第二章 矩陣及其運算

1、章節(jié)第2章課題矩陣及其運算計劃課時數(shù)10授課班級04級計算機(jī)系專升本10-13班教學(xué)目的理解矩陣的概念、熟練掌握矩陣的各種運算;理解逆矩陣的概念；熟悉矩陣可逆的充要條件；掌握兩種定義、伴隨矩陣求逆方法；熟悉矩陣的分塊運算。教學(xué)重點矩陣的乘法；方陣的行列式；伴隨矩陣; 逆矩陣的概念；求逆方法；分塊求逆方法。教學(xué)難點矩陣乘法不滿足交律以及由此的問題；矩陣可逆性的討論；分塊求逆方法教學(xué)方法和手段講授 習(xí)題課 答疑備注教 學(xué) 內(nèi) 容批注第二章 矩陣及其運算矩陣是將一組有序的數(shù)據(jù)視為“整體量”進(jìn)行表述和運算，使得問題簡潔和易于了解本質(zhì)。矩陣不僅是解線性方程組的有力工具，而且是線性空間內(nèi)線性變換的表現(xiàn)形式

2、，因此有關(guān)矩陣的理論構(gòu)成了線性代數(shù)的基本內(nèi)容。 本章介紹矩陣的概念；矩陣的線性運算、矩陣乘法；逆矩陣及矩陣的初等變換；分塊矩陣及其運算等內(nèi)容。§1 矩陣1、矩陣的概念 定義 由個數(shù)排成行列的數(shù)表：稱為一個矩陣，簡記為，其中表示位于數(shù)表中第行第列的數(shù)，稱為矩陣的元（或者元素）。常用大寫英文黑體字母來表示矩陣，如等。元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。本書中若無特殊說明，一般是指實矩陣。兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時，稱它們?yōu)橥途仃?。如果矩陣和是同型矩陣，且它們的對?yīng)元素相等，即教 學(xué) 內(nèi) 容批注則稱矩陣與相等，并記作。2、特殊矩陣（1）方陣若，則稱為階矩陣，也叫

3、階方陣。在階方陣中，從左上角到右下角的連線稱為主對角線，簡稱對角線。元素位于主對角線上。（2）行矩陣（行向量）只有一行的矩陣叫做行矩陣，又叫做行向量。（3）列矩陣（列向量）只有一列的矩陣叫做列矩陣，又叫做列向量。這種矩陣以后經(jīng)常用小寫希臘字母如等表示。（4）零矩陣元素都為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或。注意，不同型的零矩陣是不相同的。（5）上三角型矩陣（上三角陣）在階方陣中，若主對角線左下方所有元素全為零（即，即 教 學(xué) 內(nèi) 容批注稱為上三角形矩陣，簡稱為上三角陣。同理可定義下三角陣為： （這里）（6）對角陣除對角線上元素外其他元素全為零的階方陣稱為對角陣，即 此對角陣既為上三角陣又是下三角

4、陣，可簡記為 （7）數(shù)量矩陣對角陣的主對角線上元素全相等的矩陣也稱之為數(shù)量矩陣。（8）單位陣在對角陣中若，即則稱之為單位矩陣，將階單位矩陣記為。 另外，只有一行一列的一階方陣實際上是一個數(shù)。 值得指出的是，矩陣與行列式是兩個完全不同的概念。（在后面的學(xué)習(xí)中將會詳細(xì)的闡述） 教 學(xué) 內(nèi) 容批注3、例子例題1、圖的鄰接矩陣；四個城市間的單向航線如圖所示1423例題2、線性變換的系數(shù)矩陣個變量與個變量之間的關(guān)系式 *表示一個變量到變量的線性變換，其中，為常數(shù)，線性變換*的系數(shù)構(gòu)成矩陣（系數(shù)矩陣），例如恒等變換。例題3、在解析幾何中考慮坐標(biāo)變換時，如果只考慮坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)軸(反時針方向轉(zhuǎn)軸)，那么平面直角

5、坐標(biāo)變換的公式為 其中為軸與軸的夾角.顯然新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系，完全通過公式中系數(shù)所排成的矩陣教 學(xué) 內(nèi) 容批注 表示出來。§2 矩陣的運算矩陣的意義不僅在于把一些數(shù)據(jù)根據(jù)一定的順序排列成陣列形式，而且還在于對它定義了一些有理論意義和實際意義的運算，使它真正成為有用的工具。一、矩陣的加法1、定義定義 設(shè),是兩個矩陣，則矩陣稱為和的和，記為.需要指出的是，兩個矩陣相加是有條件的，即與必須是同型矩陣。例如教 學(xué) 內(nèi) 容批注2、運算律（設(shè)都是矩陣）(1)交換律 (2)結(jié)合律 (3)零矩陣 ，即任何一個矩陣和與之同型的零矩陣相加仍為。(4)負(fù)矩陣 對于任意，存在，滿足，則稱為矩陣的負(fù)矩陣。由(

6、4)可以定義減法：二、數(shù)與矩陣的相乘1、定義 設(shè)是矩陣，是實數(shù)（記R），定義一個新的矩陣： 其中，稱為矩陣與數(shù)的數(shù)量乘積，記為，這種運算也簡稱為數(shù)乘運算。例如 =教 學(xué) 內(nèi) 容批注2、運算律（設(shè)為矩陣，為數(shù)）(1) (2) 結(jié)合律 (3) 分配律 (4) 若為階矩陣，則有此外，還容易得到： 矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。例 設(shè)有矩陣。求。三、矩陣與矩陣的乘法 1、定義 設(shè)有兩個線性變換 （1） （2）若想求出從到的線性變換，可將（2）代入（1）得：教 學(xué) 內(nèi) 容批注（3） 線性變換（3）可以看成是先作線性變換（2）再作線性變換（1）的結(jié)果，我們把線性變換（3）叫做線性變換（1）

7、與（2）的乘積，相應(yīng)的（3）對應(yīng)的矩陣定義為（1）和（2）對應(yīng)的矩陣的乘積，即 定義：設(shè)是矩陣，是矩陣，則定義一個新的矩陣： 其中 ，則稱矩陣為矩陣乘以矩陣之積，記作 注：(1) 只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，矩陣的乘積才是有意義的。 (2) 兩個矩陣的乘積仍然是一個矩陣，且乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)。(3) 乘積矩陣的第行第列元素等于左矩陣的第行元素與右矩陣的第列對應(yīng)元素乘積之和。教 學(xué) 內(nèi) 容批注按此定義，一個行矩陣與一個列矩陣的乘積是一個數(shù)：例題 求矩陣 與的乘積。例題 求矩陣 與的乘積與。此例不僅說明了矩陣的乘積一般不滿足交換律，即一般來說，而且說明了

8、兩個非零矩陣的乘積，可能是零矩陣。所以，若就不一定能得出或者的結(jié)論。由此還可以得出，矩陣相乘時，消去律一般不成立，即不能由且得出。這一點與普通數(shù)的乘法性質(zhì)不同，應(yīng)特別引起注意。例題 證明上三角陣與上三角陣的乘積仍為上三角陣證 設(shè)為階上三角陣，即 當(dāng)時， 當(dāng)時，教 學(xué) 內(nèi) 容批注記，則 當(dāng)時，有 = + 因為當(dāng)時，當(dāng)時，由于，故，從而當(dāng)時，有，即是上三角矩陣。 用類似的方法，可以證明下三角矩陣與下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣，對角矩陣與對角矩陣的乘積仍為對角矩陣。例題設(shè)，求及由此例可見，對于任意矩陣，有 =但要注意：當(dāng)時，=無意義。2、運算律（1）（2），（其中R）（）教 學(xué) 內(nèi) 容批注如果方陣

9、與的乘積滿足交換律，即則稱與是可交換的。例題 求與矩陣可交換的所有矩陣。例題 證明階數(shù)量矩陣與所有階方陣都可交換。證 設(shè)任一階方矩為 又設(shè) 為階數(shù)量矩陣，則 =同樣可得，從而，即兩矩陣可交換。 特別地，當(dāng)時，即，有 由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，故個方陣的連乘積，可以不必討論哪些先乘哪些后乘，而有確定的含義，將方陣的冪定義為 。 教 學(xué) 內(nèi) 容批注顯然只有方陣的冪才有意義。由以上定義，對于任意自然數(shù)，方陣的冪有如下性質(zhì)： 必須強(qiáng)調(diào)的是，由于矩陣乘法不滿足交換律，故一般地 但若兩個矩陣可交換，即，則易得 例題 設(shè)，計算，及。例題 設(shè)，求，。例題 設(shè)，求教 學(xué) 內(nèi) 容批注解 =25= =例4：證明提示

10、：用數(shù)學(xué)歸納法證明四、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義定義 把矩陣的行與列互換，得到的矩陣稱為矩陣的轉(zhuǎn)置，記作，即，其中。 例如 2、運算律求一個矩陣的轉(zhuǎn)置也可以看作是矩陣的一種運算，它有以下性質(zhì)（假設(shè)以下運算可行）：教 學(xué) 內(nèi) 容批注（1）；（2）+；（3）；（4）=；（證明略）例題 設(shè)求.若為階方陣，且滿足=，即 ，則稱之為對稱矩陣。對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。若=，則稱之為反對稱矩陣，反對稱矩陣的特點是：它的主對角線上的元素全為零。例題 試證任意n階方陣都可以分解為一個對稱方陣和一個反對稱方陣之和。例題 設(shè)列矩陣滿足，E為n階單位陣，證明是對稱陣，且。五、方陣的行列式 1、定

11、義定義：由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或者。教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意：方陣和行列式是兩個不同的概念，階方陣是個數(shù)按一定的方式排成的數(shù)表，而階行列式則是這些數(shù)（也就是數(shù)表）按一定的運算法則所確定的一個數(shù)。2、運算律（設(shè)為階方陣，為常數(shù)）(1)(2)(3)（要講一下（3）的證明過程。）例題 設(shè)均為階方陣，且，則。3、伴隨矩陣（1）定義 設(shè)是階矩陣的行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱矩陣 為矩陣的伴隨矩陣，記作。（2）基本公式 =（證明略）（3）計算教 學(xué) 內(nèi) 容批注例題 設(shè) 求。 = 六、共軛矩陣1、定義 當(dāng)為復(fù)矩陣式，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記 稱為的共軛矩陣。

12、2、運算律（設(shè)為復(fù)矩陣，是復(fù)數(shù)）(1)(2)(3)§3 逆矩陣一、 逆矩陣1、引入 設(shè)給定一個線性變換 教 學(xué) 內(nèi) 容批注它的系數(shù)矩陣是一個階矩陣，若記 則線性變換可記作：用的伴隨矩陣左乘上式兩端可得： 當(dāng)時，可解出 記，上式可記作 ，此式表示一個從到的線性變換，稱為原線性變換的逆變換。我們代入得到： 可見，為恒等變換所對應(yīng)的矩陣，故；另一方面，把代入得到： 由此可得到 。 于是有 由此引入逆矩陣的定義2、定義 設(shè)是階方陣，若存在階方陣，使得 則稱矩陣是可逆矩陣或者非奇異矩陣，稱為的逆矩陣。教 學(xué) 內(nèi) 容批注二、 逆矩陣是唯一的證明：假設(shè)都是的逆矩陣，則有： 所以我們也用來表示逆矩陣

13、，即 三、 逆矩陣的有關(guān)定理定理1 階矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是。且如果為可逆矩陣，則有 。證 必要性： 若為可逆矩陣，則有，使得 兩邊求行列式，可知 所以 。 充分性： 若，由=可得 =。于是矩陣為可逆矩陣，且。教 學(xué) 內(nèi) 容批注推論 設(shè)，為階矩陣，若=或者，則矩陣，都可逆，且，。證 不妨設(shè)=，兩邊求行列式，可得 則必有，由定理1知，都可逆，且 。 此推論說明，要判斷矩陣是否是的逆矩陣，不必嚴(yán)格按照定義檢驗=，而只要檢驗=或者是否成立即可。運算律：（可逆）（1）也可逆 ，此時；（2）可逆的充分必要條件為數(shù)此時若，有；（3）可逆，且；（4）同階可逆，則可逆，且；（5）。（證明略）性質(zhì)（4）

14、還可推廣為： 若都是階可逆矩陣，則也可逆，且 。 教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意1 當(dāng)時，有：（1）（2）（3）（4）2 當(dāng)時，為可逆矩陣，也稱為非奇異矩陣 當(dāng)時，為不可逆矩陣，也稱為奇異矩陣四、 逆矩陣的應(yīng)用例題1求方陣的逆矩陣。例題2求矩陣方程的解，其中例題3 設(shè)教 學(xué) 內(nèi) 容批注，且求例題4設(shè)，求。五、矩陣多項式：1、定義 設(shè)為x的m 次多項式，為階矩陣，記：，則稱為矩陣的m次多項式。2、性質(zhì)性質(zhì)1：同一矩陣A的矩陣多項式之間可以交換，也可以因式分解（象一元多項式一樣）。性質(zhì)2：。性質(zhì)3：§4矩陣的分塊法一、 分塊矩陣的定義把一個階數(shù)較高的矩陣，用若干條橫線和豎線分成若干小塊，每一小塊

15、都叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例如，用一條縱線和一條橫線可以將下面的矩陣 分成四塊 其中 ，。也可以用一條橫線將它分成兩塊 其中 從上述分法，我們可以看到，對于給定的一個矩陣，可以有很多種不同的分塊方法，采用何種分塊，完全根據(jù)實際需要而定，并充分利用給定矩陣的特點，使問題盡可能簡化。 如果把分塊矩陣的的每一個子塊作為矩陣的一個元素，可以按照矩陣的運算法則建立分塊矩陣的運算法則。二、 分塊矩陣的運算1、 分塊矩陣的加法同型矩陣，分法相同，子塊相加教 學(xué) 內(nèi) 容批注設(shè)是兩個矩陣，將它們用同樣的方法分塊，設(shè)為 = =其中和是同型矩陣（），則可得分塊矩陣的加法和數(shù)

16、乘運算分別如下： 2、分塊矩陣的數(shù)乘 設(shè)分塊矩陣： （這里為實數(shù)）。即數(shù)與分塊矩陣的數(shù)乘運算就是將該數(shù)與分塊矩陣的每個子陣相乘即可。很容易驗證：它們運算的結(jié)果和沒分塊之前原矩陣經(jīng)加法和數(shù)乘運算的結(jié)果是相同的，且關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘運算的性質(zhì)同樣適用于分塊矩陣的加法和數(shù)乘運算。為方便起見，將這兩種運算簡記為 ， 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 3、分塊矩陣的乘法設(shè)為矩陣，為矩陣，由矩陣乘法可得為矩陣?，F(xiàn)在對矩陣作相同的分塊，分塊如下：其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則可求分塊矩陣與的乘法運算，若記則 其中 （）這與普通矩陣乘法規(guī)則在形式上也是一致的。但必須注意：左矩陣的塊始終在乘積的左邊，右矩陣的塊始終在乘積的右邊，且可以證明，用分塊矩陣求得的乘積與矩陣不分塊做乘法運算求得的乘積是相同的。教 學(xué) 內(nèi) 容批注例題按下列分塊計算，其中， 4、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè) 則的分塊轉(zhuǎn)置矩陣為 5、分塊對角陣 若在矩陣=的分塊矩陣中，非零子塊位于主對角線上，而其余子塊均為零矩陣，即 其中分別是階方陣（），那么稱為分塊對角矩陣或準(zhǔn)對角陣