132　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用2掌握函數(shù)極值的判定及求法3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件1極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則把點(diǎn)b叫做函

2、數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值2求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值情境導(dǎo)學(xué)在必修1中，我們研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問(wèn)題但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近，也存在著哪一點(diǎn)的函數(shù)值大，哪一點(diǎn)的函數(shù)值小的問(wèn)題，如何利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)在某點(diǎn)附近函數(shù)值的大小問(wèn)題？又如何求出這些值？這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容探究點(diǎn)一函數(shù)的極

3、值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系思考1如圖觀察，函數(shù)yf(x)在d、e、f、g、h、i等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？yf(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，yf(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？答以d、e兩點(diǎn)為例，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xd處的函數(shù)值f(d)比它在點(diǎn)xd附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(d)0；在xd的附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)0.類(lèi)似地，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xe處的函數(shù)值f(e)比它在xe附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(e)0；在xe附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0.結(jié)論思考1中點(diǎn)d叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(d)叫做函數(shù)yf(x)的極小值；點(diǎn)e

4、叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(e)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值思考2函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值和極小值是唯一的嗎？答函數(shù)的極大值與極小值并無(wú)確定的大小關(guān)系，一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值或極小值可以不止一個(gè)思考3若某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，那么，此點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？舉例說(shuō)明答可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在x0兩側(cè)f(x)的符號(hào)不同例如，函數(shù)f(x)x3可導(dǎo)，且在x0處滿足f(0)0，但由于當(dāng)x<0

5、和x>0時(shí)均有f(x)>0，所以x0不是函數(shù)f(x)x3的極值點(diǎn)思考4函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有_個(gè)極小值點(diǎn)答案1解析由圖可知，在區(qū)間(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)內(nèi)f(x)>0；在區(qū)間(x1，x2)，(x3，b)內(nèi)f(x)<0.即f(x)在(a，x1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x2，x3)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x3，b)內(nèi)單調(diào)遞減所以，函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為xx2.故填1.例1求函數(shù)f(x)x34x4的極值解f(x)

6、x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)>0，得x<2或x>2；由f(x)<0，得2<x<2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由表可知：當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值f(2)；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值f(2).反思與感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格檢測(cè)f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(

7、x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)3ln x的極值解函數(shù)f(x)3ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減3單調(diào)遞增因此，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)3.探究點(diǎn)二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值思考已知函數(shù)的極值，如何確定函數(shù)解析式中的參數(shù)？答解這類(lèi)問(wèn)題，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等

8、于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，所以必須對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值解因?yàn)閒(x)在x1時(shí)有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x1時(shí)取得極小值，因此a2，b9.反思與感悟(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，

9、利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性跟蹤訓(xùn)練2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由極值點(diǎn)的必要條件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程組得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且函數(shù)f(x)ln xx2x的定義域是(0，)，f(x)x1x1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，

10、)時(shí)，f(x)0；所以，x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)探究點(diǎn)三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x)x36x5，xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因?yàn)楫?dāng)x>或x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值54；當(dāng)x時(shí)，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54a54時(shí)，直線ya與yf(x)的圖象有三

11、個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根反思與感悟用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法它通過(guò)函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù)跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)2x36xk在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍解f(x)2x36xk，則f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是單調(diào)減函數(shù)，f(x)在(，1)和(1，)上是單調(diào)增函數(shù)f(x)的極大值為f(1)4k，f(x)的極小值為f(1)4k.要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需4k<0或4k>0(如圖所示)或即k<4或k>4.k的取

12、值范圍是(，4)(4，)1“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取得極值”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析對(duì)于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0處取極值，反之成立故選B.2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A無(wú)極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)答案C解析f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值，f(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)3已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A1<a<2 B3<a<6Ca<1或a>2 Da<3或a>6答案D解析f(x)3x22axa6，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)24×3×(a6)>0，解得a>6或a<3.4設(shè)aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)答案(，1)解析yexa，由y0得xln(a)由題意知ln(a)>0，a<1.5直線ya與函數(shù)yx33x的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則a的取值范圍是_