理論力學(xué)(盛冬發(fā))課后知識題目解析ch12

1、第12章動能定理一、是非題正確的在括號內(nèi)打“,、錯誤的打"x1 .圓輪純滾動時,與地面接觸點(diǎn)的法向約束力和滑動摩擦力均不做功.V2 .理想約束的約束反力做功之和恒等于零.V3 .由于質(zhì)點(diǎn)系中的內(nèi)力成對出現(xiàn),所以內(nèi)力的功的代數(shù)和恒等于零.X4 .彈簧從原長壓縮10cm和拉長10cm,彈簧力做功相等.V5 .質(zhì)點(diǎn)系動能的變化與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān),與內(nèi)力無關(guān).X6 .三個質(zhì)量相同的質(zhì)點(diǎn),從距地相同的高度上,以相同的初速度,一個向上拋出,一個水平拋出,一個向下拋出,那么三質(zhì)點(diǎn)落地時的速度相等.V7 .動能定理的方程是矢量式.X8 .彈簧由其自然位置拉長10cm,再拉長10cm,在這兩個

2、過程中彈力做功相等.x、填空題1 .當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在鉛垂平面內(nèi)恰好轉(zhuǎn)過一周時,其重力所做的功為0o2 .在理想約束的條件下,約束反力所做的功的代數(shù)和為零.3 .如圖12.19所示,質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿OA,一端錢接在質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓輪的輪心,另一端放在水平面上,圓輪在地面上做純滾動,假設(shè)輪心的速度為vo,那么系統(tǒng)的動能T1232miV0-m2V0.244.圓輪的一端連接彈簧,其剛度系數(shù)為k,另一端連接一重量為P的重物,如圖12.20所示.初始時彈簧為自然長,當(dāng)重物下降為12h時,系統(tǒng)的總功WPh-kh.2圖12.19圖12.205.如圖12.21所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu),滑塊A與滑道BC之間的摩擦力是系統(tǒng)的

3、內(nèi)力,522T=mr.7.均質(zhì)桿AB,長為I,質(zhì)量為A端靠在墻上,Zmv2.B端以等速率v沿地面運(yùn)動,如圖12.23所示.在圖示瞬時,桿的動能為8.在圖12.24中,均質(zhì)擺桿OA,質(zhì)量為mi5kg,長I1.2m;物塊B的質(zhì)量為m215kg,由桿OA通過套筒帶動在水平面內(nèi)運(yùn)動.設(shè)圖示瞬時,桿OA的角速度1rad/sA60BVAB30h1,h0.9m,那么桿OA的動能為1.2J,滑塊B的動能為6.075J.4Fr.設(shè)摩擦力為F且等于常數(shù),那么曲柄轉(zhuǎn)一周摩擦力的功為6.平行四邊形機(jī)構(gòu)如圖12.22所示,O1AO2Br,O1A/O2B,曲柄O1A以角速度轉(zhuǎn)動.設(shè)各桿都是均質(zhì)桿,質(zhì)量均為m,那么系統(tǒng)的動

4、能圖12.23圖12.24三、選擇題1.假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的動能保持不變,那么(A)其動量必守恒(C)質(zhì)點(diǎn)必做勻速運(yùn)動2 .汽車靠發(fā)動機(jī)的內(nèi)力做功,(A)汽車肯定向前運(yùn)動(C)汽車動能肯定不變3 .如圖12.25所示,半徑為(B)(D)D.(B)(D)R、質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)必做直線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)必做變速運(yùn)動汽車肯定不能向前運(yùn)動汽車動能肯定變m1的均質(zhì)滑輪上,作用一常力矩質(zhì)量為m2的重物,那么重物上升高度h的過程中,力矩M的功W=A.h(A)MR(B)m2ghh(C)Mm2ghR(D)04.均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m,半徑為R,在水平面上作純滾動,設(shè)某瞬時其質(zhì)心速度為V.,那么此時圓盤的動能是12(A)mw25.如圖12.26B

5、Q32(B)mw432(C)mw22(D)mv.所示,三棱柱B沿三柱A的斜面運(yùn)動,三棱柱A沿光滑水平面向左運(yùn)動.A的質(zhì)量為m-B的質(zhì)量為m2；某瞬時A的速度為v,B沿斜面的速度為v2.那么此時三棱柱B的動能T=D.,“、12(A)m2V22/C、1一/2(C)-m2(v12(B)(D)12m2(m1-m2(v12、2V2)、22.2,v2cos)v2sin2V2)V2圖12.266.如圖12.27所示,兩均質(zhì)輪質(zhì)量為m,半徑均為R,用繞在兩輪上的繩系在一起.設(shè)某瞬時兩輪的角速度分別為1和2,那么系統(tǒng)的動能T=D0(A)加21mR222(B)2mr22mr2(C)12mR212mR2(D)2mR

6、21mR12R2222圖12.27四、計算題12-1擺錘質(zhì)量為m,擺長為r.,如圖12.28所示.求擺錘由點(diǎn)A至最低位置點(diǎn)B,以及由A點(diǎn)經(jīng)過最低位置點(diǎn)B到點(diǎn)C的過程中擺錘重力所做的功.解：根據(jù)重力做功的公式,擺錘由點(diǎn)A至最低位置點(diǎn)B,擺錘重力所做的功為Wabmg(r°cosr.)mgr.cos)擺錘由A點(diǎn)經(jīng)過最低位置點(diǎn)B到點(diǎn)C的過程中擺錘重力所做的功為WACmg(r0cosr0sin)mgr0(cossin)12-2重量為2000N的剛體在力F夾角30.如接觸面間的動摩擦系數(shù)f體各力所做的功及合力所做的總功.解：計算滑動摩擦力500N的作用下沿水平面滑動,力F與水平面0.2,求剛體滑

7、動距離s30m時,作用于剛FdfFNf(mgFsin)0.2(2000500sin30o)350N剛體滑動距離s30m時,滑動摩擦力所做的功為WFdFds3503010500(J)主動力F所做的功為WFFscos30o50030cos30012990.4(J)其它力不做功.合力所做的總功為12-3彈簧原長為l°,剛度系數(shù)為WfWFd2490.4(J)k1960N/m,一端固定,另一端與質(zhì)點(diǎn)M相連,如圖12.29所示.試分別計算以下各種情況時彈簧力所做的功.(1)質(zhì)點(diǎn)由Mi至M2;(2)質(zhì)圖12.28點(diǎn)由M2至M3；(3)質(zhì)點(diǎn)由M3至Mi.2cm2cm3cmM3MiM2-1Ox圖12.

8、29解：根據(jù)彈力做功的公式,計算以下各種情況時彈簧力所做的功.(1)質(zhì)點(diǎn)由Mi至M2,彈簧力所做的功為1 22196022叫2-k(122)(0.0220.052)2.06(J)2 2(2)質(zhì)點(diǎn)由M2至M3,彈簧力所做的功為1 22196022W23k(23)0.05(0.02)2.06(J)2 2(3)質(zhì)點(diǎn)由M3至Mi,彈簧力所做的功為122196022W31-k(31)(0.02)0.02022m,幾何尺寸如圖12.30所12-4計算圖示各物體的動能.物體均為均質(zhì),其質(zhì)量為示.l(a)(b)(d)(c)12.30解：(a)桿子作定軸轉(zhuǎn)動,它的動能為T1JO21221ml23二ml26(b)

9、(c)圓盤繞O點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動,它的動能為1.2132TJomR222圓盤繞O點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動,它的動能為1.2112TJomR222(d)圓盤在水平面上作純滾動,它的動能為121,212一mvCJc-mvC222_2Vc2mR()2R32一mvC412-5如圖12.31簧都在同一鉛直平面內(nèi).所示,與彈簧相連的滑塊滑塊的重量W可沿固定的光滑圓環(huán)滑動,圓環(huán)和彈k400N/m.求滑塊M從位置A運(yùn)動到位置100N,彈簧原長為l15cm,彈簧剛度系數(shù)B過程中,其上各力所做的功及合力的總功.解：根據(jù)重力做功的公式,滑塊M從位置A運(yùn)動到位置B過程中,重力所做的功為W重Wh1000.110(J)根據(jù)彈力做功的公式,

10、滑塊M從位置A運(yùn)動到位置B過程中,彈力所做的功為122W彈一k(Ab)2而A0.320.120.150.1662m,12W彈2k(a2B)0.20.150.05m,代入上式,可得40022(0.16620.05)5.03(J)合力的總功為W彈15.03(J)12-6長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以球鍍鏈O固定,并以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動,如圖12.32所示.假設(shè)桿OA與鉛直線的夾角為,試求桿的動能.20cm.A圖12.32圖12.31解：將桿分成許多微段,先計算微段的動能dT1m2dxvm.,dx(x2lsin22.22mxsindx2l整個桿子的動能為ldT022.2Sindx2l12-7摩擦阻

11、力等于正壓力與滑動摩擦系數(shù)的乘積.斜坡頂A處,讓其無初速度地下滑,料車最后停止在,22.2mlsin6為測定動摩擦系數(shù),把料車置于C處,如圖12.33所示.h、s、S2,試求料車運(yùn)行時的動摩擦系數(shù)解：料車在坡頂A處無初速度地下滑最后停止在做功,由動能定理,可知它們做功的和等于零.料車在坡頂A處下滑到C處,重力所做的功為WWhC處,在該過程中重力和摩擦力均要式中W為料車的重力.而料車在坡頂A處下滑到C處,摩擦力所做的功為W摩fWcos.s；h2fWs2而cosVs"h2S,即摩擦力所做的功為W摩fWs1fWs2由動能定理可知,合力的功為零,即W合WtW摩WhfW(s1s2)0解得Si1

12、2-8如圖12.34所示,一不變力偶矩質(zhì)量為明.繞在鼓輪上繩索的另一端系一質(zhì)量為設(shè)初始系統(tǒng)靜止,斜面與重物間的摩擦系數(shù)為hS2作用在絞車的均質(zhì)鼓輪上,輪的半徑為m2的重物,此重物沿傾角為的斜面上升.f.試求絞車轉(zhuǎn)過后的角速度.圖12.33圖12.34解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析和運(yùn)動分析如下圖.絞車轉(zhuǎn)過,重物向上滑動sr的距離.在此過程中,作用在鼓輪上的力偶矩M所做的功為WmM,滑動摩擦力所做的功為WFdFdSfm2grcos,重物重力所做的功為Wtfm2grsin,而其它的力均不做功.故絞車轉(zhuǎn)過后,系統(tǒng)所受的全部力做功的和為WMm2gr(fcossin)初始系統(tǒng)靜止,系統(tǒng)的動能Ti0.設(shè)絞

13、車轉(zhuǎn)過后的角速度為,那么重物沿斜面上升的速度為r,此時系統(tǒng)的動能為1122122122T2一m1r-m2r-(m12m2)r2224由動能定理T2TiWi,有1 22(m12m2)rMm2gr(fcossin)4解得絞車轉(zhuǎn)過后的角速度為2 :Mm2gr(fcossin)-Ir(m12m2)12-9兩均質(zhì)桿AC和BC各重為P,長為l,在點(diǎn)C由錢鏈相連,放在光滑的水平面上,如圖12.35所示.由于A和B端的滑動,桿系在鉛垂平面內(nèi)落下.設(shè)點(diǎn)C初始時的高度為h,開始時桿系靜止,試求錢鏈C落地時的速度大小.ACvCBC圖12.35解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析如下圖.設(shè)點(diǎn)C由高度h下落到地面時的速度為v

14、,而此時A和B兩點(diǎn)的速度均為零.即C落到地面時,桿AC和BC的速度瞬心分別為A和B兩點(diǎn).桿AC和BC的角速度為vACBC一l由于開始時桿系是靜止的,即系統(tǒng)初始時的動能Ti0,錢鏈C落到地面時,系統(tǒng)的動能為1.21.2P212-JAACJBBCv223g點(diǎn)C由高度h下落到地面時,系統(tǒng)所受的全部力做功為hWi2PPh2Ph由動能定理T2TiWi,有3g解得錢鏈C落地時的速度v.3gh12-10兩均質(zhì)桿AB和BO用錢鏈B相連,桿的A端放在光滑的水平面上,桿的O端為固定較支座,如圖12.36所示.兩桿的質(zhì)量均為m,長均為l,在桿AB上作用一不變的力偶矩M,桿系從圖示位置由靜止開始運(yùn)動.試求當(dāng)桿的A端碰

15、到較支座O時,桿A端的速度.圖12.36解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析如下圖.運(yùn)動過程中,桿OB繞定軸轉(zhuǎn)動,桿AB作平面運(yùn)動.由點(diǎn)A、B的速度方向,可知桿AB的速度瞬心如下圖.點(diǎn)B的速度為vbabPBobOB由于PBOBl,所以ABOB.當(dāng)桿的A端碰到較支座O時,P、B、A三點(diǎn)共線.點(diǎn)A的速度為vaabPA2l初始時桿系是靜止的,即系統(tǒng)初始時的動能T10.桿的A端碰到較支座O時,系統(tǒng)的動能為T2L2L2JPABJOOB22112322ml2m(l)222122桿的A端碰到較支座O時,系統(tǒng)所受的全部力做功為llWM2mg(cos)22由動能定理T2TiWi,有1122422(ml2)ml2233

16、Mmgl(1cos)422、-mlMmgl(1cos)解得兩桿轉(zhuǎn)動的角速度為13Mmgl(1cos)2l.m解得桿的A端碰到較支座O時,桿A端的速度Va2l3Mmgl(1cos)m12-11如圖12.37所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)位于水平面內(nèi).曲柄重為Wi,長為r,連桿重為W2,長為l,滑塊重為W3,曲柄及連桿均可視為均質(zhì)細(xì)長桿.今在曲柄上作用一不變轉(zhuǎn)矩M,當(dāng)/AOB=90時,A點(diǎn)的速度為V,求當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)至水平向右位置時A點(diǎn)的速度.圖12.37解：選整個系統(tǒng)為研究對象,受力及運(yùn)動分析如下圖.在運(yùn)動的初始時刻,曲柄作定軸轉(zhuǎn)動,連桿作瞬時平動,滑塊作平動.當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)至水平向右位置時,由vA&vB方向,根

17、據(jù)速度投影定理可知Vb0,即B點(diǎn)為連桿的速度瞬心.通過上面分析,我們可以先計算兩位置系統(tǒng)的動能:TiLo(V)2Wi21212T21一VA二JBB二JCC組v2W3v2必3W23W3v2WiW22Va6g2r2g2g6g1Va、21Va、2T2一Jo(一)b(一)2r2l在曲柄由/AOB=90位置轉(zhuǎn)至水平向右位置的過程中,各力做功之和為由動能定理T2T1Wi,有WW26gW13W23W52v6g3Mg(Wi3W23Wj)v12Va解得A點(diǎn)的速度為,W1W212-12帶式輸送機(jī)如圖12.38所示,物體A重量為Wi,帶輪B、C的重量均為W,半徑為R,視為均質(zhì)圓盤,輪B由電動機(jī)驅(qū)動,其上受不變轉(zhuǎn)矩M

18、作用.系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動,不計傳送帶的質(zhì)量,A沿斜面上升距離為s時的速度和加速度.求重物圖12.38解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析和運(yùn)動分析如下圖.重物A沿斜面上升距離為s時,帶輪B、C轉(zhuǎn)過的角為so此過程中,各力做功的代數(shù)和為RWiMWssin初始時系統(tǒng)是靜止的,即系統(tǒng)初始時的動能假設(shè)重物A的速度為Va,那么系統(tǒng)的動能可表示為/M、(Wisin)sRTi0.重物A沿斜面上升距離為s時,WiW2Va2g)s系并求點(diǎn)C的加速度ac.解：分別選整體和兩滑輪為研究對象,受力和運(yùn)動分析如下圖.設(shè)動滑輪由靜止落下距離h時,動滑輪質(zhì)心C的速度為Vc,此時兩輪的角速度分別為o和c,角加速度分別為o和c.(1

19、)對于均質(zhì)滑輪O應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程,有Joo1W2RORFab對于均質(zhì)滑輪C,根據(jù)平面運(yùn)動微分方程,Jcc2g有二Wr22gWacWgcRFbaFba選繩索為動系,對均質(zhì)滑輪質(zhì)心c應(yīng)用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動加速度合成定理有acR4其中：FabFba,聯(lián)立求解可得ac2g5靜止開始且以等角加速度轉(zhuǎn)動,所以在任意時刻,oRcOca.由于系統(tǒng)初始靜止,兩輪均由5R兩輪轉(zhuǎn)動的角速度相等,即有(2)對于整個系統(tǒng),應(yīng)用動能定理,有1 W2Vc2 g1Jc2212c-JooWh2選繩索為動系,對均質(zhì)滑輪質(zhì)心C應(yīng)用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理有VCVbVcbR(c)這樣,(1)式可寫為1W2R(2gc)21W22-R2O

20、Wh4g解得12ghCR5動滑輪質(zhì)心C的速度Vc為vc12-14均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m4kg,其兩端懸掛在兩條平行等長的繩子上,如圖12.40所示.桿AB處于水平位置,設(shè)其中一繩忽然斷了,試求此瞬時另一繩的張力.解：選均質(zhì)桿AB為研究對象,受力及運(yùn)動分析如圖所示.繩斷開瞬間,AB0,Va0,A端只有切2向加速度aA,法向加速度aA也0.以點(diǎn)A為基點(diǎn),CA由aoxaoyaaa°A作質(zhì)心O的加速度合成圖.桿AB作平面運(yùn)動,應(yīng)用平面運(yùn)動微分方程,有maoymgFt圖12.40工ml212ABlFt2補(bǔ)充運(yùn)動學(xué)方程,有l(wèi)aoyaoAAB聯(lián)立求解,可得另一繩的張力為_1Ftmg9.8(N)412

21、-15均質(zhì)桿OA可繞水平軸O轉(zhuǎn)動,另一端錢接一圓盤,圓盤可繞較A在鉛垂平內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),如圖12.41所示.桿OA長為l,質(zhì)量為m1,圓盤的半徑為R,質(zhì)量為m?.摩擦不計,初始時桿OA水平,且桿和圓盤靜止.試求桿OA與水平線成角時,桿的角速度和角加速度.解：以系統(tǒng)為研究對象,受力分析和運(yùn)動分析如下圖.系統(tǒng)初始靜止,其動能T10.當(dāng)桿OA與水平線成角時,桿OA的角速度為oa.因圓盤作平動,故系統(tǒng)的動能為T2公12一將Jo-ml,Valoa代入上式,得3T21,212一JoOAm2VA22J(6m112m2)l22OA桿OA從水平位置轉(zhuǎn)動到與水平線成角的過程中,系統(tǒng)所受的全部力做功為Wimg：sinm

22、2glsin由動能定理T2T1Wi,有解得桿的角速度為(1mi1m2)126221OAm1gsinm2g1sin2(1)OA3mi6m2g.sinlm13m21將1式對時間求導(dǎo)數(shù),得桿的加速度為OA3ml6m2gmi3m22112-16如圖12.42所示,半徑為1,質(zhì)量為m1的圓輪I沿水平面作純滾動,在此輪上繞一不可伸長繩子,繩的一端繞過滑輪II后懸掛一質(zhì)量為伍的物體M,定滑輪II的半徑為2,質(zhì)量為m2,圓輪I和滑輪II可視為均質(zhì)圓盤.系統(tǒng)開始處于靜止.求重物下降度時圓輪I質(zhì)心的速度,并求繩的拉力.tm2g圖12.41圖12.42解：分別選整體和物體M為研究對象,受力及運(yùn)動分析如下圖.系統(tǒng)初始

23、靜止,其動能T10.重物下降h高度時設(shè)重物下降的速度為v,那么圓輪I和滑輪II轉(zhuǎn)動的角速度分別為1工,221:,圓輪I質(zhì)心的速度為Vc1r11.此時系統(tǒng)的動能為12121212T2-mivc-Jc1一J22-m3V2222321212一m1v-m2V-m3V1642重物由靜止開始下降h高度的過程中,系統(tǒng)所受的全部力做功為Wm3gh由動能定理T2T1W,有,311、2(一m1-m2-m3)vm3gh(1)1642解得重物的速度為v4m3gh3ml4m28m3圓輪I質(zhì)心的速度為vC丫2m3gh2.3ml4m28m3將(1)式對時間求導(dǎo)數(shù),得到重物的加速度為a8m3g3ml4m28m3對重物M應(yīng)用質(zhì)

24、點(diǎn)運(yùn)動微分方程,有m3gFtm3a解得繩的拉力為m3gm3a(3m14m2)m3g3mi4m28m312-17如圖12.43所示機(jī)構(gòu)中,滾輪和鼓輪均為均質(zhì)體,質(zhì)量分別為mi、m2,半徑均C在斜面上作純滾動.今在鼓軸承O的約束反力.T,0.在鼓輪上作用一力偶矩C的向上運(yùn)動速度為VcR為R,斜面傾角為,如不計繩子的質(zhì)量和滾動摩擦,滾輪輪上作用一力偶矩M.試求：(1)鼓輪的角加速度；(2)解：不妨設(shè)系統(tǒng)初始是靜止的,這樣初始系統(tǒng)的動能M后,設(shè)鼓輪轉(zhuǎn)過角后其轉(zhuǎn)動角速度為2,滾輪質(zhì)心滾輪轉(zhuǎn)動角速度1幺2,系統(tǒng)的動能為R1212123122T2mvc-Jc1Jo2(一m1一m2)R222244鼓輪轉(zhuǎn)過角的過程中,系統(tǒng)所受的全部力做功的代數(shù)和為wMm(gRsin由動能定理T2T1Wi,有,31、r22(m!m2)R2Mm1gRsin44上式兩邊同時對時間求導(dǎo)數(shù),可得2(