微分中值定理

1、微分中值定理班級(jí):姓名:學(xué)號(hào)摘要微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個(gè)微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁，本文在此基礎(chǔ)上，綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì)，討論一些方程零點(diǎn)(根)的存在性，和對(duì)極限的求解問題，以及一些不等式的證明.羅爾定理定理1若函數(shù)f滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)；f(a)=f(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f()=0幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的

2、連續(xù)曲線上，若端點(diǎn)值相等則在曲線上至少存在一條水平曲線。(注：在羅爾定理中，三個(gè)條件有一個(gè)不成立，定理的結(jié)論就可能不成立.)例1若f(x)在b,b】上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0),證明：在(a,b)內(nèi)方程2xf(bf(aX=(b2-a2f(x)至少存在一個(gè)根.證明：令Fx=fb-faX2-b2-a2fx顯然F(x而a,b】上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而且Fa=fba2-b2fa=Fb根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)之，使2fb-fab2-a2fx至少存在一個(gè)根例2求極限：limxPex-(12x)2ln(1x2)解：用ln(1+x2)：x2(xt0)有ex-(12x)12In(1x2)x

3、1ex-(12x)-22x1ex-(12x)52x1ex(12x)，22:12拉格朗日中值定理定理2:若函數(shù)f滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)J使得f(b)-f(a)=f()b-a顯然，特別當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)，本定理的結(jié)論即為羅爾中值定理的結(jié)論.這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y=f(x)上至少存在一點(diǎn)P(£f(，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB.此外，拉格朗日公式還有以下幾種等價(jià)表示形式，供讀者在不同場(chǎng)合適用：f(b)f(a

4、)=f'(D(b-a)a<<b,f(b)f(a)=f'(a+e(b-a)(b-a)0<e<1.f(a+h)f(a)=f'(a+8h)h0<e<1值得注意的是：拉格朗日公式無論對(duì)于a<b,還是a>b都成立，而之則是介于a與b之間的某一定數(shù).而后兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)e表示成了a+6(b-a),使得不論a,b為何值，日總可為小于1的某一正數(shù).例3求證ln(1+x)<x,(x>-1).證明：當(dāng)x=0時(shí)，顯然ln(x+1)=x=0設(shè)x/0對(duì)f(t)=lnt在以1與1+x為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理，存在介于1與

5、1+x之間的:,使f1x-f1=f'1x-1,即x1m(1十*)=至當(dāng)乂<0時(shí)，0<巴<1,>1,但此時(shí)注意ln(x+1師x均為負(fù)值，所以仍有l(wèi)n(1+x)Mx,即對(duì)x>-1不等式包成立.當(dāng)x>0時(shí)，>0,0<1,所以有l(wèi)n(1+x)Mx.例4證明當(dāng)b>a>e時(shí)，ab>ba。證明：要證ab>ba,只要證lnalnb>ab設(shè)f(x)="x,xwbb1由f(x)在B,b】上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，x且f'(x)<0于是1na-1nb=f(b)-f(a尸f,(Mb-a)<0,ab1n

6、aA1nb故原式成立.ab推論1若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'(x)三0,xwI,則f為I上的一個(gè)常量函數(shù)。推論2若函數(shù)f和g在區(qū)間I上可導(dǎo)，且fx)=g，(x),xwI,則在區(qū)間I上f(x)和g(x)只相差某一常數(shù)，即：f(x)=g(x)+c(c為某一常數(shù))推論3(導(dǎo)函數(shù)極限定理)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)的某鄰域U(x。)上連續(xù)，在U°(%)內(nèi)可導(dǎo)，且極限limf'(x)存在，則f在點(diǎn)為可導(dǎo)，且xxof(x。)=limf(x).x>x)柯西中值定理定理3(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f和g滿足(1)在閉區(qū)間a,b上都連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；(3)f(x)和g

7、9;(x)不同時(shí)為0;(4)g(a)#g(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)-,使得f(b)-f(a)_f()g(b)-g(a)g()x2例5證明1n(1+x)>x-,x>022證明：令f(x)=In(1+x),g(x)=x-土則就是求f(x)>g(x),x>02丁f(0)=g(0)對(duì)f(x),g(x)在(0,1)上用柯西中值定理有：段1=f(x)-f(0)=步,(0,1)就是證明：«)Ag代)，即g(x)g(x)-g(0)ggK)_1Y_1+21(gw當(dāng)0<七<x,工1>0,即f«)>11g().所以原式成立。例6函數(shù)

8、f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0<a<b)，試證：存在之w(a,b),使得f(b)-f(a)=(ln與f().a證明：令F(x)=lnx,易知f(x),F(x)在a,b上滿足柯西中值定理的條件，于是可得存在Uw(a,b),使f(b)-f(a)f()出,F(b)-F(a)F()即f(b)-f(a)f()InbTna1E亦即f(b)-f(a)=(lnb)f().a求不定式極限：1.0型不定式極限0定理4若函數(shù)f和g滿足：(1)limf(x)=limg(x)=0;xF0xF0(2)在點(diǎn)小的某空心鄰域U0(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)#0；(3)lim2;兇

9、9;=A(A可為實(shí)數(shù)，也可為墳或叼，xfg(x)則limglim再必Xrg(x)x既g(x)例7求limx0xxx(e1)-2(e-1)解：這是0型不定式,0limx_0xxx(e1)-2(e-1)=limxP3xxxx(e1)xe-2e=limxp3x1xex-e=limxp3x2xxxexe-e6x例8求lim烏ftanx解容易檢驗(yàn)f(x)=1+cosx與g(x)=tan2x在點(diǎn)x0=n的條件下滿足洛必達(dá)法則的條件,又因所以f/xsinxlim/=lims一一gxJ2tanxsecx_3cosx1x二22fxf/x1lim=lim-二-XfgxXfgx22、二型不定式極限oO定理5若函數(shù)f

10、和g滿足(1)limf(x)=limg(x)=二xf0xx0(2)在點(diǎn)小的某右鄰域u%)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)#0；(3)lim£0=A(A可為實(shí)數(shù)，也可為加或空),x-及g(x)lim5lim4Axfg(x)x-;x0g(x)例9求limln(Sin3x)xPln(sinx)解：這是二型不定式，故Q0limln(sin3x)x0ln(sinx)3cos3xsinx=limx0sin3xcosx3cosxcos3x-9sin3xsinx=limx03cosxcos3x-sin3xsinx=1微分中中值定理在級(jí)數(shù)方面的應(yīng)用例10設(shè)g(x)在點(diǎn)x=0的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

11、并且有下面的極限:幽=0,證明Zg(1)絕對(duì)收斂。nmn證明：丁1mgx=0,且g(x)在x=0處可導(dǎo)數(shù)有g(shù)(0)=0,g'(0)=0.1.o1.g(x)=g(0)g(0)x,g()x=2g()x2.0：x.,g(x)=二當(dāng)x=ma2n21一一由于'?一收斂，由此可知'g(一)收斂n：12nnTnoO例11證正項(xiàng)級(jí)數(shù)£梟(d>0)收斂.nS；.一1,C.證明：作輔助函數(shù)f(x)=，則f(x)=-F.當(dāng)n之2時(shí)，在&口&上用中值定理，有f(Sn)-f(SnJ)=f'(n),(S2S)Sn-'Sn于是anan1/11、,二F.

12、=一(77一飛)Sn，n-Sn二Sn,:-111一一I,1由£1(*-4)收斂，即得所證.n"SnSn"討論方程根的問題：例12a為多項(xiàng)式f(x)的二重根的充要條件是a同為“*)與£(x)的根.證明：必要性設(shè)a為f(x)的二重根，則f(x)=(x-a)2g(x),(g(x)是多項(xiàng)式),于是2f(x)=(x-a)g(x)2(x-a)g(x),故f'(a)=0.充分性右a是f(x)、f(x)的根，則有多項(xiàng)式g(x),使f(x)=(x-a)g(x),兩邊求導(dǎo)有''f(x)-(x-a)g(x)g(x),故f(a)=g(a)=0,即a是g(

13、x)的根，則g(x)=(x-a)h(x)，從而f(x)=(x-a)2h(x),即a是f(x)的二重根.一些不等式的證明：例13設(shè)&鼻,4都是正數(shù)，有不等式廂2=或&亙曳nn其中等號(hào)成立=a1=a2="=an證明：取函數(shù)f（x）=lnx,它的定義域是區(qū)間（0,+=c）故1.1f(x)=,f(x)=xx不妨設(shè)a10a20<anaa2.an.a0=或a1+a2+.+anna0=0將函數(shù)“*）=m*在8展開泰勒公式（到二階導(dǎo)數(shù)）1,、1,1、，、Vx>0有Inx=lna。+(xa。)+(vy)(xa。)a2!2.1其中2于a。與x之間，顯然-（2!1于是，Vx>0有l(wèi)nx=lna十一(xa)a0當(dāng)乂=&e2）飛三（0,收）時(shí)，分別有1lna1三lna0(a1-a0)a0，1，、lna2-lna0(a2-a0)a0，.1，、lnan'lna0(ana0)a0將上述n個(gè)不等式兩端分別相加，有:,，1lna1lna2lnan&nlna0a1a2an-na0a0=nlna0即：；ln'a1a2anylnJO-亦即:狗a2an<aia2.an所以，不等式中等號(hào)成立=ai=a2=4亦即:a1a2一一annaia2.一an,-2n因?yàn)?2!1J。所以，不等式中等號(hào)成立W4二