線性代數(shù)模擬試卷及答案

1、線性代數(shù)（文）模擬試卷（一）參考答案一.填空題（每小題3分，共12分），同=2心1=3,則|2A3=1.、J/I23dd”Aa一包rl234a。/I=B/、GGw仇仇-么rl23aaa/I1.設A=Fl23dd"A%么5%為仇h仇123aaa=卸=2*即1.2 .已知向量a=（1,2,3）/=（1,*）,設A=/"其中是a的轉(zhuǎn)置，則A"=3F.（1、解注意到月/=（1。；）2=3,故從嗔面夕乂/面夕）a/個=（的7）（的：）（的/y?個夕。7=y'-la'J3=3n-lA.注若先寫出A,再求A）,與將花比前更多的時間.3 .若向量組q=（1,0,-

2、1）。2）=/30）14=（-1,4次尸線性相關,則攵=-3.解由a”%線性相關，則有1k-1卜034一10k1k-10340kkl4=3(攵-1)-4攵=0.k一1由此解得攵=一3.4.若4階矩陣4與8相似，矩陣A的特征值為"，黑，則行列式K-日解因為A與6相似，所以4,3有相似的特征值，從而工上有特征值1,2,3,4.故一日=1234=24.注本題解答中要用到以下結(jié)論：若A可逆,A的特征值為2,則A-1的特征值為.(2)若a是A的特征值，則/(A)的特征值為/"),其中為任意關于x的多項式.若階矩陣A有個特征值4,則網(wǎng)=444.二單項選擇題(每小題3分，共18分)1矩陣

3、4在(A)時，其秩將被改變.(A)乘以奇異矩陣(8)乘以非奇異矩陣都是線性方程組AX=O的解,只要系數(shù)矩陣A(C)進行初等行變換(。)轉(zhuǎn)置(20-n為(A).(A)(-2,1,1)(C)r-l<001-1、(D)4-2-211>解我們知道，若A*?,媒是齊次線性方程組AX=O的個線性無關的解向量,AX=O的任一解為向量。，昆，,或的線性組合，則2,匕為AX=O的基礎解系，且所含解向量的數(shù)目攵=-，(A),其中為矩陣A的列數(shù).由于。32為AX=O的解，知=3.乂因與與是線性無關的，故八2.因而而(A)、(8)、(C)、(。)四個選項中滿足r(A)«l的矩陣只有(A)項中的(

4、-2,1).3 .設向量組I可由向量組II：拓夕2,血線性表示，則(D).(A)當r<s時,向量組H必線性相關(8)當，>s時,向量組II必線性相關(C)當，ys時,向量組I必線性相關(。)當r>s時,向量組I必線性相關解根據(jù)定理“若可由P>Pi1-P,線性表出，并且s>乙則%,見,巴必線性相關，即若多數(shù)向量可以由少數(shù)向量線性表出，則這多數(shù)向量必線性相關,故應選(。).4 .設A是?x矩陣,AX=O是非齊次線性方程組AX=所對應的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是(D).(A)若AX=O僅有零解，則4X=。有唯一解(8)若AX=O有非零解，則4X=有無窮多解(C)

5、若AX=有無窮多個解，則AX=O僅有零解(。)若AX=有無窮多個解，則AX=O有非零解解方程組AX=與其對應的齊次線性方程組AX=O的解之間有密切的關系.正確作答本題要求掌握以下結(jié)論：(1)非齊次線性方程組AX=有解的充要條件為方程組的增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩.(2)在非齊次線性方程組AX=有解的條件下，解惟一的充分必要條件是齊次線性方程組AX=O只有零解.(3)非齊次線性方程組AX=的任意兩個解之差是齊次線性方程組AX=。的解.由于題干及(A)、(8)項中均未指明AX=有解，即A的秩不一定等于增廣矩陣A的秩，故(4)、(8)兩項為干擾項.由結(jié)論知(。)為正確選項.5 .若矩陣A與6相似，

6、則(B).(A)AE-A=AE-8(B)|川=怛|(C)有相同的特征向量(。)4與8均與一個對角矩陣相似解由A與8相似，知存在可逆矩陣P,使得La尸=8.由此可得怛|=產(chǎn)用=產(chǎn)曬尸卜阡1川尸|=囿6 .設矩陣的秩為44)=/。?,*為？階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是(C).(A)A的任意?個列向量必線性無關(8)A的任意小階子式不等于零(C)若矩陣8滿足氏4=0,則3=0(。)A通過初等行變換，必可以化為(J。)的形式解應選(C).由于"A叱)=?,表明矩陣A的秩等于行數(shù)，即A的行向量必線性無關.根據(jù)矩陣秩的性質(zhì):行向量的秩等于列向量的秩，因此A的列向量的秩等于小.由于?<(列

7、數(shù))，故一定存在?個列向量線性無關，但并不是任意?個列向量線性無關，故(A)不成立.根據(jù)矩陣秩的等價定義“(A)=?表明A至少存在一個，階子式不等于零，但并不要求任意一個，階子式均不等于零，故(8)不成立.(D他是不成立的.若(D)成立,則存在k個行變換匕鳥，小，使巴巴=(5,O),即A=(R-審說明A的后-加列均為零向量，顯然題目未作這種要求.(C)為正確選項.設的機個列向量為，處,，atn,則a即心，,4線性無關，因此，方程組僅有零解.若8=向那是小維、凡,行向量滿足8A=O,即ArBT=、優(yōu)，,即4,加=O,i=1,2,故5=0.三.體題6分)30402222設行列式。=：；3求第四行各

8、元素余子式之和的值.070U53-22解設“4,«=1,2,3,4)為第四行各元素余子式,對應代數(shù)余子式記為兒，(i=l,2,3,4),則A/川+Af42+M43+“44=從41+從42443+4443_2一0-102-7179一八二-7(-1產(chǎn)2223=7x21-134=14x2=28(3-4)=-28.四.(本題10分)301、設4=110，且滿足A8=A+28,求矩陣8.【。1"解由A3=A+28可得(A2E)8=A.矩陣01A(A-2E=1<010-201"100=1-1n02/10|A-2同=1-10110=-10,2故A-2石可逆，從而8=(A2

9、E)-1A.下面用初等行變換法求(A-2)-'.(A-2EIE)=00于是1i10-110(100：2-1-1、0,；二)01012-2-11)iood-111；因此'2(A-2E)-1=2一1-I-2-111;'2B=A-2EYXA=21-1-21邛1Ao10=4-3-2、-23)注因為8=（4-2/廠）,也可以不求（從-26尸而用初等行變換直接求出8.方法如下:1；3-1!-22？00i50;41 j-201'1-114z-2-2、-3-22 3)5-2-2B=4-3-2223,Xz五.（本題12分）已知A,8為3階矩陣,且滿足24-*=8-4石,其中七是3

10、階單位矩陣.4-80£43-80T-2A=21210。20'-10°-2)證明:矩陣A-2七可逆,并求其逆矩陣;1-20、（2）若8=120，求矩陣A.1。02,解由24一g=8-4石知AB-4A+2B=O,從而（4一2七）（84石）=8石或042石）：（34石）=石，故人一2£可逆,且O（4一2七）-丁春（84七）.O(2)由(1)知A=2B(3-4E)T,而，-3-2(B-4E)-1=1-200X注如果只要證明A-2石可逆，那么由AB-4A-2B=O得(A-2E)8=4A.因為4可逆,知14Al=43M*0,故卜_2耶伊0,由此證出A-2E可逆.六.(

11、本題10分)設向量組4=(1,320)1%=(7,0,14,3)70=(2,-1,01)。出=(5,162)7,(1)求向量組的秩；(2)求向量組的一個極大無關組，并把其余向量分別用此極大無關組線性表出.解T7/、30(%。2，%，%)"?"乙1«<031B-7)0010fl4-2勺725)fl73120301100312)10。25、-7-14-4-412，25'121100；30101I4一2r2、030100117703、(100000J10000J2100門+3010-0011.0000；所以向量組的秩為3.71%，%必為其一個極大無關組，且

12、。4=二%+-%+%3七.(本題12分)問。，為何值時，線性方程組X+43+匕=0，x2+2x3+2x4=1,-x2+(a_3)X3_2x4=b,3X|+2x2+x3+axA=-1.有惟一解，無解，有無窮多組解?并求出有無窮多組解時的通解.101=0-1、3211010-1,01解對方程組的增廣矩陣進行初等行變換：11!0、22=1。一3-2：b111j0、22;1!。一3-2；b-2-3!-1,/111010122100。一10b+<000a-0;當aW1時,r(A)=r(A)=4,方程組有惟一解.當“=1,。一1時"(A)=2vr(7)=3,方程組無解.當。=1,6=-1時

13、"(4)="從)=2<4,方程組有無窮多組解,這時,得同解方程組:內(nèi)+x2+x3+x4=0,<x2+2x2+2x4=1.令X3=七=0,由此得到一個特解為：/=（-1，。，0）'另外，原方程組的對應齊次線性方程組的同解方程組為:玉+x2+x3+x4=0,x2+2x2+2x4=0.依次令為=1,天=0;工3=0,%4=1得到一個基礎解系=(l,-2,l,0)r,%=(1-2,0J)7.220、若矩陣A=82a相似于對角陣A,試求常數(shù)的值，并求可逆矩陣尸<006,使尸-%P=A.解由矩陣A的特征多項式z-2-2|花-旬=-82-2000一2-6=(&q

14、uot;6)z-2-2-82-2=(26)(2+2),得知A的特征值為4=4=6,4=-2.由于4相似于對角陣A,而2=6是二重特征值,故2=6應有兩個線性無關的特征向量，因此矩陣6E-A的秩必為1,從而由,46E-A=-8<°-20、(4-240-»000100O'a0,矢口a=0.當4=6時，由(6E-A)X=O,4-26E4=-84i000A(2T0、0-100叫00,得到矩陣A屬于特征值2=6的特征向量為%=(1,2,0)。£2=(0,01)7.當兒=一2時,由（一2七一A）X=O,，-4-2E-A=-8<°-20、-400一

15、8,"2T0、°10、0100,得到屬于特征值2=-2的特征向量為4=（-2,0）。那么，令01、P=（與，與,£3）=20-2、010,則6、p-'AP=A=6.<-2>九.（本題5分）設向量/可由向量組q，%，%線性表示，但不能由向量組q,a2。一線性表示，證明:%不能由向量組%,a2a.1線性表示.證用反證法.若%=:%+3+射w(1)乂已知P=11al+l2a2+/一回T+lrar,(2)將代入,整理得0=。+«)%+(/-+krJr)07這與月不能由向量組%,見,%一線性表示的假設矛盾，所以得證明不能由向量組-I線性表示，線

16、性代數(shù)(文)模擬試卷(二)參考答案一.單項選擇題(每小題2分，共16分)一2%2一2%2等于(C).一2%224(。)-24解根據(jù)行列式的性質(zhì)，有2a”一aCl2"13一2a21-2a23-2a22=(-"I)“212223=(-2)3(-1)x3=24-2ai_2%3-2a32«31%2%3故選(C).2 .下列階行列式的值必為零的是(B).(A)主對角元全為零(B)三角形行列式中有一個主對角元為零(C)零元素的個數(shù)多余個(。)非零元素的個數(shù)小于零元素的個數(shù)3 .已知矩陣&*2,82x3，gx3則下列運算可行的是(C).(A)4c(B)CB(C)ABC(

17、D)AB-BC解兩矩陣A與B可以相乘的條件是:矩陣A的列等于矩陣B的行,依此條件，應選(C).4 .若A,8均為階非零矩陣，且5+8)(4-8)=42-82,則必有(B).(A)A,8為對稱矩陣(8)A8=A4(C)A=E(D)B=E解因為(4+8)(4-8)=1-鉆+胡-32,矩陣的乘法一般不滿足交換律,只有當A3=3A(A與8可交換)時，上式成立，故選(B).kx+z=05 .設齊次線性方程組"+ky+z=O有非零解，則k的值為(A).kx-2y+z=0(A)2(8)0(C)-l(D)-2解該齊次線性方程組有3個方程,3個未知數(shù),則根據(jù)克萊姆法則,當系數(shù)行列式k01D=2k1=2

18、&-4=0k-21時，有非零解.故選(A).6 .若向量組，6線性相關，則一定有(B).(4)因,%.1線性相關(8)%,田，,。川線性相關(。)%,1%-1線性無關(。),%，。川線性無關解本題要求掌握以下結(jié)論：若在向量組名,中，由部分向量構(gòu)成的向量組線性相關，則整個向量組必線性相關(部分相關整體必相關)；(2)若向量組囚,4,?！熬€性無關，則任意抽取部分向量構(gòu)成的向量組必無關(整體無關部分必無關).因此,（A）、（C）均不能肯定。）也是不一定的.故選（B）.7 .設4,8是同階實對稱矩陣,則48是（D）.（A）對稱矩陣（8）非對稱矩陣（C）反對稱矩陣（。）以上均不對8.設A為一個可

19、逆矩陣，則其特征值中（C）.（A）有零特征值（B）有二重特征值零（C）無零特征值（。）以上均不對解因為閾=4,若A可逆，則同w0,所以4均不能為零，故選（C）.二填空題（每小題3分，共18分）1.行:歹IJ式。=000400300200100024解法1利用反對角行列式=(-1)2a,/解法2由于此行列式只有4階,也可以按某一行（列）展開后計算結(jié)果.2.A,8均為3階方陣,A=2況且同=3,則|卸=:解因為3=所以冏=3.若A,8為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣為岱北）.解應記住以下幾個常用結(jié)論:4、(1)若A="，且凡均可逆，則、勺A；1B一、端，'4、(2)若A=.4，且4

20、均可逆，則4>一=i''出Ur1)若X=且”均可逆，則x-=:2.DCy<-CdACJ(4)若X=，且A,C均可逆，則X-:若X=，且“可逆，則XT=C夕C(AC,314.設4=1-113若X=C2且A<可逆，則X-f_工"022-1,則兒4)=-44,一解因為p-1A>31131二A00X2fZ025-4”-12-1、4-65,000<101°X-144所以A的秩為2.5設4=（一1,3,1）,。2=（2,1,。）,%=。，4，1）,則生。2烏線性關.因為-131=0,所以4。2,%線性相關.6.設A2=EMA的所有特征值為土

21、1.解設A的特征值為3特征向量為外則Aa=Aa,A2a=A2a.因為A'E,則。=2%,即（萬-1）。=。.乂。為非零向量，所以不1=0,即三.（本題6分）0-1-11-10計算行列式t.-12-12111一1原式=0103解-12-10211-1331一40-1-12-13=6.1-4四.（本題6分）1設八=-2-n0,B=3,1-12、4,21，求AB7-C.4,解ABt=-2、1-103-142-38-3、-715,，-3-5'AB'-C=-6-8<7H；五.（本題8分）解矩陣方程AX+8=X，其中A=-1op1,B=2JL-n0-3;解由AX+3=X網(wǎng)得(

22、A-E)X=-8,而J(A-E-B)=-1、一110；-10Ii-2!00；-5*n(00：5-3'10=4-201:3-3；r5-3、.X=4-23-3z六.（本題10分）試求向量組4=(1,0,1。1匕4=(。，1，。)7=(1，1，。，1，。兒=(-3,-2,3,0,11,%=(-2,-1,3,-3,3)丁的一個最大無關組，并寫出其余向量用此最大無關組的線性表示式.解由<100111-3-2-1幾F(00111-3-2-2、-1(4%)=11033)01-1650010-30010-31013Z101-145Z(0001°00001°01-3-2、11-

23、2-10-286010-30-266,01-3一2、001000000Jo01-3一2、11-2101-4-3004000-20010-2、110-1010-300100000Z,PX。001°(010001fl0001020-30001k0000所以,取名,%,%,%為一個最大無關組,且%=%+2%-3%.七.(本題12分)設方程組M+3x2-2占+4x4+x5=72x)+6x2+5x4+2x5=54%+1lx2+8X3+5x5=3x+3x2+2x3+x4+x5=-2解此方程組，并用其導出組的基礎解系表示全部解.3-2417）100A=260525->010411805300

24、113211-2&00/解19T43-40-1'-11令看=公=0,由此得到原方程組的一個特解:71-2-119400令七="七=0；/=0/天=1得到導出組的一個基礎解系:_2417=3，%=0.1。Uj所以，原方程組的解為47+4%十九其中4,4為任意常數(shù).八.（本題14分）1-22、設4=-2-24，求A的特征值，特征向量.、24-2,解因為A的特征多項式為A-12-2AE-A=22+2-4=(2-2)2(2+7),-2-42+2所以A的特征值為4=4=2,4=-7.當4=幾2=2時,2-224-4-2-44人。-200所以對應的特征向量G/+c2%（G<

25、2不同時為零）當人=7時，-82-22-5-4-2-4-5所以2-1對應的特征向量為（G不為零）.九.（本題5分）設名，見是齊次線性方程組AX=O的一個基礎解系/正明:4=即A=2+%P3=%+%+%也是AX=O的一個基礎解系.證令&應+無色+自夕3=0,即ka+攵2(%+%)+&(4+%+%)=0,(k+k2+%3)4+(&+砥)2?+勺。3=。.因為囚,見,。3是AX=O的一個基礎解系,則,%，。3線性無關,所以k、+k?+k=0k,+攵3=0.&=0解得占=K=勺=0.所以月,打,用線性無關,且基礎解系中所含的向量的個數(shù)為3,命題得證.十.（本題5分）證明

26、:如果T=A，但A不是單位矩陣，則A必為奇異矩陣.證用反證法.假設A可逆,且其逆矩陣為At.因為1=A,所以A1-A=AA-E)=O,即ATAA-E）=O.由此得A-E=O,A=邑這與A不是單位矩陣矛盾!因此A不可逆，即同=0,所以A必為奇異矩陣.線性代數(shù)（文）模擬試卷（三）參考答案一.填空題（每小題2分洪20分）1.設四階行列式。=1011458203-20-27012.0b00A”=abdf.按第一行或第一列展開即可.002、r0-106130MA-1=04-2250,10073.設A=2;則解設q=,4=V2;5一3一凡21J23、-b于是2=-A4.三階矩陣A按列分塊為A=（4，4,4

27、）,且網(wǎng)=1,則-24出-34閶解交換該行列式中兩列的位置，則原式=一網(wǎng),434,4-2閡=一內(nèi),&,4-2A31=一|4，492閨二(2)同=2.5.A為三階矩陣,A"為A的伴隨矩陣,已知同=-2,則=*4.6.設A=123<0-1-203246012-100、011;,則"A)=3.-1-203246012-100、011;T00、0-130020001-44000、。0、100>-1033200010-400、011>r(A)=3.7.A為三階矩陣，且同=3,則|2(AT)2(2A2)-'|=-.解原式=2(*)2一幻*2=外力2=(

28、W=j.2221Al88 .設.=(1,0,1)、%=(0,-1,-1尸,%=。，1了,=(3,5,6)7,且有P=石囚+x2a2+當。3,則玉=，；£=2.9 .若向量組因=(1,2,3),%=(3,1,2),4=(2,3,4)線性相關,則“=*.10 因為向量組四2，出線性相關，則有1 322 -13=-7a+35=0,3 2。解得。=5.1-10、10.設4=2x0的特征值為1,2,3,則x=4.Q2J-解矩陣A的特征多項式為2-110|AZA|=2Ax0(A1)(元(x+1)A+x+2).-4-2A-l因為九=1是4的特征根，所以4=2,%=3是(才-(x+1)2+x+2)=

29、。的兩個根，把4=2代入得了=4.二.單項選擇題（每小題3分洪15分）1 .設%,%是AX=O的解,4,凡是AX=8的解，則(C).(A)24+4是AX=O的解(8)4+尸2是4*=3的解(C)4+%是AX=O的解(。)回一萬2是4¥=3的解解根據(jù)非齊次方程組解的性質(zhì)可知選(C).2 .向量組4,線性無關的充分條件是(C).(A)%,4，4均不是零向量(8)%。2,中有部分向量線性無關,4中任意一個向量均不能由其余5-1個向量線性表示(。)有一組數(shù)勺=攵2=-=勺=。,使得攵1%+-+(。、=。解選項(A),(8)都只是向量組線性無關的必要條件，而不是充分條件.選項(。)是錯誤的，若

30、將“有一組數(shù)”改為“當且僅當”時才為正確.所以選(C).3 .設A是階可逆矩陣津是階不可逆矩陣，則(D).(A)A+3是可逆矩陣(8)A+8是不可逆矩陣(C)AB是可逆矩陣(。)A8是不可逆矩陣解由題設知同W0,同=0,所以|Aq=同同=0,即AB是不可逆矩陣，應選(。).但是當A可逆,8不可逆時,A+8是否可逆不能一概而論，例如，(10、(一若取A=,B=o0，則A可逆,5不可逆，但A+B=*是不,011(11)可逆的,若取C=，則。不可逆的，但A+C=是可逆的.故(A),(8)是不正確的.000、4 .與A=030相似的矩陣為(C).<oo3>010、(8)031C°

31、3,，10、(C)030、003,003、(4)030、000,01P(D)031、003,解因為(A)中矩陣的特征值為4=4=0,4=3,所以A不能與A相似.(8)中矩陣的特征值為4=0,4=4=3,但對二重根九=3,因r(3E-4)=2,所以&不能對角化，&也不能與A相似.(。)中矩陣的特征值為4=。，4=4=3對二重根丸=3,因“3七一&)=1,所以&可對角化，故(C)成立.5.已知5為可逆陣,則(8*口-甲=(A).(A)B(B)Bt(C)B-1(。)(歹|)7解(8-y7=(*)-=(")7=8,故選(A).3 .(本題5分)-533-111

32、-4213的值.-5-32計算行列式10-1解原式三G+G0100-1131一15-111-53-50按第例展開，八(-1)-111-1-5-50-620-5-50-62-5-5=40.4 .(本題6分)-10,求(A+2E)-i(a2-4E).已知A=11、21解(A+2EYA2_4E)=(A+2E)”(A2E)(A+2E)=(A+2E)T(A-2E)(A+2E)=E(A+IE)=A+2E-1-111、0-b五.(本題10分)因=(1,-124)0=(0,3,1,2),4=(3，。，7,14),4=(1,一2,2,0),%=(2,1,5,10).求它們的秩，及其一個極大無關組,并將其余向量用

33、該極大無關組表示.,其）=0312T0312、130-21011-13172500010214010,、00000)，1-12<4所以，所求向量組的秩為3,取4。2,%為其一個極大無關組，且%=3%+ct2,a、=2a+a2.六.（本題6分）q已知A=1J1-110,B=-22)I12-1、10，求氏*.03,BAt=-2、12-1Y11101-1131=-12)I1-11-3-117,七.（本題6分）'1設川=213、37,求.由（與尸49,A平和|a-'|=-1,又因為4是A-I的逆矩陣,可以求得1-32、A=-301、11-I13-2、/.（4尸=30-1.-1-1

34、1;8 .（本題6分）已知%,%,4線性無關，設P=a+2a2-a3,/=2%-4+%，-=4%+3%-%判斷4，A次是線性相關的.解若口血血是線性相關的，則存在一組不全為零的數(shù)人人，網(wǎng)使得k艮+%血+Z3P3="即方程組k+2k）+43=0<2kx-k2+343=0k1+k2-k3=0有非零解.乂因為該方程組的系數(shù)矩陣1A=2124fl2-13-01100410,所以，A的秩為2v3,方程組有非零解.所以存在一組不全為零的數(shù)占,%2，23,故4,A，鳳是線性相關的.9 .體題12分）對于線性方程組+X)+A3'X,+Ax2+x3=-2,X|+x2+&3=-2討

35、論為取何值時，方程組無解，有唯一解和有無窮多組解.在方程組有無窮多組解時，試用其導出組的基礎解系表示全部解.解因為系數(shù)行列式211121=(2+2)(41尸.11A.當力工-24W1時川I克萊姆法則知方程組有唯一解.(2)當=-2時，對增加廣矩陣作高斯消元，有-211A=1-21<112一5、(00一2-1-2-2)1110一9、1-2一2-2,第一個方程矛盾，故方程組無解.(3)當4=1時,有口1A=11<111一21(11-2-001-V。1-2、0000,可見4)="不)=1<3,故方程組有無窮多組解,乂由此可得與原方程組同解的方程組為X=-2-占-占.令工2

36、=工3=。,得其特解0=(-2，。，。)'.與原方程組的導出組同解的方程組為項=-占-匕由此可得基礎解系為4=(-1,0)小2=(-1,01)7.原方程組的全部解為數(shù).十.（本題8分）1-2設矩陣4=-24J-4使得p-）p為對角陣.1、+k1o+k20，其中是任意常<1>2、-4，問A能否對角化?若能,試求可逆陣陣P,4,解因為A是實對稱矩陣,所以可對角化仙|2E-A|=A>t-9)=0/得矩陣A的特征值為4=4=。，4=9.求得4=4=。的特征向量為四=16a2=0<1>4=9的特征向量為2-2令尸=10011(0-2，則有P"AP=A=02

37、I。00、000%十一.證明題（本題6分）已知E+AB可逆，試證E+BA也可逆，且(E+BA)-l=E-B(E+AB)-'A.分析本題因為已經(jīng)給出(E+A8)7,故只需驗證(E+3A)(E-B(E+AB)-lA)=E即可.證因為(E+BA)(E-B(E+AB)-A)=E+BA-B(E+AB)-A-BABE+AB)-lA=E+BA-B(E+AB)(E+AB)-lA=E+BA-BA=E.故可知七十8A是可逆，且E+BAY=E-B(E+AB)XA.注本題若沒有給出條件:已知E+A3可逆，一般的證法如下:因為(E+AB)A=A+ABA=A(E+BA)；故A=(E+AB)-lA(E+BA)而E=

38、E+BA-BA=(E+BA)-B(E+AB)-lA(E+BA)=E-B(E+AB)lA(E+BA).由此知七十ZM也可逆，且(E+BAY=E-B(E+ABYXA.線性代數(shù)（工科）模擬試卷（一）參考答案丁一321z-34=£.1一填空題（每小題2分洪20分）x31x-31 .若y01=1,則5z211解將第三行的3倍加到第一行，笫三行的-2倍加到第二行,可得原行列式的轉(zhuǎn)置行列式.2 .設A為階方陣，且同=一2,則（-；4+從.=（-1尸.解（-9尸+與=-3+印卜卜5A1=(_5)"百=(一1)”.-i£3 .方陣8為幕等矩陣，即心&且A氏則八赳-A）.解由

39、8?=民且人=E+8,由此可得：3A-A2=2E即牛&則有AT=J(3EA).4 .設A是4x3矩陣，且A的秩NA)=2,而102、B=020,則r(A8)=2.1-1。V解因四=10。0=3可逆,則兒48）=”4）=2.5 .設階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為-1,則線性方程組AX=0的通解為(1,1,，1)。解因A的各行元素之和均為零，所以可得(1,1,尸是方程組AX=0的一個解，而A的秩為-1,故方程組4X=0的基礎解系只含有一個解向量，即方程組AX=0的通解為“1,1,1)。6 .設/=(1,1,1),4=(a,0,。)，4=0，3,2),若%線性相關,則。力滿足關系式

40、“=勃.1a1解aaay=103=0=a=2。.1b27.設二次型f(xlyx2ix3)=2xi+君+2xjX2+tx2x3是正定的，則f的取值為一拉vfv«5./210解此二次型的矩陣為4=11-，則A的各順序主子式為20-12>Aj=2>0,A)=解得-8 .已知w+乂/+i,x+i是Mn的一個基,多項式/關于這個基下的坐標是(1,0,0,0).解x3=l-x3+O-（x3+x）+O-（x2+l）+0-（x4-1）.9 .在A'中線性變換b（$,，當）=（2為-/，+石，為），那么。關于基鳥=（1，2-10、0,0）,£2=（。，1，。），£

41、;3=（°，°，1）下的矩陣是011.解OS.=2s.=-£.+£lyGEx=£,B|J'2-10、（go%,%）=5,%）011.J0610.已知3階方陣A的特征值為5,-1（二重），則A:+3A+E卜丑.解已知3階方陣A的特征值為5,-1（二重）國得3階方陣T+3A+E的特征值為則A2+3A+£：|=41«（-1）.（-1）=41.二.選擇題（每小題3分，共12分）1 .設A8為階非零矩陣滿足A8=0,則A和8的秩為（B）.（A）必有一個等于零（8）都小于n（C）都等于（D）一個小于一個等于解因A3=0,且A與3

42、為階非零矩陣，可得A與8都為不可逆矩陣，即A和8的秩都小于.現(xiàn)說明A與8都為不可逆矩陣.用反證法.假設A是可逆的，則一定有A-1存在,對等式AB=0兩邊左乘有4-飛8=0,即得8=0,與已知矛盾.故A是不可逆.同理可證8也是不可逆.2 .非齊次線性方程組AX=中未知量的個數(shù)為，方程個數(shù)為明而AX=0是它所對應的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是(D).(A)若AX=0僅有零解時，則方程組AX=8有唯一解(8)若AX=0有非零解時，則方程組AX=。有無窮多組解(C)若AX=0有無窮多組解時,則方程組AX=0只有零解(。)若AX=有無窮多組解時，則方程組AX=0有非零解解若AX=0僅有零解時，能得

43、"A)=,但也有可能“力)工44/%從方程組AX=無解;例:方程組0<10k/11=0"4)=2,此方程組只有零解,方程組0r(A)=2Wr(Ab)=3,此方程組無解.(A)是不正確的;同樣(8)也不正確;而AX=有無窮多組解時，得“A)=r(A)="川J方程組AX=0有非哥解.3 .設同用均為“伽2)階行列式，則(C).(A)A+B=A+B(B)A-B=-Bna。IM=14網(wǎng)(D)B0=|a|.|b|0A，解(A)和(8)顯然是錯誤的;而=(-1門山即即(O)也是不正確的.4 .設階方陣A為正定矩陣,下列結(jié)論不對的是(D).(A)A可逆(8)AT也是正定矩

44、陣(C)網(wǎng)0(D)A所有的元素全為正數(shù)解由A為正定矩陣，可知A的所有特征值均大于零，則A的行列式大于零所以(C)是正確的;從而也可得4可逆，即(A)也正確;乂因A-的特征值和A的特征值互為倒數(shù)，所以A-的特征值全部大于零，故4T也是正定矩陣,(8)正確.三.(本題8分)計算行列式011120£>=103100解根據(jù)行列式數(shù)字的特點,可作第j列提出公因數(shù)、然后把從第2列開始的每列的-1倍加至第1列,把行列式變?yōu)樯先切辛惺?，即c1110.1123n一5一3一"n231100010D=;?!101-0=77!0011001000=3+Z5n四.(本題12分)1n001設向

45、量組4=(1,1,3)7：%=(-1,-3,5,1)7,4=(32-1,+2)7,%=(-2,(1)p為何值時,該向量組線性無關?并在此時將向量a=(4,1,6,10)丁用向量組生,%,%,%線性表示;（2）p為何值時,該向量組線性相關?并此時求它的秩和一個極大無關組.解-1-2003-1-4!0:一2?4一3lpj當P02時”（6,23，%）=4,則%,火。3。4線性無關，并可求得：3/?-4一2（2）當P=2時”（即%，4）=3,則線性相關,向量組為其一個極大無關組.五.（本題8分）（11-n設矩陣A=-111，矩陣X滿足HX=aT+2X,其中A是A的伴隨矩陣,求矩陣X.解在A'X

46、=A-'+2X的兩邊左乘A，得A4X=AAT+24X,即有|A|X=E+2AX,移項得(|A|E2A)X=&于是X=(|A|E-24)111一1因同=一102020010。4,2-2<222-2-2'22)0、1b六.（本題10分）求非齊次線性方程組2x+yz+w=13x-2y+z-3w=4x+4y-3z+5w=-2的通解.解對增廣矩陣作初等行變換:（A降）=1-24-11-314-2>7570£7970從最后的階梯形矩陣可知,其導出組的通解為:67其一個特解為_5"700J故原方程組的通解為七.(本題12分)求一正交變換，將二次型/(工

47、1，*2，、3)=X：+4x；+4.V3-4匹工2+4匹匕一8占*3化為標準形.此二次型的矩陣A=-2、2-22'4-4.解特征方程-44）得A特征值為4=4=。,4=9,22-224=22（2-9）=00A-4解齊次線性方程組(O£-A)X=O與(9EA)X=0,即-122-4244x2=0一4人X3J，822-2X,4x25人再J得與二重特征值0對應的線性無關的特征向量為771=(2,1,0),=(-2,0,1),；與特征值9對應的特征向量為小=。，-2,2)7.將正交化、單位化.因?qū)崒ΨQ矩陣不同特征值對應的特征向量必相互正交,所以必與7或7必相互正交,取4=%,6=占=:(1，-2,2)7'；陽3取取=小一(小心甩=§(2'45)/，%=py-=4,5)7.3&423作矩陣。，為正交矩陣，有Q-lAQ=Q'AQ=A=000、。0>正交變換X=QY使f=X'AX=(QY)rA(QY)=Y1(QlAQ)Y=Y1AY=9y；.八.(本題12分)設線性空間Km,(1)求A3在基底：145，0-rJ°,T-1、0010、00下的坐標向量；(2)驗證:主對角線上的