2012年考研數(shù)學(xué)三真題及答案

1、2012年考研數(shù)學(xué)三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。）(1) 曲線y=x2+xx2-1漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。【解析】由limx+y=limx+x2+xx2-1=1=limx-y=limx-x2+xx2-1,得y=1是曲線的一條水平漸近線且曲線沒有斜漸近線；由limx1y=limx1x2+xx2-1=得x=1是曲線的一條垂直漸近線；由limx-1y=limx-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲線的漸近線；綜上所述，本題正確答案是C【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸、拐點

2、及漸近線(2) 設(shè)函數(shù)fx=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n為正整數(shù)，則f0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)(enx-n),則fx=(ex-1)gxf(x)=exgx+(ex-1)gx f0=g0=-1-2(-(n-1) =-1n-1n-1! 故應(yīng)選A. 【方法2】 由于f0=0,由導(dǎo)數(shù)定義知 f0=limx0f(x)x=limx0(ex-1)(e2x-2)(enx-n)x =limx0(ex-1)xlimx0(e2x-2)(enx-n) =-1-2-n-1=-1n-1n

3、-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,則 fx=(ex-1)(e2x-2)fx=exe2x-2+2e2x(ex-1) f0=1-2=-1 則(B)(C)(D)均不正確 綜上所述，本題正確答案是(A) 【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念(3) 設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二次積分02d2cos2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B?！窘馕觥苛顇=rcos ,y=

4、rsin ,則r=2所對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4,r=2cos 所對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1。由02d2cos2f(r2)rdr的積分區(qū)域2cosr2,02得在直角坐標(biāo)下的表示為2x-x2y4-x2, 0x2所以02d2cos2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy綜上所述，本題正確答案是(B)。【考點】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算(4) 已知級數(shù)n=1(-1)nnsin1n絕對收斂，級數(shù)n=1(-1)nn2-條件收斂，則(A)012 (B) 121(C)132 (D) 321,即32由級數(shù)n=1(-1)nn2-條件收

5、斂，知2綜上所述，本題正確答案是(D)【考點】高等數(shù)學(xué)無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)斂散性的判定(5) 設(shè)1=00c1,2=01c2,3=1-1c3,4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為(A) 1,2,3 (B) 1,2,4(C) 1,3,4 (D) 2,3,4【答案】C?！窘馕觥縩個n維向量相關(guān)1,2,n=0顯然 1,3,4=01-10-11c1c3c4=0所以1,3,4必線性相關(guān)綜上所述，本題正確答案是(C)?！究键c】線性代數(shù)向量向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)(6) 設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P-1AP=100010002.若P=1,2,3,Q=(1+2,

6、2,3),則Q-1AQ=(A) 100020001 (B)100010002(C) 200010002 (D)200020001【答案】B。【解析】由于P經(jīng)列變換(把第2列加至第1列)為Q，有Q=P100110001=PE21(1)那么Q-1AQ=PE21(1)-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1)綜上所述，本題正確答案是(B)?！究键c】線性代數(shù)矩陣矩陣運(yùn)算、初等變換(7) 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨立，且都服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，則PX+Y21=(A) 14 (B) 12(C) 8 (D) 4【答案】D?！窘馕觥縋X2+Y21=x2+y21 f(x,y)dxdy而f

7、x,y=fXxfYy=1,0x1,0y1,0, 其他即fx,y是在正方形0x1,0y0)的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計量X1-X2X3+X4-2的分布為(A)N0,1 (B)t(1)(C)2(1) (D)F(1,1)【答案】B?！窘馕觥?， X1-X2N0,22，故X1-X22N0,1；2， X3+X4-2N0,22，故X3+X4-22N0,1，(X3+X4-22)22(1), (X3+X4-22)2/1=X3+X4-223， X1-X2與X3+X4-2相互獨立。X1-X22與(X3+X4-22)2也相互獨立， 所以X1-X22X3+X4-22=X1-X2X3+X4-2t(1)綜上所述，本題正確答案是

8、B?！究键c】概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的概念二、填空題（914小題，每小題4分，共24分。）(9) limx4(tanx)1cosx-sinx= ?！敬鸢浮縠-2?！窘馕觥窟@是一個1型極限，由于(tanx)1cosx-sinx=1+(tanx-1)1cosx-sinxlimx4tanx-1cosx-sinx=limx4tanx-1cosx(1-tanx)=limx4-1cosx=-2所以limx4(tanx)1cosx-sinx=e-2【考點】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)兩個重要極限(10) 設(shè)函數(shù)fx=lnx, &x12x-1, &x1,y=ffx,則dydxx=e= 。【答案】1e【解析】y=f

9、fx可看做y=fu,與u= fx的復(fù)合，當(dāng)x=e時u= fe=lne=12lne=12由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知dydxx=e=f12fe=212xx=e=1e【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念(11) 設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)滿足limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,則dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)連續(xù)，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2), (x0y1) 由可微的定義得 fx0,1=2,fy0,1=-1,即 dz(

10、0,1)=fx0,1dx+fy0,1dy=2dx-dy 【考點】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算(12) 由曲線y=4x和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為 ?！敬鸢浮?ln2【解析】y y=4x y=x y=4xO 1 2 x曲線y=4x和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面域如下圖，則所圍面積為S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(13) 設(shè)A為3階矩陣，A=3，A*為A的伴隨矩陣。若交換A的第1行與第2行得到矩陣B，則BA*= 。【答案】-27【解析】【方法1】兩行互換兩列互換A變成B，

11、所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，則BA*=B|A*=-AA2=-27 【方法2】根據(jù)題意 010100001A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 從而BA*=3E12=33E12=-27 【考點】線性代數(shù)行列式行列式的概念和基本性質(zhì) 線性代數(shù)矩陣伴隨矩陣，矩陣的初等變換(14) 設(shè)A,B,C是隨機(jī)事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,則PABC= ?！敬鸢浮?4【解析】A,C互不相容，自然有CA,當(dāng)然更有CAB，所以PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機(jī)事件和概率事件的關(guān)系與

12、運(yùn)算，概率的基本公式，事件的獨立性三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15) 求極限limx0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等價無窮小代換) =limx02x-2sinx4x3 (洛必達(dá)法則) =12limx01-cosx3x2=16limx012x2x2=112【方法2】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0

13、x2-2+2cosxx4 (等價無窮小代換) =limx0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4)x4 (泰勒公式) =limx0112x4+o(x4)x4=112【方法3】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e(x2-2+2cosx)x4 (拉格朗日中值定理) =limx0x2-2+2cosxx4 =limx02x-2sinx4x3 (洛必達(dá)法則) =12limx016x3x3 (x-sinx16x3) =112 【考點】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算 高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微分中值定理，洛必達(dá)(LHospital)法則(16)

14、計算二重積分D exxydxdy,其中D是以曲線y=x,y=1x及y軸為邊界的無界區(qū)域?！窘馕觥緿 exxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算(17) 某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品投入的固定成本為10000（萬元）。設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是x(件)和y（件），且這兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為20+x2(萬元/件)與6+y(萬元/件).(

15、I) 求生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(x,y)(萬元)；(II) 當(dāng)總產(chǎn)量為50件時，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時可使總成本最??？求最小成本；(III) 求總產(chǎn)量為50件且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋經(jīng)濟(jì)意義?！窘馕觥?I) 總成本函數(shù) Cx,y=10000+20x+x24+6y+y22 （萬元）(II) 由題意知，求Cx,y在x+y=50時的最小值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)Fx,y,=Cx,y+x+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+x+y-50解方程組Fx=20+x2+=0,Fy=6+y+=0,x+y-50=0. 得x=24,y=26.因可能極值點唯一，且實際問題存在

16、最小值，故總產(chǎn)量為50件時，甲乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是24,26時可使總成本最小，且此時投入總費(fèi)用Cminx,y=10000+2024+2424+626+2622=11118(萬元)(III) 甲產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)：Cx,y=20+x2,于是，當(dāng)總產(chǎn)量為50件且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本Cx,y=20+242=32其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)甲乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是24,26時，若甲的產(chǎn)量每增加一件，則總成本增加32萬元。(18) 證明：xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1x1)【解析】【方法1】記fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22,則fx=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx

17、-x,f(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx當(dāng)-1x0,從而f(x)單調(diào)增加。又因為f0=0，所以，當(dāng)-1x0時，fx0; 當(dāng)0x0，于是f0=0是函數(shù)fx在(-1,1)內(nèi)的最小值。從而當(dāng)-1x1時，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1x1)【方法2】記fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22, (-1x0 2x1-x22x=x+xx+sinx從而有fx0，x(-1,1)有f0=0則當(dāng)-1x1時，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1x1)【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性的判別，

18、函數(shù)的極值(19) 已知函數(shù)fx滿足方程fx+fx-2fx=0及fx+fx=2ex (I) 求fx的表達(dá)式；(II) 求曲線y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐點?！窘馕觥?I) 聯(lián)立fx+fx-2fx=0,fx+fx=2ex,得fx-3fx=-2ex,因此fx=e3dx-2exe-3dx+C=ex+Ce3x 代入fx+fx=2ex，得C=0,所以fx=ex(II) y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dty=2xex20xe-t2dt+1y=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt當(dāng)x0時，y0時，y0,又y0=0,所以曲線的拐點為(0,0)【考點】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)

19、和微分的概念，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(20) 設(shè)A=1a0001a0001aa001,=1-100.(I) 計算行列式|A|；(II) 當(dāng)實數(shù)a為何值時，方程組Ax= 有無窮多解，并求其通解?！窘馕觥?I) 按第一列展開A=11a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4,(II) 當(dāng)A=0時，方程組Ax= 有無窮多解，由上可知a=1或-1如果a=1rA=3,rA=4,方程組無解，舍去當(dāng)a=-1時，1-10001-10001-1-10011-1001-10001-10001-10-1011-1011-10001-10001-100-

20、111-1001-10001-10001-100001-100rA=3=rA，方程組有無窮多解，取x4為自由變量，得方程組通解為(0,-1,0,0)T+k(1,1,1,1)T, k為任意常數(shù)【考點】線性代數(shù)線性方程組線性方程組有解和無解的判定，非齊次線性方程組的通解(21) 已知A=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩為2(I) 求實數(shù)a的值；(II) 求正交變換x=Qy將f化為標(biāo)準(zhǔn)形?！窘馕觥?I) 因為rATA=r(A),對A做初等行變換A=101011-10a0a-110101100a+10a0, 所以，當(dāng)a=-1時，rA=2(II) 由于a=-1

21、，所以ATA=202022224，矩陣ATA的特征多項式為E-ATA=-20-20-2-2-2-2-4=(-2)(-6)，于是ATA的特征值為1=2，2=6，3=0當(dāng)1=2時，由方程組2E-ATAx=0,可得到屬于1=2的一個單位特征向量12(1,-1,0)T；當(dāng)2=6時，由方程組6E-ATAx=0,可得到屬于2=6的一個單位特征向量16(1,1,2)T；當(dāng)3=0時，由方程組0E-ATAx=0,可得到屬于3=0的一個單位特征向量13(1,1,-1)T。令Q=121613-121613026-13,則f在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y=2y12+6y23【考點】線性代數(shù)矩陣矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)線性代數(shù)二次型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(22) 設(shè)二維