導(dǎo)數(shù)與其應(yīng)用全章復(fù)習(xí)與鞏固提高

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決曲線的切線的問題.2. 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)問題.3. 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值等有關(guān)問題.4. 能通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具解決生活中的一些優(yōu)化問題：例如利潤最大、用料最省、效率最高等問題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：有關(guān)切線問題直線與曲線相切，我們要抓住三點(diǎn)：切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上；切線斜率等于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：通過以上三點(diǎn)可以看出，抓住切點(diǎn)是解決此類題的關(guān)鍵，有切點(diǎn)直接求，無切點(diǎn)則設(shè)切點(diǎn)，布列方程組.要點(diǎn)二：有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為增函

2、數(shù)；（2）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為減函數(shù)；（3）如果恒有，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)為常數(shù)函數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則.（2）或恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法： 分離參數(shù)法：或. 若不能隔離參數(shù)，就是求含參函數(shù) 的最小值 ，使.（或是求含參函數(shù) 的最大值 ，使）要點(diǎn)三：函數(shù)極值、最值的問題函數(shù)極值的問題（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)要點(diǎn)詮釋：先求出定義域一般都要列

3、表：然后看在每個(gè)根附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化：若由正變負(fù)，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)； 若由負(fù)變正，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn).注意：無定義的點(diǎn)不用在表中列出根據(jù)表格給出結(jié)論：注意一定指出在哪取得極值.函數(shù)最值的問題若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)所有使的的點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.要點(diǎn)詮釋：求函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

4、且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?要點(diǎn)四：優(yōu)化問題在實(shí)際生活中用料最省、利潤最大、效率最高等問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最大值問題，從而可用導(dǎo)數(shù)來解決.我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟：(1) 分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解方程；(3) 比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值要點(diǎn)詮釋：解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，

5、建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系.再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案得出變量之間的關(guān)系后，必須由實(shí)際意義確定自變量的取值范圍；在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f (x)0的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值

6、應(yīng)舍去要點(diǎn)五：定積分的概念如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上取點(diǎn)，作和式：當(dāng)時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作：，即要點(diǎn)詮釋：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時(shí)），記為，而不是(2) 定積分是一個(gè)數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即（稱為積分形式的不變性），另外定積分與積分區(qū)間，息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上下限不同，所得的值也就不同，例如與的值就不同要點(diǎn)六：定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形

7、(如圖a中的陰影部分)的面積.要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)時(shí)，由、=、=與軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的相反數(shù)（負(fù)數(shù)）所以，即，如圖（b）（2）當(dāng)在區(qū)間，上有正有負(fù)時(shí)，積分在幾何上表示幾個(gè)小曲邊梯形面積的代數(shù)和（軸上方面積取正號(hào)，軸下方面積取負(fù)號(hào)）在如圖（c）所示的圖象中，定積分要點(diǎn)七：定積分的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：；性質(zhì)2：；性質(zhì)3：定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性。如右圖：（其中）性質(zhì)4 設(shè)在，上連續(xù)：當(dāng)是奇函數(shù)，；當(dāng)是偶函數(shù)，要點(diǎn)八：求定積分的基本方法定義法（極限觀點(diǎn)）一般步驟：分割，近似代替，求和，取極限公式法（微積分基本定理）微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：如果

8、，且在，上可積，則利用定積分的幾何意義，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如三角形、四邊形、圓等）的面積利用奇（偶）函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)（要點(diǎn)三運(yùn)算性質(zhì)4）。要點(diǎn)詮釋： 對(duì)于這幾種計(jì)算定積分的方法，要合理的利用：一般先看積分區(qū)間，如果是對(duì)稱區(qū)間，就利用對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)來化簡（方法），接著分析被積函數(shù)的特點(diǎn)，如果是有理函數(shù)，就利用微積分基本定理計(jì)算（方法），如果是無理函數(shù)，則利用定積分的幾何意義計(jì)算（方法）而利用定積分的定義求積分的值時(shí)，除了幾個(gè)特殊的情況需要求積分比較困難，一般很少用要點(diǎn)九：定積分的應(yīng)用平面圖形的面積求平面圖形的面積，主要是利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?，從?/p>

9、把求平面圖形面積的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問題不分割型圖形的面積由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來表示面積，然后計(jì)算定積分即可求由曲線圍成圖形面積的一般步驟：(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)找出范圍，確定積分上、下限（聯(lián)立與，解方程組得）；(3)確定被積函數(shù)（上曲線-下曲線：）；(4)將面積用定積分表示（）；(5)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出結(jié)果分割型圖形面積的求解由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間位于上方和下方的曲線不同時(shí)，這種圖形的面積如何求呢？要將所求的曲面面積分割成幾個(gè)不分割圖形面積的形式求分割型圖形面積的一般步驟：（1）根據(jù)題意畫出圖

10、形；（2）先求出曲線的不同的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化；（3）確定相應(yīng)區(qū)間的被積函數(shù)（上曲線-下曲線）；（4）將各細(xì)分區(qū)間的不分割平面圖形的面積分別用定積分表示，則所求圖形面積表示為若干定積分和的形式；（5）利用微積分基本定理計(jì)算定積分得出結(jié)果簡單旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看作是由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體，如圓錐體、圓柱體、圓臺(tái)、球體等利用定積分也可以求出一些簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積，體積公式為【典型例題】類型一： 利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)切線問題例1若直線與曲線相切，試求的值【思路點(diǎn)撥】當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn).【解析】設(shè)與相切于則，又，由得：（），即，.【總結(jié)升華】當(dāng)切

11、點(diǎn)未知時(shí)，要先設(shè)切點(diǎn)，然后根據(jù)直線與曲線相切的三個(gè)關(guān)系列方程組，從而求得參數(shù)值.舉一反三：【變式】 已知曲線在處的切線恰好與拋物線相切，求拋物線方程和拋物線上的切點(diǎn)坐標(biāo)【答案】曲線上的切點(diǎn)為A(1,2).,切線方程為，即.設(shè)拋物線上的切點(diǎn)為,顯然拋物線上的切點(diǎn)在拋物線的上半支，拋物線上半支的方程為,則, ,得 (1)又點(diǎn)在切線上， （2）由(1)(2)求得，. 故拋物線方程為,切點(diǎn)為(2,8).類型二： 利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合 370878 例題3】例2.已知函數(shù)()= (0).()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間.【

12、思路點(diǎn)撥】()求出導(dǎo)數(shù)后，主要根據(jù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論.【解析】（I）當(dāng)時(shí)， 由于， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 即 （II），. 當(dāng)時(shí)，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)，由，得， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是【總結(jié)升華】（1）解決此類題目，關(guān)鍵是解不等式或，若中含有參數(shù)，須分類討論.（2）特別應(yīng)注意，在求解過程中應(yīng)先寫出函數(shù)的定義域.舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合 370878 例題1】【變式1】

13、函數(shù)的圖象大致是（ ） A B C D【答案】C首先易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，求導(dǎo)后解導(dǎo)數(shù)大于零可得周期性區(qū)間，從而排除B、D,故選C.【變式2】(2014江西)已知函數(shù)f(x)(x2bxb) (bR)(1)當(dāng)b4時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍【答案】 (1)當(dāng)b4時(shí)，f(x)(x24x+4)，則由f(x)0，得x2或x0當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，f(x)在(，2)上為減函數(shù)當(dāng)2x0時(shí)，f(x)0，f(x)在(2，0)上為增函數(shù)當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)上為減函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，f(x)取極小值為0當(dāng)x0時(shí)，f(x)取極大值為4；(2)由f

14、(x)(x2bx+b)，得：由f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，得f(x)0對(duì)任意x(0，)恒成立即5x23bx+2x0對(duì)任意x(0，)恒成立對(duì)任意x(0，)恒成立b的取值范圍是類型三：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值、最值的問題例3. 設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底，a為常數(shù)且），取極小值時(shí)，求x的值.【思路點(diǎn)撥】求導(dǎo)后可采用求根法求出極值點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)圖象討論增減性以確定極值.【解析】令（1），由表x（，2）2f(x)+00+f（x）極大值極小值取極小值.（2）無極值.（3）時(shí)，由表x（，）2f(x)+00+f（x）極大值極小值，.【總結(jié)升華】1. 導(dǎo)數(shù)式含參數(shù)時(shí)，如何討論參數(shù)范圍而確定到數(shù)值的正負(fù)是解決這類題的難

15、點(diǎn)，一般采用求根法和圖像法.2. 列表能比較清楚的看清極值點(diǎn).3. 寫結(jié)論時(shí)極值點(diǎn)和極大（小）值都要交代清楚.舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合 370878 例題2】【變式1】設(shè)函數(shù)則（ ）A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn). B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn).C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).【答案】D由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值；又，故選擇D.【變式2】(2015 安徽文)已知函數(shù)(1)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，求f(x)在(0，+)內(nèi)的極值。【答案】()由題意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的定

16、義域； f(x)的定義域?yàn)?-，-r)(-r，+)又又a0，r0令 令()由()可知 f(x)在(0，+)內(nèi)的極大值為F(x)在(0，+)內(nèi)無極小值；所以f(x)在(0，+)內(nèi)極大值為100，無極小值.【變式3】設(shè)函數(shù)，其中證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值【答案】因?yàn)?，所以的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增；如果在上單調(diào)遞減所以當(dāng)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令，得將（舍去），當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極小值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極大值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)

17、；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為例4. 求函數(shù)在上的最大值（其中）.【思路點(diǎn)撥】為了簡化運(yùn)算，可考慮換元：令.【解析】令，則求在（0，1上的最大值當(dāng)時(shí)，顯然在（0，1上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，令得：，易知時(shí)，為增函數(shù)時(shí)，為減函數(shù).于是若（此時(shí)），則在（0，1上為增函數(shù)，此時(shí).若（此時(shí)），則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以由以上討論知當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， .【總結(jié)升華】求含參函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題，首先要通過對(duì)參數(shù)分類討論，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其次要善于對(duì)極值和端點(diǎn)值進(jìn)行比較，此時(shí)往往需要繼續(xù)分類討論.舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合 37

18、0878 例題4】【變式】設(shè)a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x2a ln x1.【答案】（）根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）由知，的極小值于是由上表知，對(duì)一切，恒有從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)時(shí)，恒有類型四： 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題例5. 如圖所示，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，AB20 km，BC10 km為了處理三家工廠

19、的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)，且與A、B等距離的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO記排污管道的總長度為y km，設(shè)BAO(tad)，將y表示為的函數(shù)為如何確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短?【解析】 因?yàn)?，所以由得因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，這個(gè)極小值就是函數(shù)在上的最小值當(dāng)時(shí)，AOBO(km)因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B兩點(diǎn)的距離均為km時(shí)，鋪設(shè)的排污管道的總長度最短 【總結(jié)升華】本題的關(guān)鍵是在令得后一定要驗(yàn)證為極小值點(diǎn)舉一反三： 【變式】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司

20、交a元（3a5）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（9x11）時(shí)，一年的銷售量為(12x)2萬件 （1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）【答案】（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為： L=(x3a)(12x)2，x9，11（2）L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)·(18+2a3x) 令L=0得或x=12（不合題意，舍去）3a5， 在兩側(cè)L的值由正變負(fù)當(dāng)，即時(shí)， Lmax=(930)(129)2=9(6a)當(dāng)，即時(shí)，綜上，若，則

21、當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6a)（萬元）；若a5，則當(dāng)每件售價(jià)為（）元時(shí)，分分司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（萬元）類型五：定積分的計(jì)算例6. 計(jì)算下列各定積分：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路點(diǎn)撥】（1）中被積區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，被積函數(shù)是奇函數(shù)，故利用性質(zhì)4進(jìn)行計(jì)算較簡便；（2）、（3）用微積分基本定理計(jì)算；（4）被積函數(shù)是無理函數(shù)，利用定積分的幾何意義計(jì)算?！窘馕觥浚?）方法一：利用性質(zhì)直接計(jì)算：函數(shù)是奇函數(shù)，.方法二：直接計(jì)算.方法三：利用定積分的幾何意義：函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)函數(shù)y軸左側(cè)部分圖象與軸圍成的圖形面積為，軸右側(cè)部分圖象與軸

22、圍城的圖形面積為. 由正弦曲線的對(duì)稱性可知，=.（2），即，.（3）（4）函數(shù)表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的半圓上的一段弧，則表示這段弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為的扇形的面積.如圖中陰影部分所示：.【總結(jié)升華】計(jì)算定積分的方法有很多，各個(gè)方法有不同的特點(diǎn)，平時(shí)學(xué)習(xí)中注意總結(jié)規(guī)律，以期選擇最適合、最容易計(jì)算的方法.除了我們介紹的四種方法之外，還有還原法、分部積分法等等計(jì)算定積分的方法，可用于被積函數(shù)較復(fù)雜的情況。因?yàn)槌隽丝季V范圍，因此在教材與教學(xué)中不作介紹，有興趣的同學(xué)可以通過課外學(xué)習(xí).舉一反三：【變式1】計(jì)算下來定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】9/2（1）是奇函數(shù)，.（2）.（3

23、）.（4），函數(shù)是偶函數(shù)，所以，利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)可知，表示圓在第一象限的扇形的面積，為，如圖所示。所以.是奇函數(shù)，所以。所以.【變式2】計(jì)算的值?！敬鸢浮?，.【變式2】計(jì)算，其中【答案】.類型六：利用定積分求平面圖形的面積例7. 計(jì)算由曲線及直線所圍成的平面圖形的面積?！舅悸伏c(diǎn)撥】畫出圖象，確定被積函數(shù)與積分上、下限，將面積轉(zhuǎn)化為定積分的形式，利用微積分基本定理正確的計(jì)算出結(jié)果.【解析】第一步：根據(jù)題意畫出圖形：第二步：找出范圍，確定積分上、下限：聯(lián)立 解得 或所以曲線及直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）和（1，1）.則取為積分變量，積分區(qū)間為0，1.第三步：確定被積函數(shù)：被積函數(shù)為：.第四步：將面

24、積用定積分表示，并計(jì)算：設(shè)所求平面圖形的面積S，則.【總結(jié)升華】利用定積分求不分割平面圖形的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)，將面積正確的用定積分表示，然后計(jì)算即可.舉一反三：【變式1】求由拋物線與直線所圍成圖形的面積【答案】如圖，聯(lián)立 解得或拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，5)和(2，0)取為積分變量，積分區(qū)間為：0，1，被積函數(shù)為：.設(shè)所求圖形的面積為S，則【變式2】求橢圓所圍圖形的面積?！敬鸢浮繖E圓的大致圖形如圖所示：由于橢圓是中心對(duì)稱圖形，所以橢圓所圍圖形的面積（設(shè)為S）是橢圓在第一象限內(nèi)面積（設(shè)為）的4倍.在第一象限，橢圓方程可變形為：，所以.根據(jù)定積分的幾何意義求的值。表示圓的面積，如圖：，.所以，橢圓所圍圖形的面積是.【變式3】求拋物線在（0，1）內(nèi)的一條切線，使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小. 【答案】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.則該點(diǎn)處的切線方程為，則該切線與軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.所以，面積，下面用導(dǎo)數(shù)來求其最小值。，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，是在（0，1）上的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，此時(shí)，切線方程為.例8.求由曲線，及直線，所圍成圖形的面積【思路點(diǎn)撥