最新高中數(shù)學23個經(jīng)典不等式歸納匯總(解析版)

1、最新高中數(shù)學23 個經(jīng)典不等式歸納匯總1111 證明： 1+ 22 .2 2 ；23 n2 若：a3 b3 2，求證：a b 2 ；3 若： n N ，求證：111.11 ；2 n 1 n 2 2n4 若： a,b 0，且 ab a b 3，求： a b的取值范圍；5 若： a,b,c是 ABC 的三邊，求證：ac ；1a1b1c1111116 當 n 2時，求證：22 .2 1；2 n 1 22 32n2n7 若 x R，求yx2 x 1x2 x 1 的值域 ；8 求函數(shù) y 3 s i n 的最大值和最小值；2 cos22299 若 a,b ,c0，求證：；ab bcca abc10 若

2、a,b,c R，且 a2 b2 c2 25，試求：a 2b 2c的取值范圍11 若 a, b, c R ，且 2a b 2c 6 ，求 a2 b2 c2 的最小值22212 若 a,b,c R，且 (a 1) (b 2) (c 3)1 ，求 a b c的最大值和最小值；165413 若 a, b,c 0 ， x, y, z 0 ，且滿足a2 b2 c225， x2 y2 z2 36 ，abcax by cz 30 ，求：的值；xyzn1514 求證：2；k 1 k231n15 當 n 2時，求證：2 (1 1 )n 3；n16求證：1131352 24 2461 3 5 . (2n 1)2n

3、1 ；2 4 6 . (2n)17求證：2( n 1 1) 11123 . n2( 2n 1 1) ；x18 已知： x 0 ,求證：ln(1 x ) x ；1x1111119、 已知： n N ，求證：.ln(1 x) 1.；23n12n20、 已知： n 2，求證：2n n(n 1) ；21、 已知： n N ，求證：1 11 .n1n ；2 32n 1 222、 設(shè)：Sn1 22 3 . n(n 1) ，求證：n(n 1) 2Sn(n 1)2 ；11123、 已知： n N ，求證：1.2 .【解答】1. 證明：1、證明：111+22 32122nn 1 n 2 3n 1n1 n1 n

4、1n 1112 12 11112.k 1 k k 2 k k 2k(k 1) k 2 k 1 kn從第二項開始放縮后，進行裂項求和另：本題也可以采用積分法證明.構(gòu)建函數(shù)：f (x)1 ，則 f (x)在 x R 區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).n 1 (1 1) 2 1 21 n1 nx2n 1 n 1 n11于是：2 12 12 dx 1k 1 k2 k 2k21 x2x從第二項開始用積分，當函數(shù)是減函數(shù)時，積分項大于求和項時，積分限為1,n；積分項小于求和項時，積分限為2, n 1 .2. 若：a3 b3 2，求證：a b 2；2、證明：a3 b3(a b)(a2 b2 ab) ab(a b)，即：a

5、b(a b) 2則：3ab(ab)6， a3 b3 3ab( ab) 8，即： (a b)38，即： a b 2.立方和公式以及均值不等式配合.另：本題也可以采用琴生不等式證明.構(gòu)建函數(shù)：f (x) x3，則在在x R 區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，且是下凸函數(shù).對于此類函數(shù)，琴生不等式表述為：函數(shù)值得平均值不小于平均值的函數(shù)值f(x ) f(x ) f (x ) x x x x x . x x x . x即：f(x1) f(x2) . f (xn)f (x1 x2 . xn)a3 b3a b22對于本題：f(a) f (b) f (a b)22即： a b 3 a3 b3 2 1 ，即： a b 1

6、，即： a b 2 2222琴生不等式可秒此題.3. 若： n N ，求證：111. 11；2 n 1 n 2 2n1114. 由：n n n k n (k 1,2,., n) 得：，2n n k nn 1 n 1 n1則： 111 ， 即：k12n k 1 n k k1 nn12n n 1n21nnn n1111故：.1 .2 n 1 n 2 2n從一開始就放縮，然后求和.另：本題也可以采用不等式性質(zhì)證明.所證不等式中的任何一項如第k 項，均滿足111 ，當有 n 項累加時，2n n k n不等式兩個邊界項乘以n 倍，則不等式依然成立.即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍 .111另外

7、，. 的最大值是ln 2 0.693147. ，本題有些松.n 1 n 2 2n4 .若：a,b 0，且 ab a b 3，求：a b的取值范圍；4、解：(a b)2 a2 b2 2ab 4ab 4(a b 3) 4(a b) 12，令： t a b ，則上式為：t2 4t 12 0. 解之得：t 6.abc1a1b1c均值不等式和二次不等式.5 . 若： a,b,c是 ABC 的三邊，求證：5、證明：構(gòu)造函數(shù)f (x) x ，則在 x 0時， f(x) 為增函數(shù).1x所以，對于三角形來說，兩邊之和大于第三邊，即：a b c，那么， f (a b) f (c) ，即：a b c .1ab 1c

8、a b ab ab c.1a1b 1ab1ab1ab1c構(gòu)造函數(shù)法，利用單調(diào)性，再放縮，得到結(jié)果.另： 不等式的入門證法就是“作差法 ”和 “作商法 ” . 作差法 “ ”即兩項相減得差與0比較； 作商法 ”即同號兩項相除得商與1 比較 .本題亦可以采用6. 當 n 2 時，求證：6. 證明：當n 2時，都擴大 n 倍得：作差法 ”.111122 .2 n 1 2232n 1 n n 1，2n(n 1) n n(n 1)，1121；nn111取倒數(shù)得：1121，n(n 1) n n(n 1)裂項：求和：111112，n1 n n n n1n 11 n1 n11()2()，k2 k 1 k k2

9、k2 k2 k k 11 11212.1211n 22 32 n22 n 1先放縮，裂項求和，再放縮.另：本題也可以采用積分證明.構(gòu)建函數(shù)：f (x)x2f (x) 在 x R 區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).kk 1 12dx f (k)x21 1 dxx2k11k2k111k1k1k211kk1本式實際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項式后面的證法同前.7、若x R，求yx2 x 1x2 x 1 的值域 ；7、解：yx2 x 1x2 x 1 x 1324x 12 234設(shè)：m (x 21, 23)， n (x 12, 23)，則：x 12 234n x 12 234 ， m n (1,0)代入向量

10、不等式：m n m n 得：y m n m n 1 ，故：1 y 1 .這回用絕對值不等式.本題另解.求函數(shù) yx2 x 1x2 x 1 的極值，從而得到不等式.求導得：y '2x 12x 12 x2x 1 2 x2 x 10則： x ，故函數(shù)yx2 x 1x2 x 1 的極值出現(xiàn)在x .yx2 x 1x2 x 12xx 0,).x (,0) ，2y x2 x 1x2 x 12xx x1 x x1ymxlim ()1故： y ( 1,1).8、求函數(shù)y 3sin 的最大值和最小值；2 cos8、解：將函數(shù)稍作變形為：y 3 0 ( sin )3 yMyN2 cosxMxN設(shè)點 M (x

11、M ,yM ) ，點N (xN, yN )，則 M (2,0) ， N (cos , sin )，而點 N 在單位圓上，y 就是一條直線的斜率，是過點M 和圓上點N 直線斜率的 3 倍，關(guān)鍵是直線過圓上的N 點 .直線與單位圓的交點的縱坐標范圍就是： 1 y 1 .故y 的最大值是1，最小值是-1.原本要計算一番，這用分析法，免計算了.另：如果要計算.先變形：y 3sin 變形為：2y ycos 3sin 3sin ycos ；2 cos2y 3 y2( sin y cos )3 y2 sin( ) ；3 y23 y22y sin( )，即：13 y22y sin( ) 1 ；3 y2即： 4

12、y 2 1 ，即：4y2 3 y2，即：y2 1，即：1 y 13y如果要計算，需要用到輔助角公式.22299、若a,b,c 0，求證：abbcca abc9、證明：由柯西不等式：1ab11bccaab bc caa1b b1c c1a2a b c 32 9222abbcca abc柯西不等式.本題也可以采用排序不等式證明.首先將不等式變形：a b c a b c a b c 9 ；ab bc ca 23 c a b 9 ，即：abbcca 2c a b3ab bcca 2由于對稱性，不妨設(shè)：a b c，則： a b a c b c；即： 111 .bc ac ab有排序不等式得：最新高中數(shù)學

13、23 個經(jīng)典不等式歸納匯總正序和abcabc亂序和；bcacab acabbc正序和abcabc亂序和；bcacab abbcac上兩式相加得：2 a b c a b b c a c 3bcacab abbcac即： c a b 3 證畢 .ab bc ca 2排序不等式.10、若a,b,c R，且a2 b2 c2 25，試求：a 2b 2c的取值范圍；10、解：柯西不等式：122 2 22 a2 b2 c2 a 2b 2c 2；2即： 9 25 a 2b 2c ，故： a 2b 2c 15；所以： 15 a 2b 2c 15 .柯西不等式.另：本題亦可采用求極值的方法證明.構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：

14、L (a, b, c) a 2b 2c 1 (a2 b2 c2 25)由在極值點的導數(shù)為0 得：L 1 2a 0，則：2a，即： a ；a2L2 2b 0，則：b，即：b；aL 2 2b 0 ，則：c ，即：c .a代入 a2 b2 c2 25得：103極值點為：a5 ， b 10 ， c 102333則： y a 2b 2c15，即：15 a 2b 2c 15m11、若 a,b,c R，且 2a b 2c 6 ，求a2 b2 c2 的最小值；11、解：設(shè)：m (2, 1, 2) ， n (x , y, z) ，則：m222 ( 1)2(2)2 9； n2 a2b2 c2；m n2a b 2c

15、；代入m n m n得：9a2b2c2 2ab 2c 236；.222222222( 1)2( 2)2(a2b2c2)(2a b 2c)2，即：(a2 b2 c2) 22(2a( 1b)2 2(c)22)2 692 4用拉格朗日乘數(shù)法也行.構(gòu)建拉氏函數(shù)：L(a, b,c) a2 b2 c2(2a b 2c 6)在極值點的導數(shù)為0，即：L2a 20，即：a；aL2b 0，即：2b；bL2c 20 ，即：c .c4代入 2a b 2c 6 得：43424則： a ， b ， c333故：a2b2c242224 2363339求極值時，要判斷是極大值還是極小值，只需用賦值法代一下12、若a,b,c

16、R，且 (a 1)2 (b 2)2 (c 3)21 ，求 a b c的最大值和最小值；165412、解：柯西不等式：425 2 22a412 b522 c2322a1 b2 c3225 1 a b c 2 ；故：5 a b c 25；于是： 3 a b c 7 .柯西不等式.另：本題也可以采用換元法求解.有人說：(a 1)2(b 2)2(c 3)2 1 是一個橢球面，沒錯. 它是一個不等軸的橢球. 它1654A 4， B 5， C 2設(shè)： x a 1 ， y b 2， z c 3，則這個橢球的方程為：x2y2z2A2B2C2現(xiàn)在來求a b c 的最大值和最小值.采用三角換元法：令： x Asi

17、n cos ， y B sin sin ， z C cos代入方程 檢驗，可知它滿足方程.采用輔助角公式化簡：f x y z Asin cos B sin sin C cos4sin cos 5sin sin 2cos425 sin (4 cos 5 sin ) 2cos42 542 5425 sin( )sin 2cos22 21sin( )221sin 2 () 22sincos 21sin 2 () 2221sin 2() 2221sin 2 () 22sin( )故： f x y z的峰值是：sin2() 1 時， f 21sin 2 () 2221 22 5m5xyz5而 x y z

18、 a 1 b 2 c 3 a b c 2，故： 5 a b c 2 5 ，即：3 a b c 7 .30 ，13、若a, b,c 0 ， x, y, z 0，且滿足a2b2c225 ，x2y2z236，ax by cz求： a b c 的值 ；xyz213、解：本題滿足：a2 b2 c2 x2 y2 z2ax by cz即柯西不等式中等號成立的條件.abc故有：0 ，即： ax， b y， c z.xyz2222222 2222 abc25則： a b c (x y z )；即：222，即：xy z36a b c abc 5故：x yzxyz6柯西不等式中等號成立.n14、求證：152k1k2

19、314、證明：n12k1kn1121k 2k2n42 k 2 4k2n1k244k2 112k 2 2k 112k 1121112153 2n 13 3注意變形為不等式的方法，雖然仍是放縮法.另：本題也可以采用積分法證明.構(gòu)建函數(shù)：f(x) 1 ，則 f (x)在 x R 區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).x2n1121k1k1 n111k3k5 n 15 n1222dx24 k 3k243 x25 1 n 51 115 4 1 19 20 54 x3 4 n 312 n 12 12 3115、當n 2 時，求證：2 (1 1 )n 3 ；n15、證明： 由二項式定理得：1n nk11121n1111Cn

20、k 1CnCn2 . Cn n 1Cn2n k0 nn nnn 由二項式定理得：1n n1 11Cnknk11 n n! 1k1kn k 1 k!(n k)! nn1k11 n!k! (n k)! nk1 n 1 n (n 1) (n 2) . (n k 1)1 n 11 1 n 1k1 k! n n nnk 1 k!k2k!n1 n 1n 111222213k 2 k! k 2 k(k 1) k 2 k 1 kn1本題 由二項式中，保留前兩項進行放縮得到：(1 1 )n 2；n本題 由二項式中，分子由從n 開始的 k 個遞減數(shù)連乘，分母由k 個 n 連乘，得到的分數(shù)必定小于1. 于是得到：(

21、1 1 )n3 .n另：本題也可以利用函數(shù)的基本性質(zhì)證明.構(gòu)建函數(shù)：f (x)1 1 ，則在 x 1 時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).x故：在 x 2時， f (x) f (1) (1 1)12利用基本不等式：ln(1 x) x，即：1 xex11則： f (x)111 y y(ey) y e 3.本方法需要運用ln(1 x) x，該不等式成立的條件是：x 0 .16、求證：113135 . 135.(2n 1) 2n 1 ；2 2 4 2 4 62 4 6 . (2n)222n 1 2n16、證明：2n 2n 1 (2n 1)(2n 1)，故：2n 1 2n2n 2n 1令：Sn 1 3 5 . (

22、2n 1)， Tn 2 4 6 .(2n)；n 2 4 6(2n) n 3 5 7(2n 1)則：SnTn，246357(2n)1(2n 1) 2n 11 3 5(2n 1).2 4 6(2n)1故：Snn 2n 11即：( 2n 1 2n 1)，2n 1故：代入 式得：Sn2n 1 2n 1nn則：原式=S1 S2 . SnSk( 2k 1 2k 1) 2n 1 1 2n 1k1k1本題的關(guān)鍵在于把根式或其他式子換成兩個相鄰的根式差，然后利用求和來消去中間部分，只剩兩頭.17、求證： 2( n 1 1) 111.12( 2n 1 1) ；23 n17、證明：由2 n n 1 n 得：12n

23、n1 n2 n1 n；n1n2( k 1 k) 2( n 1 1)k1 kk12222228n2 18n2 11 8n2 8n2 2得： 8n2 18n2 8n2 22 4n2 4n2 12 2n(2 n 1) 2n(2n 1)即：8n2 2 2n(2n 1) 2n(2 n 1) 1，即： 2n(2n 1) 2n(2n 1) 2 2n(2n 1) 2n(2n 1) 1， 2即： 2n(2n 1)2n(2n 1)1，即： 2n 2n 1 2n 11故： 12 2n 1 2n 1 ，nn多項求和：12 2k 1 2k 12 2n 1 1k1 kk1由 ，本題得證.本題還是采用級數(shù)求和的放縮法.x1

24、8、 已知： x 0 ,求證：ln(1 x ) x ;1x18、證明：(1)構(gòu)造函數(shù)：f(x) x ln(1 x) ，則：f(0) 0.1當 x 0時，函數(shù)的導數(shù)為：f '(x) 110，1xx 0 時，函數(shù)f ( x) 為增函數(shù). 即： f ( x) f (0) 0；故： f ( x) x ln(1 x) 0 ，即： ln(1 x) x .(2) 構(gòu)造函數(shù)：g(x) ln(1 x) x ，則： g (0) 0.1x當 x 0時，其導數(shù)為：g '(x)11 x 2 x 2 0 .1x 1x 1x 1x即當 x 0時，函數(shù)g(x)為增函數(shù). 即： g(x) g(0) 0；xx故：

25、 g (x ) ln(1 x)0 ，即：ln(1 x) .1x1x由 (1)和 (2)，本題證畢.本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)單調(diào)性來證題.1111119、 已知： n N ，求證：.ln(1 x) 1.；23n12n119、證明：先構(gòu)造函數(shù)：f ( x) 1 ，在函數(shù)圖象上分別取三點A,B,C，x111即： A(k, ), B(k 1,),C(k 1,),kk1k1我們來看一下這幾個圖形的面積關(guān)系：SAEFCSAEFHSAEDGSAEDB ；k11k 1即：dx f (k) 1 dx ；k xk1xk1k即： ln x f (k) ln x ； kk11即： ln( k 1) ln k ln

26、 k ln( k 1) ； k1(1) ln(k 1) ln kknn111求和：(ln( k 1) ln k)1.；k1k1k2n11即： ln( n 1) 1.；2n1(2) ln k ln( k 1) 求和： ； kn11111即：.ln(n 1);k2k 23 n 1(1)和(2)證畢.最新高中數(shù)學23 個經(jīng)典不等式歸納匯總111n1n23n 1本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)的面積積分來證題20n 2 時，求證：2nn(n 1) ；20證明：當2 r n 1 時，CnrC1nn .2n (1 1)nCnkk0n1Cnk k1n1n n(n 1)k1證畢 .本題利用二項式定理進行放縮得證.2111n N ，求證：12312n 12111證明：設(shè)：Sn 1 11232n 11111111Sn1 ( ) () () . (n 23456782n1n1n 1 12n 1211nn2n 1 2n2n2n11111 (12)(12) (21) .(21)2n1n1n22n n2(121n )n2111111111111 ( ) ( 22) ( 3333) .