11E( X ) xf ( x)dx x x dx ，令 E(X ) X ，得01X 0.6375? 1.76；1 X 1 0.63759(2) 似然函數(shù)1n n n1 nL f ( x ) x x ，對數(shù)似然函數(shù)i i ii 1 i 1 i 1nln L n ln ( 1) ln x ，令ii 1ln L nni 1ln x 0 ，得in 8? 2.13n3.7626ln xii 1。20.16 設軸承內環(huán)的鍛壓零件的平均高度 X 服從正態(tài)分布 N( ,0.4 ) ?，F(xiàn)在從中抽取 20 只內環(huán)，其平均高度x 32.3 毫米，求內環(huán)平均高度的

25、置信度為 95% 的置信區(qū)間。解：2已知，置信區(qū)間為X z , X zn n2 2。將 x 32. 3, 0. 4, n 20, z0. 025 1. 96 代入，得所求置信區(qū)間為 (32.125, 32.475)。0.17 為了估計一批鋼索所能承受的平均張應力 ( 單位： 千克力 / 平方米 ) ，從中隨機地選取了 10 個樣品作實驗 ,由實驗所得數(shù)據算得： x 6720, s 220，設鋼索所能承受的張應力服從正態(tài)分布 , 試在置信水平 95%下求這批鋼索所能承受的平均張應力的置信區(qū)間。解：2未知，置信區(qū)間為S SX t (n 1), X t (n 1)n n2 2。將x 6720, s

26、220, n 10, t (9) 2.2622代入，得所求置信區(qū)間為 (6562.6, 6877.4) 。10.0.18 冷銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批銅絲中任取 10 根，測試折斷力，得數(shù)據為578，572，570，568，572，570，570，596，584，572求： (1) 樣本均值和樣本方差； (2) 方差的置信區(qū)間（ 0.05 ）。解： (1)10 101 12 2x x 575.2, s (x x) 75.73 ；i i10 9i 1 i 1(2) 未知，置信區(qū)間為2 2(n 1)s (n 1)s 9 75.73 9 75.73, , (35.83, 252.40)2 2(n 1) (n 1) 19.0228 2.700412 2。七假設檢驗6. 某糖廠用自動打包機裝糖，已知每袋糖的重量 ( 單位：千克 ) 服從正態(tài)總體分布 N( , 4 ) ，今隨機地抽查了 9 袋，稱出它們的重量如下：50 ，48，49，52，51，47，49，50，50問在顯著性水平 0.05下能否認為袋裝糖的