用二元一次方程組解決問題例題

1、用二元一次方程組解決問題例題目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1能夠借助二元一次方程組解決簡單的實(shí)際問題，再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用2 進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性3 體會列方程組比列一元一次方程容易4進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力5掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；重點(diǎn)：1 經(jīng)歷和體驗用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程。2 進(jìn)一步體會方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。 難點(diǎn)：正確找出問題中的兩個等量關(guān)系知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的根本思想列方程組解應(yīng)用題是把朱知轉(zhuǎn)化為 的重要方法，它的關(guān)鍵是把量和未知量聯(lián)系

2、起來，找出題目中的相等關(guān)系 一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：1方程兩邊表示的是同類量；2同類量的單位要統(tǒng)一；3方程兩邊的數(shù)值要相等 知識點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的根本等量關(guān)系1行程問題：1追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比擬直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差=開始時兩者相距的路程;速度路程J-L ；時間二路程相遇問題湘遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比擬直觀， 因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。3航行問題：船在靜水中的速度

3、+水速=船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度； 船的順?biāo)俣却哪嫠俣?2 X水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。2 .工程問題：工作效率X工作時間=工作量.3 商品銷售利潤問題：利閥率=舊憶弊介X100%1利潤=售價本錢進(jìn)價；3利潤=本錢進(jìn)價X利潤率;標(biāo)價=本錢進(jìn)價X1 +利潤率；實(shí)際售價=標(biāo)價 打折率；注意：商品利潤=售價一本錢中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十4 儲蓄問題：1根本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做

4、本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。2根本關(guān)系式 利息=本金利率 期數(shù) 本息和=本金+利息=本金+本金X利率鴻數(shù)=本金X1 +利率熾數(shù) 利息稅=利息 利息稅率=本金 X利率鴻數(shù)X利息稅率。月利率壟利率丈丄 稅后利息=利息 X1 -利息稅率年利率=月利率 X12注意：免稅利息=利息5 .配套問題：解這類問題的根本等量關(guān)系是：總量各局部之間的比例=每一套各局部之間的比例。6 .增長率問題：解這類問題的根本等量關(guān)系式是：原量X1 +增長率=增長后的量；原量x1

5、減少率=減少后的量.7 .和差倍分問題：解這類問題的根本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X咅量.&數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1或2n-1,偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的根本等量關(guān)系式為： 兩位數(shù)=十位數(shù)字 10+個位數(shù)字9 .濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10. 幾何問題：解決這類問題的根本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11. 年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的12. 優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排

6、。需要從幾種方案中，選擇最正確方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行 社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最正確方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn)，比擬幾種方案得出最正確方案。知識點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為審、設(shè)、找、列、解、檢、答 七步.即：1審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析數(shù)和未知數(shù)；2設(shè)：根據(jù)題意設(shè)元3找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；4列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；5解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；6檢：檢查所求的解是否符合實(shí)際問題；7答：在對求出的方程的解做出

7、是否合理判斷的根底上，寫出答案要點(diǎn)詮釋：(1) 解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫 答，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) 設(shè)、答兩步，都要寫清單位名稱；(3) 般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組分祈抽象、求解、解答步驟簡記為：問題方程組解答列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中根本量之間的關(guān)系；審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，防止與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；列方程組解應(yīng)用題一

8、定要注意檢驗。經(jīng)典例題透析盅類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題1.甲、乙兩地相距 160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī)這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意：汽車行誠1-小時的路疫L1bQ1汽車行菠-水時的跖轄 2拖竝機(jī)行就】勺謝的66乙地2(1)這里有兩個未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程(2)有兩個等量關(guān)系:相向而行：汽車行駛11-小時的路程+拖拉機(jī)行駛11-小時的路程=160千米;同向而行：汽車行駛1:小時的路程=拖

9、拉機(jī)行駛(2-小時的路程.(“扣解這個方程組，得："90： =旳解：設(shè)汽車的速度為每小時行 丁千米，拖拉機(jī)的速度為每小時 千米.亍0+尹)=1呦1 一苫=根據(jù)題意，列方程組2答：汽車行駛了 165千米，拖拉機(jī)行駛了 85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。2在某條高速公路上依次排列著 A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離 也是120千米.分別在A、C兩個加油站實(shí)施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公 路逃離現(xiàn)場，正在 B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分

10、別往A、C兩個加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？【分析】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時，貝U3(x y) 120x y 120整理得 y 408040x y 120解得因此，巡邏車的速度是 80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是 40千米/時.點(diǎn)評： 相向而遇和 同向追及是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān) 系，這個關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：相向而遇時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；同向追

11、及時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離.舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā) 2.5小時后相遇；如果乙比甲先走 2小時，那么他們在甲出發(fā) 3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？解：設(shè)甲、乙兩人每小時分別行走 千米、：千米。根據(jù)題意可得：4 5y = 363x + 5y= 36解得:2l= 6y- 3.6答：甲每小時走6千米，乙每小時走 3.6千米?！咀兪?】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度=靜水中的速度+水速船逆流速度=靜水中的速度

12、水速解：設(shè)船在靜水中的速度為 x千米/時，水速為y千米/時,那么仏一小2刃，解得:答：船在靜水中的速度為 17千米/時，水速3千米/時。跟蹤訓(xùn)練1、甲、乙兩人在東西方向的公路上行走，甲在乙的西邊300米，假設(shè)甲、乙兩人同時向東走30分鐘后,甲正好追上乙；假設(shè)甲、乙兩人同時相向而行，2分鐘后相遇，問甲、乙兩人的速度是多少？甲乙兩人以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行每隔兩分鐘相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，甲比乙跑的快，求甲乙每分鐘跑多少圈？類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題1 一批機(jī)器零件共840個，如果甲先做 4天，乙參加合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲參加合做，那

13、么再做 9天才能完成，問兩人每天各做多少個機(jī)器零件？分析：由題意得甲做 12天，乙做8天能夠完成任務(wù)；而甲做 9天，乙做13天也能完成任務(wù)，由此關(guān)系 我們可列方程組求解設(shè)甲每天做x個機(jī)器零件，乙每天做 y個機(jī)器零件，根據(jù)題意，得(4 8)x 8y 8409x (4 9)y 840x 50解得：y 30答：甲每天做50個機(jī)器零件，乙每天做 30個機(jī)器零件CP2某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)4能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工5廠改進(jìn)了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，

14、這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn) 25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，4依題意，得150 y x5200( y 1) x 25解得x 3375y 18點(diǎn)評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個根本量的關(guān)系，即工作量=工作時間 U作效率以及它們的變式 工作時間=工作量"作效率，工作效率=工作量"作時間.其次注意當(dāng)題目與工作量大 小、多少無關(guān)時，通常用“ 1示總工作量.舉一反三:【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，假設(shè)甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；假設(shè)甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公

15、司來做， 還需9周完成，需工錢4.8萬元假設(shè)只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由解:設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的'和，由題意得:所以甲、乙單獨(dú)完成這項工程分別需要10周、15周。設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是'萬元，萬元，根據(jù)題意得:，解得:故甲公司單獨(dú)完成需工錢：山萬元；乙公司單獨(dú)完成需工錢:15i -4萬元。答：甲公司單獨(dú)完成需 6萬元，乙公司單獨(dú)完成需 4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成跟蹤訓(xùn)練1、一千零一夜中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一局部在樹上歡歌，另一局部在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說

16、：假設(shè)從你們中飛上來一只，那么樹下的鴿子就是整個鴿群的1/3，假設(shè)從樹上飛下去一只，那么樹上、樹下的鴿子就一樣多了。你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？類型三：列二元一次方程組解決 一一商品銷售利潤問題一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少?分析：商品的利潤涉及到進(jìn)價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品的定價為x元，進(jìn)價為y元，那么打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ；打八折時的賣出價為 0.8x元，獲利(0.8x-y) 元，可得方程 0.8x-y=10.解方程組0.9x y 20%y0.8x

17、y 10'x 200解得y 150，因此，此商品定價為 200元.=售價-進(jìn)價；二是：利潤=總結(jié)：利潤率是相對于進(jìn)價而言的，利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤 進(jìn)價X利潤率特別注意 利潤和 利潤率是不同的兩個概念.2有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為 4%,共可獲利46元。價風(fēng)格整后，甲商品的利潤率為 4%，乙商品的利潤率為 5%，共可獲利44元，那么兩件商品的進(jìn)價分別是多少元？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤=進(jìn)價X利潤率解：甲商品的進(jìn)價為 x兀，乙商品的進(jìn)價為 y兀，由題意得：fx= 600I憂；r + b%，二44 的/曰 卜三400，解得：答：兩件商品

18、的進(jìn)價分別為600元和400元。舉一反三：【變式1】2022湖南衡陽李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？ 解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了 '畝，那么：2000+1500= 18000 解得 7 = 4答：李大叔去年甲種蔬菜 種植了 6畝，乙種蔬菜種植了 4畝.【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表:AB進(jìn)價元/件12001000售價元/件13801200注：獲利=售價一進(jìn)價求該商場購進(jìn)A、B兩

19、種商品各多少件；解：設(shè)購進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得:200tv+1000j7 = 360000, (1330-12O0)x+(1200- 1000) = 600006x-t-5.x =1SOO, 200,化簡得：仏亠3 = 3OUO.解得：120.答：該商場購進(jìn) A、B兩種商品分別為 200件和120件。跟蹤訓(xùn)練1、打折前，買60件A商品和30件B商品用了 1080元，買50件A商品和10件B商品用了 840元，打 折后，買50件A商品和50件B商品用了 960元，比不打折少花多少錢？2、有甲、乙兩種債券，年利率分別是10%與12%，現(xiàn)有400元債券，一年后獲利 45元，問兩種債券各

20、有多少?類型四：列二元一次方程組解決 一一銀行儲蓄問題小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢,一種是年利率為2.25%的教育儲蓄，另一種是年利率為 2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元, 問這兩種儲蓄各存了多少錢？利息所得稅=利息金額X20%，教育儲蓄沒有利息所得稅思路點(diǎn)撥： 設(shè)教育儲蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格:數(shù)育儲菴一年迄期合計現(xiàn)在y一年后xz*2.25%2Q42.75解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為 x元，存一年定期存款的錢為 y元，那么列方程:y - 2000 -玄- 1500(1 +0 d225)

21、;v +1 + 0 0225(1 - 0.2) = 2042.75 解得.y = 500答：存教育儲蓄的錢為 1500元，存一年定期的錢為500元.總結(jié)升華：我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實(shí)際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X20%思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金 X年利率*1-20%

22、 X年數(shù)=利息其中，利息所得稅=利息 金額 X20%.不扣稅時：利息=本金X年利率X年數(shù).解：設(shè)第一種儲蓄的年利率為，第二種儲蓄的年利率為y,根據(jù)題意得：3.2-4%p = 2.25%Cl - 20% 2000a +1000 = 43 92 解得:y = 0.99%答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%.【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了 4000元錢.第一種,一年期整存整取，共反復(fù)存了 3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%;第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為 2.70%.三年后同時取出共得利息 3

23、03.75元不計利息稅，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？解：設(shè)第一種存款數(shù)為 X元，那么第二種存款數(shù)為 y元，根據(jù)題意得：y - 4000 - Ix - 1500>2 25%=30?.75 解得.尸三 2冗0答：第一種存款數(shù)為 1500元，第二種存款數(shù)為 2500元。類型五：列二元一次方程組解決 一一生產(chǎn)中的配套問題1 某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)方案用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝不考慮布料的損耗，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套？思路點(diǎn)撥：此題的第一個相等關(guān)系比擬容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等

24、關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍注意：別把2倍的關(guān)系寫反了 .解：設(shè)用丁米布料做衣身，用 "米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：-jx2 =L2答：用60米布料做衣身，用 72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母20個，如果一個螺

25、栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)疋=每天生產(chǎn)的螺母數(shù) X1 因此，設(shè)安排x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，那么每天可生產(chǎn)螺栓 25 x個，螺母20y個，依題意，得x y 120x 20，解之，得.50x 2 20y 1y 100故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母.總結(jié)：解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：二合一 問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件

26、乙產(chǎn)品配成一套，那么一套中甲乙的數(shù)量比為a:b,要想生產(chǎn)出來的所有產(chǎn)品配套，就得滿足甲乙的總數(shù)量之比也為a:b.舉一反三：【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做 8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一 個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？思路點(diǎn)撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；制盒身個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù)解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：,x = 11° 輕厚 fjr+y = 190v = S0 '解斷 I2x8j = 22y答：用110張制盒

27、身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子.【變式2】某工廠有工人 60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14x人，生產(chǎn)螺母的有 y人,個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有那么:，解得:答：生產(chǎn)螺栓的有 25人，生產(chǎn)螺母的有 35人。【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面 50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，解:答:恰好配成方桌？能配多少張方桌？ 設(shè)用X立方

28、米的木料做桌面，用 y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得:可做50X3= 150張方桌。類型六:列二元一次方程組解決數(shù)字問題C 8.兩個兩位數(shù)的和是 68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178,求這兩個兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為 x，較小的兩位數(shù)為 y。問題1:在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為:100x + y問題2:在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為:100y + x解：設(shè)較大的兩位數(shù)為 x,較小的兩位數(shù)為 y。依題意可得:齊十尹68(1%+刃

29、一(1。妙+勸/1花，解得：7=23答：這兩個兩位數(shù)分別為45, 23.舉一反三:【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的和，商是5,余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？3倍，結(jié)果是23;這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)為y,那么：f10x+j-3(x + ) = 23I血+尸卞+刃+1,解得:答：這兩位數(shù)為56【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y,根據(jù)題意得：

30、51= 十 9I2，解得：答：這個兩位數(shù)為 72.【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是 9,如果百位數(shù)字減1,個位數(shù)字加 1,那么所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，由題意得："+廠9答：所求三位數(shù)是 504。跟蹤訓(xùn)練1、一個兩位數(shù)字，個位數(shù)字比十位數(shù)字大5,如果把這兩數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù).2、甲乙兩盒中各有一些小球，如果從甲盒中拿出10個放入乙盒，那么乙盒球就是甲盒球數(shù)的6倍，假設(shè)從乙盒中拿出10個放入甲盒，乙盒球數(shù)就是甲盒球數(shù)的 3倍多10個，求甲乙

31、兩盒原來的球數(shù)各是多少？ 類型七：列二元一次方程組解決一一增長率問題某工廠去年的利潤總產(chǎn)值 一總支出為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了 10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，那么有總產(chǎn)值萬元總支出萬元利潤萬兀去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值一總支出和表格里的量和未知量，可以列出兩個等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：d尹三 200= 2000120%-90%y = 780,解之得：1 = 1300答：

32、去年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。舉一反三：【變式1】假設(shè)條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，由題意得：xy - 780< 丁v用二 2400血們，解得："應(yīng)0答：今年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？【變式2】某城市現(xiàn)有人口 42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：1城鎮(zhèn)人口 +農(nóng)村人

33、口 =42萬；2丨城鎮(zhèn)人口 01+0.8%)+ 農(nóng)村人口 X 1 + 1.1%=42X 1+1%解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為 x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：兀十尹-42-P (1+1.1%) =42(1+1%)解得“14答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口 14萬人，農(nóng)村人口為 28萬人類型八：列二元一次方程組解決.今年父親的年齡是兒子的-年齡問題5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少?思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是理解 “6年后這幾個字的含義，即 6年后父子倆都長了 6歲。今年父親的 年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的 3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題

34、意得： x - 5yJa = 30解得*6=+ 0 p 二冬答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個人的年齡變化增大、減小了，其他人也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數(shù)是相同的相同的時間內(nèi)。舉一反三：【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种恍±畎l(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.思路點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。解：設(shè)今年小李的年齡為 x歲，那么爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得:，解得:答：今年小李的年齡為 12

35、歲。類型九：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題1.2022年北京豐臺區(qū)中考一摸試題愛心帳篷廠和 溫暖帳篷廠原方案每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷 14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷.為此，全體職工加班加點(diǎn)，愛心帳篷廠和 溫暖帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別到達(dá)了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，愛心帳篷廠和 溫暖帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？團(tuán)思路點(diǎn)撥：找出量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)方案前后，倍數(shù) 關(guān)系由量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。解：設(shè)原方案 愛心帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂，溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，

36、由題意得:,y= 4XX4=6蓋十y = 9L + 1.5y = 14 ,解得:答：愛心帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂，溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂. 舉一反三：【變式1】2022年北京門頭溝區(qū)中考一模試題 地球一小時是世界自然基金會在 2007年提出的一 項建議號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六 20時30分一21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活.中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動.解：設(shè)中國內(nèi)地去年有 x個城市參加了此

37、項活動，今年有y個城市參加了此項活動.卩 1 = 119.依題意得',解得:答：去年有33個城市參加了此項活動，今年有86個城市參加了此項活動【變式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán) 色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？思路點(diǎn)撥：此題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女 孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。解：設(shè)男孩x

38、人，女孩y人，根據(jù)題意得：,解得:答：男孩4人和女孩有3人。10.如圖，用類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少?思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x,寬為y,就可以列出關(guān)于 x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長 xcm,寬ycm，由題意得：兀十尹二60 - 45解得土= 15答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm?？偨Y(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位

39、置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，假設(shè)將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，那么得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉 3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上 3厘米。解：設(shè)長方形的長為 x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：2= 48 j -15所以正方形的邊長為：9+3=12厘米 正方形的面積為：1 _丿二=144厘米長方形的面積為：15 9=135厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米總結(jié)升

40、華：解題的關(guān)鍵找兩個等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是此題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，此題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，此題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用 題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵?！咀兪?】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，那么長和寬分別為多少？解:設(shè)草坪的長為 y m寬為x m,依題意得：y = 2汗十10A = 3怯+ »1卷解得:十于56U2答:草坪的長為 ° m,寬為'm類型一：列二元一次方程組解決 優(yōu)化方案問題：12 某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，假設(shè)在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸但兩種加工方式不能同時進(jìn)行 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷 售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將