初一培優(yōu)專題：數軸上動點問題

1、培優(yōu)專題：借助方程求解數軸上的動點問題(壓軸題?？碱}型)數軸上的動點問題離不開數軸上兩點之間的距離.為了便于初一年級學生對這類問題的分析,不妨先明確以下幾個問題：1 數軸上兩點間的距離,即為這兩點所對應的坐標差的絕對值,也即用右邊的數減去左邊的數的差.即數軸上兩點間的距離=右邊點表示的數一左邊點表示的數.2 .點在數軸上運動時,由于數軸向右的方向為正方向,因此向右運動的速度看作正速度,而向作運動的速度看作負速度.這樣在起點的根底上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標.即一個點表示的數為a,向左運動b個單位后表示的數為ab；向右運動b個單位后所表示的數為a+b.3 .數軸是數形結合的產物

2、,分析數軸上點的運動要結合圖形進行分析,點在數軸上運動形成的路徑可看作數軸上線段的和差關系.一、相關知識準備1 .數軸上表示4和1的兩點之間的距離是.2 .假設數釉上點A表示的數為X,點B表示的數為1,那么A與B兩點之間的距離用式子可以表示為,假設在數軸上點A在點B的右邊,那么式子可以化簡為3 .A點在數軸上以2個單位長度他的速度向右運動,假設運動時間為t,那么A點運動的路程可以用式子表示為.4 .假設數軸上點A表示的數為1,A點在數軸上以2個單位長度/秒的速度向右運動,假設運動時間為t,那么A點運動t秒后到達的位置所表示的數可以用式子表示為4、12t.表示數0,A點在原點的左側,b,并且a、

3、b滿足答案：1、3;2、x1,x+1;3、2t二、已做題再解：1、半期考卷的第25題：如下圖,在數軸上原點所表示的數是a,B點在原點的右側,所表示的數是a16(b)1201點A表示的數為,點B表示的數為2假設點P從點A出發(fā)沿數軸向右運動,速度為每秒3個單位長度,點Q從點B出發(fā)沿數軸向左運動,速度為每秒1個單位長度,P、Q兩點同時運動,并且在點C處相遇,試求點C所表示的數.3在2的條件下,假設點P運動到達B點后按原路原速立即返回,點Q繼續(xù)按原速原方向運動,從P、Q在點C處相遇開始,再經過多少秒,P、Q兩點的距離為4個單位長度？-13>備用圖rf備用圖解：1點A表示的數為一16,點B表示的數

4、為82設P、Q同時運動t秒在點C處相遇3t+t=24解得t=6此時點C所表示的數是16+36=2答：點C所表示的數是2.2再經過a秒,P、Q兩點的距離為4個單位長度分類討論：從點C處相遇后反向而行,點P到達B點前相距4個單位長度3a+a=4解得a=1點P到達B點后返回,此時相當于點Q在P點前4個單位長度a63a64解得a=4點P到達B點后返回,從后追上Q點后又相距4個單位長度,此時相當于點P在點Q前4個單位長度3a6a64角舉得a=8答：再經過1秒或4秒或8秒,P、Q兩點的距離為4個單位長度.2、七年級上學期期中模擬(1)的第10題：數軸上有A8兩點表示一10,30,有兩只螞蟻P、Q同時分別從

5、A、B兩點相向出發(fā),速度分別是2單位單位長度/秒、3個單位長度/秒,當它們相距10個單位長度時,那么螞蟻P在數軸上表示的數是()IJ6B解：經過t秒,P、Q相距10個單位長度,那么P點運動路程為2t,運動后P點表示數為一10+2t,Q點運動路程為3t分類討論：還未相遇前相距1.個單位長度2t+3t=40-10解得t=6此時p點表示數為一10+2X6=2相遇后又相距1.個單位長度21+31=40+10解得t=10此時p點表示數為一10+2X10=10綜上所述,螞蟻P在數軸上表示的數是2或10挑戰(zhàn)題：1.數軸上有A、BC三點,分別代表一24,一10,10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向

6、而行,甲的速度為4個單位/秒.問多少秒后,甲至UA、BC的距離和為40個單位？假設乙的速度為6個單位/秒,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行,問甲、乙在數觸上的哪個點相遇？在的條件下,當甲到A、B、C的距離和為40個單位時,甲調頭返回.問甲、乙還能在數軸上相遇嗎？假設能,求出相遇點；假設不能,請說明理由.分析:如圖1,易求得AB=14,BC=2QAC=34甲乙ABCL44«-*b-24-10010設x秒后,甲到A、BC的距離和為40個單位.此時甲表示的數為一24+4X. 甲在AB之間時,甲到A、B的距離和為AB=14甲到C的距離為10(一24+4x)=344x依題意74+

7、(34-4x)=40,解得x=2 甲在BC之間時,甲至IBC的距離和為BC=20甲到A的距離為4x依題意,20+4X)=40,解得x=5即2秒或5秒,甲到A、BC的距離和為40個單位.是一個相向而行的相遇問題.設運動t秒相遇.依題意有'4t+6t=34,解得t=3.4相遇點表示的數為一24+4X3.4=-10.4(或：10-6X3.4=-10.4)(3)甲至UA、BC的距離和為40個單位時,甲調頭返回.而甲到A、B、C的距離和為40個單位時,即的位置有兩種情況,需分類討論.甲從A向右運動2秒時返回.設y秒后與乙相遇.此時甲、乙表示在數軸上為同一點,所表示的數相同.甲表示的數為：24+4

8、X2-4y；乙表示的數為：106X2-6y依題意有,24+4X2-4y=10-6X26y,解得y=7相遇點表示的數為：24+4X2-4y=44(或：106X26y=-44)甲從A向右運動5秒時返回.設y秒后與乙相遇.甲表示的數為：24+4X5-4y;乙表示的數為：106X56y依題意有,24+4X5-4y=10-6X56y,解得y=-8(不合題意,舍去)即甲從A點向右運動2秒后調頭返回,能在數軸上與乙相遇,相遇點表示的數為一44.點評：分析數軸上點的運動,要結合數軸上的線段關系進行分析.點運動后所表示的數,以起點所表示的數為基準,向右運動加上運劫的距離,即終點所表示的數；向左運動減去運動的距離

9、,即終點所表示的數.2.如圖,A、B分別為數軸上兩點,A點對應的數為一20,B點對應的數為100.A-2D100求AB中點M對應的數；現有一只電子螞蟻P從B點出發(fā),以6個單位/秒的速度向左運動,同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā),以4個單位/秒的速度向右運動,設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇,求C點對應的數；假設當電子螞蟻P從B點出發(fā)時,以6個單位電的速度向左運動,同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā),以4個單位/秒的速度也向左運動,設兩只電子螞蟻在數軸上的D點相遇,求D點對應的數.分析：設AB中點M對應的數為X,由BM=MA所以x(20)=100-X,解得x=40即AB中點M對應的數為40易知

10、數軸上兩點AB距離,AB=140,設PQ相向而行t秒在C點相遇,依題意有,4t+6t=120,解得t=12(或由P、Q運動到C所表示的數相同,得一20+4t=1006t,t=12)相遇C點表示的數為：20+4t=28(或1006t=28)設運動y秒,P、Q在D點相遇,那么此時P表示的數為100-6y,Q表示的數為一20-4y.P、Q為同向而行的追及問題.依題意有,6y4y=120,解得y=60(或由P、Q運動到C所表示的數相同,得一20-4y=1006y,y=60)D點表示的數為：20-4y=-260(或1006y=-260)點評：熟悉數軸上兩點間距離以及數軸上動點坐標的表示方法是解決此題的關

11、鍵.是一個相向而行的相遇問題；是一個同向而行的追及問題.在、中求出相遇或追及的時間是根底.3.數軸上兩點A8對應的數分別為一1,3,點P為數軸上一動點,其對應的數為x.假設點P到點A點B的距離相等,求點P對應的數；(2)數軸上是否存在點P,使點P到點A、點B的距離之和為5?假設存在,請求出x的值.假設不存在,請說明理由？當點p以每分鐘一個單位長度的速度從o點向左運動時,點A以每分鐘5個單位長度向左運動,點B一每分鐘20個單位長度向左運動,問它們同時出發(fā),幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？分析：如圖,假設點P到點A、點B的距離相等,P為AB的中點,BP=PAAB-103依題意,3x=x(1),解得x=1(2)由AB=4,假設存在點P到點A、點B的距離之和為5,P不可能在線段AB上,只能在A點左側,或B點右側. P在點A左側,PA=-1x,PB=3-x依題意,(1x)+(3X)=5,解得x=-1.5 P在點B右側,PA=x(1)=x+1,PB=x3依題意,(x+1)+(X3)=5,解得x=3.5點P、點A、點B同時向左運動,點B的運動速度最快,點P的運動速度最慢.故P點總位于A點右側,B可能追上并超過/1P到AB的距離相等,應分兩種情況討論.設運動t分鐘,此時P對應的數為一t,B