最小二乘復(fù)頻域法(PolyMax)

1、最小二乘復(fù)頻域法（PolyMax）SX1201069虞剛PolyMax模態(tài)識(shí)別方法,屬于多自由度時(shí)域識(shí)別法,也稱作多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法（Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod）,是最小二乘復(fù)頻域法（LSCF）的多輸入形式，是一種對極點(diǎn)和模態(tài)參預(yù)因子進(jìn)行整體估計(jì)的多自由度法，一般首先通過實(shí)驗(yàn)建立穩(wěn)態(tài)圖，以判定真實(shí)的模態(tài)頻率、阻尼和參預(yù)因子；建立可以線性化的直交矩陣分式模型，然后基于正則方程縮減最小二乘問題，得到壓縮正則方程，于是模態(tài)參數(shù)可以通過求解最小二乘問題得到。該方法集合了多參考點(diǎn)法和LSCFf法的優(yōu)點(diǎn)，可以得出非常清晰

2、的穩(wěn)態(tài)圖，并且密集空間可以被分離出來，尤其在模態(tài)較密集的系統(tǒng)（動(dòng)力總成系統(tǒng)），或者FR嗷據(jù)受到嚴(yán)重噪聲污染的情況下仍可以建立清晰的穩(wěn)態(tài)圖，識(shí)別出高度密集的模態(tài)，對每一個(gè)模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識(shí)別精度，是國際最新發(fā)展并流行的基于傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法。其基本思想如下：（1）建立頻率響應(yīng)函數(shù)模型多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域識(shí)別技術(shù)（PRLSC或PolyMAX要以頻響函數(shù)矩陣作為識(shí)別的初始數(shù)據(jù)，其數(shù)學(xué)模型采用右矩陣分式模型來描述。在頻域中，系統(tǒng)輸出。（o=1,2，No,其中N0為輸出點(diǎn)數(shù)）和全部輸入的關(guān)系可用右矩陣分式模型（RMFD來描述，右矩陣分式模型的表達(dá)式為1H°g）=U0g）D

3、（o）（1）式中：H03/Cl網(wǎng)一理論頻響函數(shù)的第o行，Ni是輸入點(diǎn)數(shù)，即激勵(lì)數(shù)；Uo（o）-ClxNi一分子多項(xiàng)式行向量；Do儂產(chǎn)CNi刈一分母多項(xiàng)式矩陣。且U。儂劑Do儂）可以表示成如下形式：nUo：一Z-Borr=0(o=1ZNo)(2)nDo='、乙'Arr=0式中：N一多項(xiàng)式階次其中分母系數(shù)矩陣ArWRNixNi和分子系數(shù)行向量BoreRl對是待估計(jì)的參數(shù)。所有這些系數(shù)合并為一個(gè)矩陣。其中0。0、Po=，Bo1除R”I:IBonTTa)(4)A'Bo=CRNi”滬I:IAn式(2)和式(3)中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù)Zr(0),一般地，有以下兩種選擇:Zr一i.對于

4、連續(xù)時(shí)域模型，可取為(6)''1'''N式中：一上一縮放因子，用來提高方程的數(shù)值狀況。2ii.對于離散時(shí)域模型，可取為Zr(o)=eW")式中：Ts一采樣周期。通常采用離散時(shí)域模型。(2)參數(shù)的線性化通過試驗(yàn)測量出的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣勵(lì)f把CNo小，用。勵(lì)f、C1列表示實(shí)測頻響矩陣的第o行，(o=1,2,，No,f=1,2,，Nf),那么關(guān)于參數(shù)矩陣日的非線性最小二乘(NLS目標(biāo)函數(shù)可表示為NoNf鼠®)=£ZtrVSfof,Q)Hf&»(8)odf=1式中：一矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置；tr()矩陣的跡，即矩陣的主對

5、角元素之和。通過對式（8）求極小值，便可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系數(shù)的估計(jì)值，即e矩陣的估計(jì)值。式（8）中的加權(quán)非線性最小二乘誤差函數(shù)被定義：6LS3,8片雙防朝0缸,日卜彳*f）=雙6）Uo（a）f.Po）,D/3fp卜，加f）(9)上式中Wo儂f）是一個(gè)加權(quán)函數(shù)。一般地，為了提高估計(jì)的質(zhì)量，我們采用Wof)Ho|var1Ho,：；i)；(10)式中：var一方差，可用相關(guān)函數(shù)求取。也可使用公式W.f=varlH。J(11)來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都考慮了測量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的好壞：測得頻響的方差越小，對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)越大。非線性誤差函數(shù)可以經(jīng)過一個(gè)近似的處理為一個(gè)線性的問

6、題。實(shí)際上，通過對%NLS（初心）右乘Dgf），則可以得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)為線性的方程，此加權(quán)線性最小二乘（LS）方程誤差以（%,6）為產(chǎn)“尸-；尸0一=Wo(SfXUo3f,Bo)D,阿p)Ho3f)Df”)(12)N=Wo-fVZr.fBor-Zr'fH'。Arz0這樣式（12）關(guān)于參數(shù)為線性，將所有頻率點(diǎn)裝配成一列，f=1,2,111,Nf,它可用矩陣形式來表示8LSfa日LS"PA:>=【Xo訓(xùn)。>=Jo*»（13）LSII卜I；S-Nf尸其中:Wo,'1-'1,Zi，1JH,Zn-.1Xo(14)Wo儂Nf)Zo(«

7、;Nf)4儂n，III,Zn儂Nf'Nf)Zo儂L),乙(即,M",Zn(NfJ-W,(©1)Zo(01),Z1(01),|,Zn(01Ho(«1),丫。wCNfXNi-)(15)式中，®Kronecker積。（3）縮減標(biāo)準(zhǔn)方程加權(quán)線性最小二乘估計(jì)表達(dá)式為No通）Jtr產(chǎn)o1NofHLS1oU式中:同時(shí),式中,=£tr羽o以TRo：sTtomL(16)Ro=ReXoHXorn1N1目標(biāo)函數(shù)（16）等價(jià)于.f：Ls-tr的ReJHJ）舊）(17)J是Jacobian矩陣,X0被如下定義0HIX2丫11丫2CNoNfN1No-Ni(18)0

8、HIXNoYNo為使.匕（日）值最小，將£ls（8）對系數(shù)矩陣Po和a求導(dǎo)，并令其為零-*£ls步)=2(RA+SoB)=0(。=1,2,|但No)(19)二-o二Nots(9)=2RK+中)=0(20)由式(19)得到久=-&飛°0,把它代入式(20)得No2E(To-sTRo4so)Q=M。=0(21)-o=i-No其中，M=2|Z(To-S：R'S)wRNi(N4T”)。J-由式(19)和(20)得到標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)過整理，此標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式為一R0III00R2III0+>+1+12|00IIIRno.STSTIIISTOS1S2PP.S

9、NNo工Too：=2Re(JHJ=0aJ(22)式(21)即為“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，其中矩陣M維數(shù)為N(N+1FN(N+1),比標(biāo)準(zhǔn)方程式(22)中的Re(JHJ)的維數(shù)(No+NXN+1)x(No+NiXN+1)要小的多。(4)求解縮減標(biāo)準(zhǔn)方程通過求解“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，便可得到分母系數(shù)矩陣«。根據(jù)線性方程組的求解理論，先對系數(shù)矩陣口施加一個(gè)約束。假如，設(shè)定系數(shù)矩陣«中的一個(gè)系數(shù)矩陣塊等于正則常數(shù)矩陣(例如設(shè)系數(shù)矩陣口的最后一個(gè)矩陣塊口(N+1)=lNj),在這種前提下，縮減標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)锳X=B(23)其中A=M1：NjN,1：NiN系數(shù)矩陣«的最小二乘估計(jì)為X,叱S

10、=V卜X=AB(24)INi一旦求得了Rs,那么通過Po=-R1So。就可得到所有的分子系數(shù)Ks,o這種方法考慮了標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特性，比直接求解方程(22)要快得多。確定了分母系數(shù)矩陣a后，通過求解a的伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可以得到了系統(tǒng)的極點(diǎn)和相應(yīng)的模態(tài)參與因子。方程如下一0IIII0000|(00：；：V=VA(25)00Hl0I-A0-A：IMAn_2Ana上式中，V,AWCNoN>NoN,矩陣V的最后Ni行就是模態(tài)參與因子；對角陣A的角元記錄為A(i=1,2JH,N°N)由不穩(wěn)定的數(shù)學(xué)極點(diǎn)和穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)點(diǎn)兩部分組成。記穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)極點(diǎn)為=eWs,通過對這

11、些物理結(jié)構(gòu)極進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便可得出結(jié)構(gòu)的固有頻率.和模態(tài)阻尼比；關(guān)系式如下%,加=Qr±idr或九，"=二四士iJi二128r(26)(5)計(jì)算頻率點(diǎn)和阻尼比點(diǎn)根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)基本理論中對系統(tǒng)穩(wěn)定性的描述：系統(tǒng)的全部極點(diǎn)落于s域左半平面(不包括虛軸)，且滿足有界輸入有界輸出原則，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復(fù)特征矩陣A中的復(fù)特征值總是以共腕對的形式出現(xiàn)，同時(shí)也包含實(shí)數(shù)(虛軸上)，在求解頻率點(diǎn)外和阻尼比點(diǎn)G時(shí)，對于每個(gè)共腕對只取其中一個(gè)進(jìn)行分析，且不考慮實(shí)數(shù)。復(fù)特征矩陣A中的對角元A=e4Ts,由式(26),4用Re(d)+i'Im(4)描述，貝URe*iIm-=$一山卻=e7Ts45=

12、e5scosVsisingTs)(27)Re(4)+iIm(Aj=e對(28)arctan1m)=瑞Ts(29)33)所以%=ln(4)(30)(31)x1flm（Ai瑜=一arctan'Ts聞）J由此可求得頻率肺和阻尼比G颯二褥2十仃：<,5（32）-i=-一L劭在求得的頻率a和阻尼比，i包含有結(jié)構(gòu)的固有頻率歷和模態(tài)阻尼比，r,因此，必須對所有求得的劭和。進(jìn)行有效的分析和選取，以確定系統(tǒng)真實(shí)的固有頻率和阻尼比。建立穩(wěn)態(tài)圖就是一種行之有效的方法。（6）建立穩(wěn)態(tài)圖在模態(tài)分析中，穩(wěn)態(tài)圖是幫助實(shí)驗(yàn)者分離結(jié)構(gòu)物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)的一個(gè)有力工具，如圖1所示。通過逐漸增大多項(xiàng)式的階次N,且進(jìn)行相應(yīng)的重復(fù)性分析計(jì)算可