導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文4

1、導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 肖娜，指導(dǎo)教師：俸衛(wèi)目 錄摘要IAbstractI1 引言12 導(dǎo)數(shù)的概念13 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)的廣泛應(yīng)用13.1 導(dǎo)數(shù)如何確定函數(shù)形態(tài)23.1.1 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷一般函數(shù)的單調(diào)性23.1.2 利用導(dǎo)數(shù)求極法和最值問題33.1.3 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)奇偶性63.2 函數(shù)導(dǎo)數(shù)在不等式當(dāng)中的應(yīng)用73.2.1 利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)來證明不等式73.2.2 根據(jù)函數(shù)的極值證明不等式83.3 導(dǎo)數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用93.3.1 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程93.3.2 利用求導(dǎo)的方法來求解中點(diǎn)弦的問題113.4 導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)的取值范圍中的應(yīng)用124 小結(jié)15

2、參考文獻(xiàn)15致謝信16內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)摘 要：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)內(nèi)容，具有舉足輕重的作用，自從被引入高中課本之后，與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問題就成了高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，在高考中也占有較高的分值，同樣函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中也是極其重要的, 在解決許多現(xiàn)實(shí)實(shí)際問題中起著居高臨下和化繁為簡的作用.首先分析導(dǎo)數(shù)的基本知識和基本理論, 通過近幾年的高考試題來研究導(dǎo)數(shù)在幾何、初等函數(shù)、不等式的證明過程中的具體應(yīng)用,從而可利用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)里的函數(shù)的一般圖像、單調(diào)性、最值等函數(shù)問題；然后在分析了解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上探討，從而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作出特殊函數(shù)的一般圖像,特別的解決函數(shù)中取值范圍的問題,有利

3、于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用Abstract:Derivative as the higher mathematics teaching in the content, since being introduced into high school mathematics textbooks, and derivative related issues has become a hot spot for years in the college entrance examination in the ideological content, method o

4、f derivative is very important in middle school mathematics in solving many practical problems, to look down from a height and to simplify the role.Firstly, the basic knowledge and theory of derivative, pass the college entrance examination in recent years to explore the application of derivative in

5、 proving geometry, function, inequality, image, monotonicity, the value function problem solving function of middle school mathematics;Image based on analysis of concepts related to derivative on derivative to make a special function, especially the function in the range of problems, it helps to imp

6、rove the students' ability to analyze and solve problems.Key words:middle school mathematics;derivative;application1 引言導(dǎo)數(shù)在高中教學(xué)中越來越凸顯其重要性，它的廣泛應(yīng)用為解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際的生活提供了一個強(qiáng)大的工具，并提供新的功能，該研究的是一個新視角的不平等，幾何問題由于導(dǎo)數(shù)知識的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的工具性成為了高中教學(xué)的創(chuàng)新點(diǎn)，又由于導(dǎo)數(shù)是網(wǎng)絡(luò)知識的交匯點(diǎn)，從無到有，從弱到強(qiáng)，無論在深度或廣度上都占有重要地位，導(dǎo)數(shù)常與函數(shù)，方程，不等式等知識交匯，所以在學(xué)習(xí)中必須在拓寬、

7、深化導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用前提下，提高綜合解題能力等方面，對更好地解決各種現(xiàn)實(shí)生活中的問題衍生的教學(xué)，本文的一些實(shí)際應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)的概念與中學(xué)教學(xué)的衍生物進(jìn)行了分析探討，使衍生更清楚，從而使導(dǎo)數(shù)的知識模塊化，進(jìn)而使學(xué)者更好的掌握導(dǎo)數(shù)的知識2 導(dǎo)數(shù)的概念在中學(xué)教材中的定義：一般地，如果函數(shù)在處的瞬間變化率為，我們就稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記為或即注意： (1)只有函數(shù)在點(diǎn)的周圍有定義時，導(dǎo)數(shù)才存在，不然導(dǎo)數(shù)不存在 (2)在衍生型的極限的定義，達(dá)到0可以是積極的，消極的，但不是0. (3)如果極限不存在，則稱函數(shù)為不可微函數(shù)(4)假如對于一般函數(shù)在自變量到范圍內(nèi)的平均變化率為，則它的幾 何意義為過函數(shù)圖像的曲線

8、上的點(diǎn)與點(diǎn)的割 線斜率(5)要是一般函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時變化率為，然 而反映的是函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度大小，從而可得其幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率(6)假如函數(shù)要在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都有一個確定的導(dǎo)數(shù)，我們就可以說函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的；此時就有每一個的值，必定都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù),構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱這個新的函數(shù)為之導(dǎo)數(shù).3 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)的廣泛應(yīng)用3.1 導(dǎo)數(shù)如何確定函數(shù)形態(tài)3.1.1 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷一般函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特征，在高中階段有較多的應(yīng)用，對解決許多實(shí)際問題也有簡化的作用，有時我們對于一些函數(shù)的單調(diào)性不易做出判斷的情況下，可以利用該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，即

9、假設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上是可導(dǎo)的： 若函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)時，則函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)時，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)時，則在區(qū)間I上為常量函數(shù)可以很方便的判斷一個函數(shù)的重要性質(zhì)即單調(diào)性，但是在應(yīng)用時應(yīng)特別的注意在區(qū)間內(nèi)是在此區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)的充分而不必要條件同時也是在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)的充分而不必要條件例1 證明函數(shù)在上是增函數(shù)分析 要證明一個函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)，則其證該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上大于0還是小于0，因?yàn)橐粋€函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間上大于0（小于0）是該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）的充分條件證明 因?yàn)椋?dāng)時 ，所以故

10、函數(shù)在上是增函數(shù)例2 求函數(shù)的增區(qū)間分析 要求一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若的導(dǎo)數(shù)的區(qū)間為I，則的增區(qū)間為若的導(dǎo)數(shù)的區(qū)間為I，則的減區(qū)間為I若的導(dǎo)數(shù)的區(qū)間為I，則在I上為常量函數(shù)解 因?yàn)?，所以?dāng)滿足恒成立時，即當(dāng)或時，函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)故函數(shù)的增區(qū)間為.例3 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則求出實(shí)數(shù)的取值范圍.分析 已知該函數(shù)在上的是增函數(shù)，則可得該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上大于零，根據(jù)這一條件從而求出函數(shù)中的參數(shù)范圍解 由題可知.因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，所以在R上恒成立.所以.即：.例4 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是遞增的函數(shù)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍解 由題可知.因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù).所以.在上恒成

11、立.所以或.即 或.綜上有滿足條件的取值范圍為從以上的兩個例子可看出函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性恒成立，相同函數(shù)在不同的區(qū)間上的單調(diào)性相同，由于是在不同的區(qū)間上，故其考慮因素是不一樣的即側(cè)面的反應(yīng)出在區(qū)間內(nèi)是在此區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)的充分不必要條件同時也是在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)的充分條件而不是必要條件小結(jié) 從以上的例子中可看出利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性及找出函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，將問題方便快捷化3.1.2 利用導(dǎo)數(shù)求極法和最值問題最大值，最小值問題是高中數(shù)學(xué)教材中的一個重點(diǎn)，同時對于學(xué)者也是一個難點(diǎn).在高考中也占有較高的分值，它涉及到了高中數(shù)學(xué)知識中的各各方面，滲透范圍極廣，往往是需要多

12、種技能多種技巧來解決這樣的問題，并且需要選擇合理快捷的解決過程與方法，達(dá)到方便簡化的作用然而正好用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解答問題的過程更加簡化，步驟更加清晰明了，學(xué)生也能更好得掌握實(shí)際問題應(yīng)注意的是函數(shù)的極大值與極小值和最大值最小值的差異與聯(lián)系，極值是在某個區(qū)間上加以探討研究的局部性問題的概念，而最值則是在整個區(qū)間上的研究的整體性問題的概念根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值解答這樣問題的步驟可大概分為： （1）根據(jù)求導(dǎo)的一般法則對該函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)，即求導(dǎo)數(shù). （2）假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是等于0的,從而可以解出該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即是在求 方程的根. （3）分區(qū)間加以討論研究,得到函數(shù)的單調(diào)

13、增區(qū)間及單調(diào)減區(qū)間 （4）先判斷出極值所在的點(diǎn)，然后順利的求出極值（3）（4）是在檢查在 方程根左右的值的符號，要是函數(shù)在左邊為正右邊為負(fù)，則函數(shù)在這個根處取得極大值，然而要是函數(shù)在左邊負(fù)右邊正，則函數(shù)在這個點(diǎn)處取得極小值） （5）算出區(qū)間端點(diǎn)值及其極值進(jìn)行比較，計算出最值判斷函數(shù)極值的幾種方法： （1）直接代入法：這種方法是將極值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問題簡單化的過程，最終使 問題加以解決，可以與其用來解決一些較為簡單而實(shí)際的極值問題 （2） 拉格朗日乘數(shù)法（利用二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣判斷、利用全微分判斷等作為了解）.導(dǎo)數(shù)是0的點(diǎn)可以不是極值點(diǎn)，而要是極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)則必然為0，同時要是不可導(dǎo)的點(diǎn)也是可能為極

14、值點(diǎn)的因此函數(shù)的極值點(diǎn)要么是在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，要么是在不可導(dǎo)的點(diǎn)處產(chǎn)生利用導(dǎo)數(shù)求一確定函數(shù)的極值主要題型有：(1)根據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)求解參數(shù)的實(shí)際問題；(2)根據(jù)函數(shù)解析式求解極值.解答時要準(zhǔn)確應(yīng)用并且利用導(dǎo)數(shù)求極值的原理來進(jìn)行求解例5 求函數(shù)在條件下的極值解 由解得將上式代入函數(shù)得由，得 解得，又，在點(diǎn)處 所以不是極值點(diǎn)，而從函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)（0，0，2）處無極限在點(diǎn)，處又所以為極小值點(diǎn)，因而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值，極小值為例6 假設(shè)函數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其極值. 分析 要求其單調(diào)區(qū)間，則先判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再根據(jù)函數(shù)的走向來判斷函數(shù)的極值 解 知于是令，從而得或.當(dāng)發(fā)生變化的時候，相應(yīng)的變化

15、情況如下表所示：表一：+0-0+單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)故，由上表可知的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，極小值則為，極大值則是.小結(jié) 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出極值，（極值必定是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最值，如果是要判斷該題的最值，則將其極值與端點(diǎn)上的值進(jìn)行比較，從而進(jìn)行判斷）.例7 設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間（2）若在上的最大值為，求的值分析 要求函數(shù)的最值，則首先判斷該函數(shù)的一級導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷出單調(diào)區(qū)間范圍，確定出函數(shù)的極值，再與區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行比較，從而求出最值解 函數(shù)求導(dǎo)得定義域?yàn)椋?，2）.（1） 當(dāng)時，令得. 當(dāng)，為增區(qū)間；當(dāng),為減函數(shù)（2）區(qū)間上的最

16、值問題，經(jīng)過一級導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的對比獲得，得到待定量的值當(dāng)有最大值，則一定不是減函數(shù)，且，的解為單調(diào)遞增區(qū)間最大值在右端點(diǎn)處取得.小結(jié) 求函數(shù)的最值和極值是有區(qū)別的，極值是函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最值，而最值是整個函數(shù)在定義域中的最值注：函數(shù)的極值與最值得聯(lián)系與區(qū)別： 函數(shù)的極值必定是該函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最值 函數(shù)的極值不一定就是該函數(shù)的最值 假如函數(shù)的最值在某個區(qū)間內(nèi)計算所得，則這一點(diǎn)肯定是極值點(diǎn)3.1.3 導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用已知函數(shù)是在定義域內(nèi)為可導(dǎo)的，假設(shè)函數(shù)是為奇函數(shù)，那么就是為偶函數(shù)，要是為偶函數(shù)，那么就是為奇函數(shù)，該定義是可以用來解決一些根據(jù)函數(shù)奇偶性定義而無法

17、解決的一些問題例8 設(shè)函數(shù)，其中，則函數(shù)為偶函數(shù)的充分條件且非必要條件是 （ ）A. B. C. D. 分析 本題用常規(guī)方法很難判斷出函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件.解 題知由定理二我們知道，由于函數(shù)是偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以又當(dāng)時，即，此時有，代入有或，此時函數(shù)是偶函數(shù)即是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件選D.3.2 函數(shù)導(dǎo)數(shù)在不等式當(dāng)中的應(yīng)用3.2.1 利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)來證明不等式該方法適用于某確定區(qū)間I上成立的不等式，一般地，證明區(qū)間I上成立的不等式時，可以選擇作為輔助函數(shù)，對求一級導(dǎo)數(shù)，判斷是大于0還是小于0，從而判斷的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式例9 已知函數(shù)且該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為，若，證

18、明：.分析 判斷一個不等之間的關(guān)系成立或者不成立，我們一般都是采用作差或者是作商的方法，但這一題不管是用作差的方法還是用作商的方法都是很難判斷解決的但是如果遇到此類型的題我們采用構(gòu)造函數(shù)的方法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)就很好的解決了，從而轉(zhuǎn)化達(dá)到快捷的目的證明 由已知得，當(dāng)時此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時，即所以 . 令，則所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，即 所以 . 由知，當(dāng)時例10 設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時，分析 該題是有關(guān)不等式證明的題目，由于，因此我們可以引入中間函數(shù)，現(xiàn)在只需證明在條件下一定是成立的就可以了，實(shí)際上也就是要求我們來判斷函數(shù)的單調(diào)性，下面我們就可以運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般性質(zhì)來加

19、以解決了解 令又由于，所以（）所以.由此我們知道函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)所以= 所以 即恒成立，又因?yàn)?所以 所以 命題得證.小結(jié) 由以上可知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般性質(zhì)在不等式的證明過程中也有具體的應(yīng)用，它的存在為我們證明不等式提供了一個新的方法，新的視野，我們是可以通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造得出一些簡單的函數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的具體性質(zhì)來證明不等式，將問題加以解決3.2.2 根據(jù)函數(shù)的極值證明不等式在教學(xué)中存在許多證明不等式的方案方法，我們在這里討論的一些不等式可以通過函數(shù)極值來證明，這些不等式都有一個共同的特點(diǎn)，就是有明確的幾何不等式，但運(yùn)用通常的代數(shù)方法證明起來卻比較繁瑣，此時我們考慮用極值問題加以證

20、明例11 當(dāng)時，證明不等式.分析 在證明之前，不妨先畫出連續(xù)函數(shù)的圖形（圖1）從圖中可看出，由于在之內(nèi)，的最小值為顯然成立，依此思路我們可以可以這樣證明不等式證明 令則.令得為駐點(diǎn)考察由于因此的正負(fù)由確定，也就故為一極小值，且在內(nèi)，還為一最小值所以.3.3 導(dǎo)數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率，當(dāng)，表示切線與軸正向夾角為銳角，當(dāng),表示切線與軸正向夾角為鈍角，當(dāng)，表明切線與軸是平行的關(guān)系(導(dǎo)數(shù)在幾何當(dāng)中的具體應(yīng)用主要關(guān)注與導(dǎo)數(shù)在幾何中的具體意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法，可以很方便快捷的找到函數(shù)在任意一點(diǎn)的切線斜率和切線方程).3.3.1 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程考慮二次曲線方程為：是

21、的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是可以求出此切線的斜率例12 已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 （ ）A. B. C. D. 分析 該題是沒有直接告訴我們的具體解析式，只是告訴了我們一個有關(guān)的關(guān)系表達(dá)式要是想求其在處的切線方程，顯然是要首先求在的斜率解根據(jù)求導(dǎo)法則，對兩邊分別對求導(dǎo)后有 所以.即由于.所以則在點(diǎn)處的切線方程為即所以選答案A從上面我們是可以發(fā)現(xiàn)，正確的理解并且運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在幾何當(dāng)中的意義對于解決此類問題是很方便的，也是很快捷有效的3.3.2 利用求導(dǎo)的方法來求解中點(diǎn)弦的問題假如要以圓、橢圓等圖形的中心為中心來探討問題，按照比例來縮小原有的圖形，則肯定是存在同樣類似的圓、橢圓等與弦

22、AB的中點(diǎn)M是相切的（圖一），要是在此時縮小曲線方程的比例，假設(shè)為 ，兩邊對同時求導(dǎo)，我們可以發(fā)現(xiàn)并不能改變原有方程之前推導(dǎo)出來的結(jié)果，所以，可直接利用導(dǎo)數(shù)得方法來求中點(diǎn)弦的斜率也就是在中點(diǎn)位置處的值A(chǔ)MB圖一例13 已知有雙曲線的方程為,(1)求出以點(diǎn)為中心點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線的方程；(2)過點(diǎn),能不能作出直線,使直線與我們所給曲線交于這兩點(diǎn),要是已知點(diǎn)是已知弦的中心點(diǎn)，這樣的直線假如要是存在,那么求出它的直線方程；要是不存在,請說明原由.解 對函數(shù)的兩邊同時求導(dǎo), 可得(1) 要是以點(diǎn)為中心點(diǎn)的弦的斜率是, 因此所求中點(diǎn)弦所處的直線方程為.(2) 要是以為中心點(diǎn)的弦的斜率為, 所以所求

23、中點(diǎn)弦所在直線的具體方程是即,與雙曲線的方程聯(lián)立，從而消去得所以函數(shù)是沒有實(shí)根的.進(jìn)而直線與雙曲線也是沒有交點(diǎn)的, 即滿足已知條件的直線是不存在的.小結(jié) (1)這樣求出的方程只是滿足了必要的性質(zhì), 但是還必須驗(yàn)證一下它的充分性, 即所要求的直線與已知的雙曲線確實(shí)要有兩個相交的點(diǎn).3.4 導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)的取值范圍中的應(yīng)用例14 假設(shè)函數(shù)（I）當(dāng)時，求出函數(shù)的極大值與極小值；（II）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求出的取值范圍分析 已知函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)建立不等式，從而解出參數(shù)的取值范圍利用在上是增函數(shù)，有的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上大于零，再討論的值確定函數(shù)走向來確定參數(shù)的取值范圍解 （I）依題意得當(dāng)時在區(qū)間

24、內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，有極小值.所以是函數(shù)的極小值（II）在上，單調(diào)遞增當(dāng)且僅當(dāng)即 當(dāng)時恒成立；當(dāng)時成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得.當(dāng)時成立，即成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得.綜上，的取值范圍是.小結(jié) 可以利用已知函數(shù)圖像的走向，即利用函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來建立不等式，求出參數(shù)的取值例15 設(shè)函數(shù).（）證明：當(dāng)時，；（）設(shè)當(dāng)時，求的取值范圍分析 第一問是有關(guān)不等式證明的題目，由于，因此我們可以引入中間函數(shù)，現(xiàn)在只需要證明在的條件下一定是成立的即可，實(shí)際上也就是要求我們來判斷函數(shù)的單調(diào)性，下面我們就可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的具體性質(zhì)來進(jìn)行判斷了第二問也是第一問的加深，對第一問的深化，我們可以仿照第一問的

25、解答過程，解決方法，根據(jù)分類討論的思想方法來加以求解作答解 （）假設(shè),又由于，所以（）所以.由此我們知道函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)所以= 所以 即恒成立又因?yàn)?所以 所以 命題得證.（）由題設(shè)，則此時恒成立，（1）當(dāng)時，若，則，此時，與相矛盾；（2）當(dāng)時，令則成立當(dāng)且僅當(dāng)成立即可，由于，即，因此現(xiàn)只需判斷在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)即可，也就是判斷在定義域恒成立由題得 由（）知，所以.因?yàn)樵诙x域內(nèi)恒成立，所以 上式成立時只需即，所以當(dāng)時，成立；時，由（）知，所以.由于當(dāng)時，這與在定義域恒成立相矛盾綜上：當(dāng)時，時，的取值范圍是例16 已知函數(shù)在處取得極值.(1) 求函數(shù)的解析式.(2) 若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 (1)求得.(2)設(shè)切點(diǎn)為因?yàn)?所以切線方程為，又切線過點(diǎn)