第21練-關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型

1、第21練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型題型分析 髙考展望平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算，應(yīng)用十分廣泛， 對(duì)向量本身，通過數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在 解答題中出現(xiàn)，常與其他知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查體驗(yàn)咼考D.3a1. 2022山東菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為a,/ ABC = 60 °，那么BD CD等于A. - 2a2 B. - 4a2 Ca2244答案 D解析如下列圖,由題意，得 BC = a, CD = a, / BCD = 120°1BD

2、2= BC2+ CD2- 2BC CD cos 120 = a2+ a2-2a ax - = 3a2,BD = if3a.二 BD CD = |BD|CD|cos 30 =°3a2x 3 = |a2.222. (2022重慶)假設(shè)非零向量a,b滿足舊|=一3-卜|,且(a b)丄(3a + 2b),那么a與b的夾角為()7tn 3 nB.2 C.4答案A解析2T2由(a b)丄(3a + 2b)得(a- b) (3a + 2b)= 0，即 3a2 a b- 2b2： |a|= |b|,設(shè)a, b>=e,即 3|a|2- |a| |b| cos e 2|bp= 0, 3|b|2-

3、 bl2 cos e- 2|b|2= 0,二cos e=¥又 0< e< n, e= n3. (2022陜西)對(duì)任意向量a, b,以下關(guān)系式中不恒成立的是()A.|ab|w |a|b|B.|a b|w |a|b|C.(a+ b)2= |a + b|2D.(a+ b)(a b)= a2 b2答案 B解析 對(duì)于A，由|a b|= |a|b|cos < a, b> |< |a|b恒成立；對(duì)于 B，當(dāng)a, b均為非零向量且 方向相反時(shí)不成立；對(duì)于C、D容易判斷恒成立.應(yīng)選B.4. (2022 課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)向量 a= (m, 1), b= (1, 2)，且 |a

4、+ b|2= |a|2+ |b|2，那么 m =.答案 2解析由 |a + b|2= |a|2 + |b|2,得 a丄b，所以 mx 1+ 1 x2 = 0,得 m = 2.5. (2022上海)在平面直角坐標(biāo)系中，A(1, 0), B(0, 1), P是曲線y = ,1 x2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝y BPbA的取值范圍是 .答案0, 1+ 2解析由題意知 y=p 1 x2p(cos a, sin a, a 0, n, BA= (1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 BP BA = cos a+ sin a+ 1 =2sin( a+?+ 1 0, 1 +2EBP BA的范圍

5、為0 , 1 + 2.高考必會(huì)題型題型一平面向量數(shù)量積的根本運(yùn)算例1(1)(2022四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|= 6, |AD|= 4,假設(shè)點(diǎn)M , N滿足BM=3Mc , Dn= 2Nc，那么 Am nm等于() (2022福建)AB丄Ac, |AB|= *, |AC|= t,假設(shè)點(diǎn)p是厶abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， 且AP =號(hào)+ 4BC，那么PBPC的最大值等于()|AB| |AC|答案(1)C(2)A解析(1)AM = AB+ 4AD , NM = CM CN = AD + 3AB，二 AM NM = ：(4aB+ 3AD) (4 3AD)= 48(16Ab2 9Ad2)

6、 = 48(16x 62 9X 42) = 9,應(yīng)選 C.建立如下列圖坐標(biāo)系，那么B * 0 , C(0, t), AB = 1, 0 , AC = (0, t),AP = AB + 警=t *, 0 + 4(0, t)= (1, 4) , P(1 , 4), PB PC = *- 1,- 4 - 1 , t- 4) |AB| |AC|=17 1 + 4t W 17 2 ,.1 4t= 13,應(yīng)選 A.點(diǎn)評(píng) a, b的數(shù)量積a b與代數(shù)中a, b的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的".向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問題：a b= 0時(shí)得不到a= 0或b = 0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有 |

7、aF= a2, 但 |a b|< |a| |b|.變式訓(xùn)練1 在厶ABC中，AD丄AB, BC = 2 3 BD , |AD|= 1，那么AC AD等于()3 B. 3 C. 23 D. 33答案 A解析在厶ABC中，BC= 2 3 BD ,所以 AC AD = (AB+ BC) AD = (AB + 2 3 BD) AD,又因?yàn)锽D = AD AB,所以 AC AD = (1 2,3)AB+ 2 .3 AD AD=(1 - 2 3)AB AD + 2 ,3 AD AD=(1 - 2 _3)AB AD + 2 3 AD2,因?yàn)锳D丄AB,所以AD丄AB,所以AD AB= 0,所以 AC

8、AD = (1 - 2,3) X 0+ 2 _3X 1 = 2 . 3,應(yīng)選 A.題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)設(shè)a, b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量 X1,X2,X3, X4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)bx1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2,那么a與b的夾角為()2 nnA丐B.3nC.6向量a, b 滿足 |a|= 2|b|z0，且關(guān)于 x 的函數(shù) f(x) = - 2x3+ 3|a|x2+ 6a bx+ 5 在 R 上單調(diào)遞減，那么向量a, b的夾角的取值范圍是nnn2 na. 0, 6b.

9、 0，3c. 0, 6d. 3， n答案(1)B(2)D解析 設(shè)a與b的夾角為0,由于Xi, yi(i = 1, 2, 3, 4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成,4記S=(Xi yi),那么S有以下三種情況：i =1S= 2a2 + 2b2;S= 4a b;S= |a|2+ 2a b+ |b|2.2|a|, 中 S= 10|a|2,中 S= 8|a|2cos 0 中 S= 5|a|2+ 4|a|2cos 01易知最小，即 8|a|2cos 0= 4|a2, cos 0= ,又 Own, 0= n,應(yīng)選 B.3設(shè)向量 a, b 的夾角為 0,因?yàn)?f(x)= 2x3 + 3|a|x2 + 6a bx

10、+ 5，所以 f' (x) = 6x2 + 6|a|x+ 6a b,又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f' (x)< 0在R上恒成立，所以= 36|a|2 4 x (1 16)x (6a b)< 0，解得 a b< |a|2,因?yàn)?a b= |a|b| cos 0,且 |a|= 2|b|z0，所以 |a|b|cos 0=?|a|2cos 0w 4|a|2,解得cos 0w 2,因?yàn)? 0, n,所以向量a, b的夾角0的取值范圍是 芻5, n , 應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng) 求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.(2)數(shù)量積大于0說明不共線 的兩向量的夾角為

11、銳角， 數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角， 數(shù)量積小于0且兩向量不 能共線時(shí)，兩向量的夾角為鈍角變式訓(xùn)練2假設(shè)非零向量a, b滿足|a|=|b|, (2a + b) b = 0，那么a與b的夾角為()A.30 ° B.60 ° C.120 ° D.150 °答案 C解析設(shè)a與b的夾角為0,由題意得 |a|=|b|, (2a + b) b = 0，可得 2a b+ b2= 2|a| |b|cos 0+ b2 = 2|a| |a|cos 0+ |a|2= 0,解1得 cos 0= 2，因?yàn)?0°< w 180°,所以 0= 120

12、°,應(yīng)選 C.題型三利用數(shù)量積求向量的模例 3 (1)向量 a, b 的夾角為 45° 且 |a|= 1, |2a b|=i0，貝U |b| =.直角梯形 ABCD中，AD / BC,/ ADC = 90 ° AD = 2, BC = 1,點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng) 點(diǎn)，那么|PA+ 3PB|的最小值為.答案(1)3 2(2)5解析 (1)由 |2a b|= . 10，那么 |2a b|2= 10,及 4a2 4a b + b2= 10,又向量 a, b 的夾角為 45°,且|a|= 1,所以 4X 1 4x 1 x |b|cos n+ |b|2= 10,即 |

13、b|2 22|b| 6 = 0，解得 |b|= 3 2方法一 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如下列圖的平面直角坐 標(biāo)系，設(shè) DC = a, DP = x. D(0, 0), A(2, 0), C(0, a),門in IB(1, a), P(0, x),PA= (2 , x) , PB= (1 ,a x), PA + 3PB = (5 , 3a 4x), |FA+ 3PBf= 25 + (3a 4x)2> 25 , |PA + 3PB|的最小值為5.方法二 設(shè) Dp = xDC(0 v xv 1), Pc = (1 x)DC, PA= DA Dp = DA xDC

14、,PB = PC+ CB = (1 x)DC + ?DA ,->-> 5 >-> PA + 3PB = DA + (3 4x)DC ,|PA+ 3PB|2= DA2 + 2X 2x (3 4x)DA DC + (3 4x)2DC2 = 25+ (3 4x)2DQ2> 25 , |PA + 3pB|的最小值為5.點(diǎn)評(píng)(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向 量a= (x , y),求向量a的模只需利用公式|a|=“x2+ y2即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運(yùn)算法那么及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)

15、量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|= ,a2.變式訓(xùn)練3 向量a , b , c滿足|a|=4 , |b| = 2,2 , a與b的夾角為j, (c a) (c a)= 1 , 那么|c a|的最大值為()A. 2 + 2 B.¥+ 1 C. 2尹D. 2 + 1答案 D解析 在平面直角坐標(biāo)系中，取 B(2 2 , 0) , A(2 .2 , 2 2),那么OA = a , OB= b,設(shè) c= OC =(x , y),那么(c a) (c b) = (x 2 2 , y 2.2) (x 2 2 , y) = (x 2 ,2)2+ y(y 2.2) = 1 ,即(x

16、2 2)2+ (y- 2尸=1，所以點(diǎn) C(x, y)在以 D(2 2 ,2)為圓心，1為半徑的圓上，|c a| =x-2 2+ y 2一22,最大值為|AD|+ 1= 2+ 1.應(yīng)選D.高考題型精練ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為 1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，那么EF DC等于()1331B.C.-D.-；444答案D解析由題四邊形ABCD的邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為 1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，那么EF> >1 > >1 1平行于 BD，那么 EF DC = BD DC =1 X 1 X cos 120 °-.2. (2022課標(biāo)全國(guó)丙)向量BA

17、= 2，j ， BC= 3， 1，那么/ ABC等于()A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 °答案 A解析 |BA|= 1, |BC|= 1,cos/ABC = 23t t 2|BA| |BC|又 0°<Z ABC w 180°/ ABC = 30°3. (2022湖南)點(diǎn)A, B, C在圓x2+ y2= 1上運(yùn)動(dòng)，且AB丄BC.假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, 0),那么|PA + PB+ PC|的最大值為()答案 B解析由A, B, C在圓x2 + y2= 1上，且AB丄BC, AC為圓的直徑，故PA +

18、PC= 2PO = (-4, 0),設(shè) B(x, y),那么 x2 + y2= 1 且 x - 1, 1, PB = (x-2, y), 所以 PA+ PB+ PC= (x- 6, y).故 |PA + PB+ PC|=- 12x+ 37,- 1w x< 1 ,當(dāng)x=- 1時(shí)有最大值.49= 7,應(yīng)選B.A( 1, 1)、B(3, 1)、C(1, 4)，那么向量BC在向量BA方向上的投影為()A.D.2 '1313答案 A解析 BC = ( 2 , 3), BA = ( 4 , 2)，向量BC在向量BA方向上的投影為BC BA|BA|4 + 3X 25一+=羋，應(yīng)選A.5，:4

19、2+ 225.(2022安徽) ABC是邊長(zhǎng)為那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(2的等邊三角形，向量a, b滿足AB = 2a, AC=2a + b,A.|b|= 1B.a丄b C.a b= 1答案 DD.(4a+ b)丄 BC解析 在厶ABC 中，由 BC= AC Ab = 2a + b 2a = b，得 |b|= 2.又|a|= 1,所以 a b= |a|b|cos 120 = 1,所以(4a+ b) BC= (4a + b) b = 4a b + |b|2= 4X ( 1)+ 4 = 0,所以(4a+ b)丄BC，應(yīng)選D.i, j為互相垂直的單位向量,a = i 2j, b = i +莎，且a,

20、 b的夾角為銳角，那么實(shí)數(shù)入的取值范圍是()a.(-® 2B.(2,+ )C.( 2, 3) U (2,+s )1D.( , 2) U ( 2, ?)答案 D解析/ a, b的夾角為銳角,a b= 1 X 1 + ( 2)心 0 且 1 X ( 2) 1 X 爐 0,1.疋(一a, 2)U ( 2,刁，應(yīng)選 D.a, b,其中ai= .3, |b|= 2，且(a + b)丄a，那么向量a和b的夾角是答案解析-(a + b)丄 a,.(a+ b) a= a2 + a b= 3 + 3 X 2cos a, b>= 0,cosa, b>= 2，又 a, b> < n

21、, a和b的夾角為茫68.2022浙江向量a, b, |a|= 1, |be,均有|a e|+ |be|w6,那么a b的最大值是 答案12解析由可得，-6> |a e|+ |b e|> |a e+ b e|= |a + b e|,由于上式對(duì)任意單位向量e都成立.:：； 6?|a + b|成立. 6 > a+ b2= a2 + b2 + 2a b= 12 + 22+ 2a b.1即 6>5 + 2a b, - a b< 9如圖，在 ABC中，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，假設(shè) AB = 1, AC= 3, AB, AC > = 60°那么|OA1=答案弓3 解

22、析因?yàn)锳b, Ac>= 60°所以 Ab AC = |AB| |AC|cos 60 =°x 3 x = 3,又AO = 2AB+ AC,所以 Ao2= 4AB+AC2=4AB2+ 2AB AC+ AC2,即AO2 = 11 + 3+ 9=嚴(yán)，所以 |OA|=O 是銳角 ABC 的外心，AB= 8, AC= 12, A = 3假設(shè)AO = xAB+ yAC,貝V 6x+ 9y =答案 5解析 如圖，設(shè)點(diǎn)O在AB, AC上的射影分別是點(diǎn) D , E,它們分別為AB, AC的中點(diǎn)，連 接OD , OE.由數(shù)量積的幾何意義，可得 Ab AO = |AB| |AD|= 32, AC AO = |AC| |AE= 72,依 題意有 AB AO = xAB2 + yAC AB= 64x+ 48y= 32,即 4x+ 3y= 2, AC Ao= xAB AC+ yAC2= 48x + 144y= 72, 即卩 2x+ 6y = 3，將兩式相加可得 6x+ 9y= 5.a= ( 1, 1), b = (x, 3), c= (5,ny), d = (8, 6),且 b / d, (4a + d)丄 c.(1)求b和c;求c在a方向上的投影；求力和蘢，使c= ?ia+尼b.解 / b / d, / 6x 24= 0,