動力學(xué)的臨界和極值問題

1、動力學(xué)的臨界和極值問題教學(xué)目標：教學(xué)重點、難點：新課引入：教學(xué)過程：一、臨界和極值在應(yīng)用牛頓定律解決動力學(xué)問題中，當物體運動的加速度不同時，物體 有可能處于不同的狀態(tài)，特別是題目中出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”等詞語 時，往往會有臨界現(xiàn)象。此時要采用極限分析法，看物體在不同加速度時，會 有哪些現(xiàn)象發(fā)生，盡快找出臨界點，求出臨界條件。在某些物理情境中，物體運動狀態(tài)變化的過程中，由于條件的變化，會 出現(xiàn)兩種狀態(tài)的銜接，兩種現(xiàn)象的分界，同時使某個物理量在特定狀態(tài)時，具 有最大值或最小值。這類問題稱為臨界問題。在解決臨界問題時，進行正確的 受力分析和運動分析，找出臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵。1、相互接觸的

2、物體，它們分離的臨界條件是：它們之間的彈力N 0，而且此時它們的速度相等，加速度相同?！纠咳鐖D，在豎直立在水平面的輕彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計的薄板， 將薄板上放一重物，并用手將重物往下壓，然后突然將手撤去，重物即被彈射 出去，則在彈射過程中，（即重物與彈簧脫離之前），重物的運動情況是（）A、一直加速B、先減速，后加速.fC、先加速、后減速D勻加速答案：C 【例】如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直固定在水平面上，上端固定一質(zhì)量為m。的托盤，托盤上有一個質(zhì)量為m的木塊。用豎直向下的力將原長為I。的彈簧壓縮后突然撤去外力，則 m即將脫離m0時的彈簧長度為（）A 、I。 BIom。mgkC、I。mg

3、kD 、I。mgk答案：A 【例】如圖所示，一細線的一端固定于傾角為 45的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質(zhì)量為 m的小球。當滑塊至少以加速度a 向 左運動時，小球?qū)瑝K的壓力等于零。當滑塊以 a加速度向左運動時，線的拉力大小 F 。答案：g、 5mg【例】一個質(zhì)量為0.2kg的小球用細線吊在傾角53的斜面頂端，如圖,斜面靜止時，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，不計摩擦，當斜面以10m/s2的加速度向右做加速運動時，求繩的拉力及斜面對小球的彈力答案：2.83N、0【例】如圖所示，在傾角為 的光滑斜面上有兩個用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊 A、 B。它們的質(zhì)量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數(shù)為

4、k , C為一固定擋板。系統(tǒng) 處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運動，求物塊B 剛要離開C時物塊A的加速度a和從開始到此時物塊A的位移d，重力加速度為答案：aFmA mB gsinmAmA mB gsln。k【例】如圖所示，一根勁度系數(shù)為 k質(zhì)量不計的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體A。手持一質(zhì)量為M的木板B，向上托A，使彈簧處于自然長度。現(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度 a（ a g ）勻加速向下運動，求：（1）經(jīng)過多長時間A、B分離。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值答案:t豐a；最大：F M m g a ;最?。篎 mg a。解：分離時彈力為0,而且加速度為

5、a ;開始運動時力最大:對系統(tǒng)：M mg F M m a ；AB分離時力最?。簩?B : mg F ma【例】如圖所示，木塊 A、B的質(zhì)量分別為mi、m2，緊挨著并排放在光 滑的水平面上，A與B間的接觸面垂直于圖中紙面且與水平面成角，A與B間的接觸面光滑。現(xiàn)施加一個水平力F作用于A，使A、B一起向右運動且A、B 一不發(fā)生相對運動，求F的最大值。m2【例】如圖所示，一質(zhì)量為 m的物塊A與直立輕彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，一質(zhì)量也為 m的物塊B疊放在A的上面，A、B處于靜止狀態(tài)。若A、B粘連在一起，用一豎直向上的拉力緩慢上提B，當拉力的大小為0.5mg時，A物塊上升的高度為L,此過程中

6、，該拉力做功為W ；若A、B不 粘連，用一豎直向上的恒力F作用在B上，當A物塊上升的高度也為L時，A與B恰好分離。重力加速度為g，不計空氣阻力，求恒力F的大小。答案：1.5mg解：靜止時，對AB :2mg粘連時，緩慢地提：對 AB: F k x L 2mg;又 F 0.5mg不粘連，分離時：N 0 ;對 B : F mg ma ；對 A: k x L mg ma ；由以上各式可得：F 1.5mg?！纠咳鐖D所示，質(zhì)量 m 10kg的小球掛在傾角為37的光滑斜面的固定鐵桿上，當小球與斜面一起向右以：（重力加速度為g 10m/s2）（1）ai 0.5g時，繩子拉力和斜面的彈力大小；（2）a2 2g

7、時，繩子拉力和斜面的彈力大小。2、繩子的張緊和松馳也會存在著臨界問題，此時繩子的張力：T 0?！纠咳缦聢D所示，兩繩系一個質(zhì)量為m 0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長L 2m,兩繩都拉直時與軸夾角分別為 30和45。問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊?B1J1【例】如圖所示，兩細繩與水平的車頂面的夾角為 60和30，物體的質(zhì) 量為m。當小車以大小為2g的加速度向右勻加速運動時，繩1和繩2的張力大 小分別為多少？,答案：0 5mg3、由運動情況造成的臨界和極值問題，此時題目中將會出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”、“恰好”等詞語?！纠课矬wA的質(zhì)量M 1kg，靜止

8、在光滑水平面上的平板車 B的質(zhì)量為m 0.5kg、長L 1m。某時刻A以v。4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的拉力。忽略物體 A的大小,已知A與B之間的動摩擦因數(shù)0.2，取重力加速度g 10m/s2。試求:A（1）若F 5N，物體A在小車上運 動時相對小車滑行的最大距離；（2）如果要使A不至于從B上滑落， 拉力F大小應(yīng)滿足的條件。答案：0.5m :1N F 3N解：由牛頓第二定律：對 A: Mg Ma1 ；對 B : F Mg ma2;此后，物體A將做減速運動，而B將加速，直到達到共速；有：v共 v0 a1t a2t 得：t 0.25s此時，相對位

9、移S相 SA SB 0.5m 1m之后，A將從B的左端滑下。當F較小時，A將從B的右端滑下，臨界條件是：A到達B的右端時，A、B具有共同的速度。當F較大時，A將從B的左端滑下，臨界條件是：達到共同速度 時，A、B相對靜止。此時：f滑fm?！纠恳恍A盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖。已知盤與桌布間的動摩擦因數(shù)為 i，盤與桌面間的動摩擦因數(shù)為2?，F(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度 a滿足的條件是什么?（以g表示重力加速度）答案：a 12 2 ig2解：圓盤的運動應(yīng)該是先在桌布上加速，

10、后在桌子上做勻減速運動，如果圓盤未從桌面上掉下來（設(shè)從桌布上掉下來時的速度為V，末速度為0），則有：對圓盤：S皿S減L2加速階段：1mgma ；S加2 V2a1減速階段：2mgma? ；S減2 V2a2設(shè)桌布從盤下抽出所經(jīng)歷時間為t，在這段時間內(nèi)桌布移動的距離為 S。1對桌布：S -at2 ；2L1由運動情況：S S加；S加a1t2。222由以上各式得：a 2 ig。2【例】如圖所示，一質(zhì)量 m 500kg的木箱放于質(zhì)量M 2000kg的平板 車的后部，木箱到駕駛室的距離I 1.6m，已知木箱與木板間的動摩擦因數(shù)0.484，平板車運動過程中所受的阻力是車和箱總重的0.2倍。平板車以V 22m/

11、s的恒定速率行使，突然駕駛員剎車，使車做勻減速運動，為了不讓 木箱撞擊駕駛室，試求：（1）從剎車開始到平板車完全停止至少要經(jīng)過多長時間？|2 I,n E（2）駕駛員剎車時的制動力不能超過多少？答案： 4.4s: 7.42 1 03N。解：設(shè)箱的位移為s，車的位移為S2 ；車的加速度為a。箱子如果不與車相碰，則有：S1 S2 1由牛頓定律，對箱：mg ma1 ；2由運動學(xué)公式，對箱：s 出；2ai2對車：S2 乞；2a由以上各式有：a 5m/ S，所以t v 4.4sa設(shè)汽車的制動力為F，由牛頓第二定律：mg F k M m g Ma得：F 7.42 103N【例】一木箱可視為質(zhì)點，放在汽車水平

12、車廂的前部，如圖所示，已知木 箱與汽車車廂底板之間的動摩擦因數(shù)為。初始時，汽車和木箱都是靜止的?，F(xiàn)在使汽車以恒定的加速度a。開始啟動沿直線運動。當其速度達到 v0后做勻速 直線運動。要使木箱不脫離車廂，距汽車車廂尾部的距離應(yīng)滿足什么條件？【例】如圖所示，在光滑桌面上疊放著質(zhì)量為 mA 2.0kg薄木板A和質(zhì)量為Eb 3.0kg的金屬塊B。A的長度L 2.0m。B上有輕線繞過定滑輪與質(zhì)量為me 1.0kg的物塊C相連。B與A之間的滑動摩擦因數(shù)0.10，最大的靜摩擦力可視為等于滑動摩擦力。忽略滑輪質(zhì)量及與軸間的摩擦。起始時令各物體都處于靜止狀態(tài)，繩被拉直，B位于A的左端(如圖所示)，然后放手，求經(jīng)

13、過 多長時間后B從A的右端脫離(設(shè)A的右端距滑輪足夠遠)(g 10m/ s2)【例】一圓環(huán)A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對B的長度來說可以 忽略不計。A和B的質(zhì)量都等于m , A和B之間的滑動摩擦力為f ( f mg )。 開始時B豎直放置，下端離地面高度為 H , A在B的頂端，如圖所示。讓它們 由靜止開始自由下落，當木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運動， 并且碰撞前后的速度大小相等。設(shè)碰撞時間很短，不考慮空氣阻力，問：在B再 次著地前，要使A不脫離B，B至少應(yīng)該多長？壞棒.H答案：l -8mH；mg f解：開始釋放后，B一起做自由落體運動,設(shè)其到達地面前瞬間的速度為由機械能守

14、恒：2mgH1 2-mvi ；2B與地面撞擊后，環(huán)A將做加速運動（設(shè)其加速度為a1），而B將做減速運動（設(shè)其加速度為a2），當B的速度減為0后，反向又以a2加速，直到B再次 落地，由對稱性可知：此時B的速度依然為v。由牛頓第二定律，對A: mg f mQ ；對 B : mg f ma2 ；故它們運動的時間為：t 空；a2此時：棒運動的位移為0,環(huán)相對于棒運動的位移，對環(huán)：有：S v1t -a1t2 ；22 2棒的長度：L S，即L 8m g 2 H。mg f4、最大靜摩擦力也會造成臨界和極值問題，此時有:【例】如圖所示，質(zhì)量分別為 m和2m的兩物體A、B疊放在一起，放在光滑的水平地面上，已知 A、B間的最大摩擦力為A物體重力的 倍，若用水 平力分別作用在A或B