計(jì)數(shù)方法與技巧(插板法)

1、計(jì)數(shù)方法與技巧（插板法概念）口插板法插板法是用于解決“相同元素”分組問題，且要求每組均，啡交“，即要求每蛆至少一個元素.我們先來看個例題.計(jì)數(shù)方法與技巧（插板法例題1）7.10只無差別的橘子放到3個不同的盤子中，不允許有盤子空著，請問一共有多少種不同的放法？一1分析】最基本的方法：枚舉歸納法。1+2+5+4+5+6+7+8=36（木）具體示例：丸1,L6,手；1;6*，2；6,1,3；5,4,1；5,3,2；5,33；5,1,4；4,5,h4,4,2r4,3,九4,2,4；4,1,5；3,6,1；3,5,2；3,4,3：3,3,4j3,2,5；3,1,6；2,7fh2,6,2；2,5,3；2,

2、4,4;2,3,5a2f2,6f2,1,7?1,8,1；1,7,2；1,6,3；1,5,4：1,4,5；1,36,1,2,7（L1,8.這種方法比較塞施，而且栽.費(fèi)較多的時間，我們有沒有更好的辦法呢？方法二：插板法。把1。只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，不允許盤子空著，我們可以用插板法，把這I。個橘子排成一列，1Q個橘子之間有9個空隙，我們只要選定這9個空隙中的2個空隙，這樣就分成了3組，相當(dāng)于把這10個橘子分成了3堆，所以只要求出從這9個空隙中選出2個空隙有多少種方法就可以了.共有喏=36（種）。若對于“可空”問題，即每組可以是零個元素，又該如何解題呢？我們來看下一個例題。計(jì)數(shù)方法與技巧

3、（插板法例題2）8-10只無差別的橘子放到3個不同的盤子中，允許有盤子空著，請問一共有多少種不同的放法？K.4“fji«,11VJW1WW"WE分析】有的冏學(xué)看這遒題與上題長得很像，直接套用上題答案，就回答36種,這樣做對嗎？仔細(xì)審題，發(fā)觀原來上題是不允許有盤子空著，邪充許空著又該怎冬儆呢？把1。只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有盤子空著，相左于把13只橘子放入3個不同的盤子，不允許任何一個盤子空著，這兩種放法沒有差別,我們?nèi)匀豢梢杂貌灏宸?，把這13個橘子排成一列，13個橘子之間有12個空隙，我們只要選定這12個空隙中的2個空隙，這樣就分成了3蛆，相當(dāng)于把這13個橘

4、子分成了3年，所以只要求出從這口個空隙中選出2個空隙有多少科方法就可以了。g二面（種）由上述問題的分析解決看到，這種描板法解決起來非常簡單，但同時要注意，這類問題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時滿足以下3個條件；（1）所要分的元素必須完全相同；所要分的元素淞須分完，決不允許有剩余；參與分元素的每組至少分到t個，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題1插板法就是插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。應(yīng)用插板法必須滿足三個條件：（1）這n個元素必須互不相異（2）所分成的每一組至少分得一個元素（3） 分成的組別彼此相異舉個很普通的例子

5、來說明把10個相同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？問題的題干滿足條件（1）（2）,適用插板法，c92=36下面通過幾道題目介紹下插板法的應(yīng)用a湊元素插板法（有些題目滿足條件（1）,不滿足條件（2）,此時可適用此方法）1 :把10個相同的小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？2:把10個相同小球放入3個不同箱子，第一個箱子至少1個，第二個箱子至少3個，第三個箱子可以放空球，有幾種情況？b添板插板法3:把10個相同小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？4:有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257,1459等等，這類數(shù)共

6、有幾個？5:有一類自然數(shù)，從第四個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面三個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如2349,1427等等，這類數(shù)共有幾個？點(diǎn)擊下頁查看答案：答案：1、3個箱子都可能取到空球，條件（2）不滿足，此時如果在3個箱子種各預(yù)先放入1個小球，則問題就等價于把13個相同小球放入3個不同箱子，每個箱子至少一個，有幾種情況？顯然就是c122=662、我們可以在第二個箱子先放入10個小球中的2個，小球剩8個放3個箱子，然后在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球，則問題轉(zhuǎn)化為把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1個，幾種方法？c82=283、 -o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o菜EzN

7、10/、球,-菜Ezn空位11個空位中取2個加入2塊板，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空此時若在第11個空位后加入第12塊板，設(shè)取到該板時，第二組取球?yàn)榭談t每一組都可能取球?yàn)榭誧122=664、因?yàn)榍?位數(shù)字唯一對應(yīng)了符合要求的一個數(shù)，只要求出前2位有幾種情況即可，設(shè)前兩位為ab顯然a+b<=9,且a不為01-1-1-1-1-1-1-1-1-1代表9個1,-代表10個空位我們可以在這9個空位中插入2個板，分成3組，第一組取到a個1,第二組取到b個1,但此時第二組始終不能取空，若多添加第10個空時，設(shè)取到該板時第二組取空，即b=0,所以一共有c102=455、類似的，某數(shù)

8、的前三位為abc,a+b+c<=9,a不為01-1-1-1-1-1-1-1-1-在9個空位種插如3板，分成4組，第一組取a個1,第二組取b個1,第三組取c個1,由于第二，第三組都不能取到空，所以添加2塊板設(shè)取到第10個板時，第二組取空，即b=0;取到第11個板時，第三組取空，即c=0o所以一共有c113=165計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題2c選板法6:有10粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完為止，求有多少種不同吃法？d分類插板7:小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？e二次插板法8:在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對次序不變，再添加3個節(jié)目，共有幾

9、種情況?答案:6、o-o-o-o-o-o-o-o-o-oo代表10個糖，-代表9塊板10塊糖，9個空，插入9塊板，每個板都可以選擇放或是不放，相鄰兩個板間的糖一天吃掉這樣一共就是2A9=512啦7、此問題不能用插板法的原因在于沒有規(guī)定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數(shù)進(jìn)行分類討論最多吃5天，最少吃1天1:吃1天或是5天，各一種吃法一共2種情況c101=102:吃2天，每天預(yù)先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況?3:吃3天，每天預(yù)先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天？c82=284:吃4天，每天預(yù)先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c63=20所以一共是2+1

10、0+28+20=60種三個節(jié)目abc8、-o-o-o-o-o-o-可以用一個節(jié)目去插7個空位，再用第二個節(jié)目去插8個空位，用最后個節(jié)目去插9個空位所以一共是c71Xc81Xc91=504種1臺，共有多少種分法?2臺，共有多少種分法?0臺，共有多少種分法?1、將9臺型號相同的電腦送給三所希望小學(xué)，每個學(xué)校至少分2、將13臺型號相同的電腦送給三所希望小學(xué)，每個學(xué)校至少分3、將9臺型號相同的電腦送給三所希望小學(xué)，每個學(xué)校至少分(C82C920112)計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題41、將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法?2、有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完

11、，有多少種吃法？3、現(xiàn)有10個完全相同的籃球全部分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法4、將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，一共有多少種方法？計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題4(2)1、解析：解決這道問題只需要將8個球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個盒子中即可。因此問題只需要把8個球分成三組即可，于是可以講8個球排成一排，然后用兩個板查到8個球所形成的空里，即可順利的把8個球分成三組。其中第一個板前面的球放到第一個盒子中，第一個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三個盒子中去。因?yàn)槊總€盒子至少放一個球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的

12、方法數(shù)是C。(板也是無區(qū)別的)2、解析：原理同上，只需要用3個板插入到9顆糖形成的8個內(nèi)部空隙，將9顆糖分成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個板互不相鄰，其方法數(shù)為4。3、注釋：每組允許有零個元素時也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。4、解析：此題中沒有要求每個盒子中至少放一個球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入2個板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來的8個球一共10個元素。所有方法數(shù)實(shí)際是這10個元素的一個隊(duì)列，但因?yàn)榍蛑g無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實(shí)際為從10個元素所占的10個位置中挑2個位置放上2個板，其余位

13、置全部放球即可。因此方法數(shù)為4。計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題51、一條馬路上有編號為1、2、，、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？2、一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3盞，但為了安全，道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問總共可以有多少總方案？答案1、解析：要關(guān)掉9盞燈中的3盞，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3盞燈拿出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個空，故方法數(shù)為6。A、120&

14、#174;320c400D>4202、解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法，10盞燈關(guān)掉3盞，還剩7盞，因?yàn)閮啥说臒舨荒荜P(guān)，表示3盞關(guān)掉L人山=400的燈只能插在7盞燈形成的6個內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為'4注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的種數(shù)肯定是一樣的（因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚唬铱偟姆N數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個平方數(shù)，只有C符合。計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題67名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲，乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用"插空"法，所以甲，乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種.插入法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題，

15、可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.若個人站成一排，其中個人不相鄰可用"插空"法解決，共有種排法.計(jì)數(shù)之插板法習(xí)題7學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張.8個學(xué)生,4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法分析此題涉及到的是不相鄰問題，并且是對老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素，在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.解先排學(xué)生共有種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插，選其中的4個空檔，共有種選法.根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種.計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)典例題一“

16、不鄰問題”插空法，即在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。例.若有A、RC、D、E五個人排隊(duì)，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個人必須隔開。首先將C、DE三個人排列，有種排法；若排成DCE,則D、CE“中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是：DCE,此時可將AB兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法：計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)典例題二在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對順序不變，再添加進(jìn)去3個節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少

17、種？【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個節(jié)目去插7個空位（原來的6個節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個空位），有種方法；再用另一個節(jié)目去插8個空位，有種方法；用最后一個節(jié)目去插9個空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為=504種?！安秽弳栴}”插板法解題要點(diǎn)“不鄰問題”插板法一一先排列，再插空“不鄰問題”插空法，即在解決對于某幾個元素要求不相鄰問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。例.若有A、RC、D、E五個人排隊(duì)，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？【解析】題目要求A和B兩個人必須隔開。

18、首先將C、D、E三個人排列，有種排法；若排成DCE則DC、E“中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是：-DbE-,此日可將A、B兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法：。例.在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對順序不變，再添加進(jìn)去3個節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？【解析】直接解答較為麻煩，可利用插空法去解題，故可先用一個節(jié)目去插7個空位（原來的6個節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個空位），有種方法；再用另一個節(jié)目去插8個空位，有種方法；用最后一個節(jié)目去插9個空位，有種方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為=504種。例.一條馬路上有編號為1、2、

19、，、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？【解析】若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插7個空位，共有種方法（請您想想為什么不是），因此所有不同的關(guān)燈方法有種?！咎崾尽窟\(yùn)用插空法解決排列組合問題時，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過程是“先排列，再插空”。計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)經(jīng)典例題三三r插板法精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素例國，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分蛆的颼策略.提醒：苴首要特點(diǎn)是元素相同.

20、其次是每唯少含有一T元素一般用于蛆合問題中.I例鴕將S個完全相削球放到3個不同的盒子中,要求每個盒子至少放一個球，-共有簍少和方法？解析:解決這道問題只需要酹2個球分成王級然后慘次將每一組分別放到一個盒子中即可.因此問題只需要把W個珠分成王姐即可，子是町中講£個球排成一排，然后用南個板交到W個球所期成的空里，即可順利的把8個球分成工始.其中第一今板前面的球放到第一個盒子中，笫一個植和第二小植之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三小禽子中去.因?yàn)槊總€盒子至少被f球，因此兩小板不置泳在同一個室里且植不能放有兩端,于是其放梃的合法數(shù)是d,（植也是盍區(qū)別的）計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)經(jīng)典例題

21、四【例題3有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有手少種吃法？解析；原理同上，只需要用m個板插入到g瓢糠形成的g個內(nèi)部空隙，將，新牖分成4蚯且每蛆數(shù)目不少于1即可.因而3個板瓦不湘鄰，其方法數(shù)為Ci.計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)經(jīng)典練習(xí)題E統(tǒng)習(xí)】現(xiàn)有10個完全相同的籃球全部分給1個班皴，每班至少1個球，間共有霎少種不同的分法？注釋：每蛆允許有零個元素時也可以用插愎法，其原理不同，注意下題解;趣區(qū)別口計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)經(jīng)典例題五1例噩將W個完全相同的球放到M個不同的盒子中，一共有各少種方法？解析；魂中沒有要求每個盒子中至少被一個來，因此其解法不同于上面的插板法，但用舊是插入2個板，分成三蛆a但在分細(xì)的過程中

22、，允許南塊板之間沒有俅.其考慮思維為植人麗塊板后，與原來的Z個球一共10個元素1，所有為法數(shù)或除是這10個元素的一個隊(duì)殛怛因?yàn)榍蜃箝g無差別，板之間無差別，耕以旁法數(shù)實(shí)除為從10個無素所占描1。個位置中挑個位置被上3個板，其余隹置全都放球即可.因位歷法數(shù)為q/注釋：特別注意插校法與捆綁法、插空；射區(qū)別之處在于其元索息相由.計(jì)數(shù)之插板法經(jīng)經(jīng)典例題六例.現(xiàn)有10個完全相同的球全部分給7個班級，每班至少1個球，問共有多少種不同的分法【解析】：題目中球的分法共三類:第一類：有3個班每個班分到2個球，其余4個班每班分到1個球。其分法種數(shù)為。第二類：有1個班分到3個球，1個班分到2個球，其余5個班每班分到1

23、個球。其分法種數(shù)。第三類：有1個班分到4個球，其余的6個班每班分到1個球。其分法種數(shù)。所以，10個球分給7個班，每班至少一個球的分法種數(shù)為：。由上面解題過程可以明顯感到對這類問題進(jìn)行分類計(jì)算，比較繁鎖，若是上題中球的數(shù)目較多處理起來將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式解決問題，我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的情境一一插板。將10個相同的球排成一行，10個球之間出現(xiàn)了9個空檔，現(xiàn)在我們用“檔板”把10個球隔成有序的7份，每個班級依次按班級序號分到應(yīng)位置的幾個球（可能是1個、2個、3個、4個），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱之為插板法。由上述分析可知，分球的方法實(shí)際上為檔板的插法：即是在9個空

24、檔之中插入6個“檔板”（6個檔板可把球分為7組），其方法種數(shù)為。由上述問題的分析解決看到，這種插板法解決起來非常簡單，但同時也提醒各位考友，這類問題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必'須同時滿足以下3個條件：所要分的元素必須完全相同；所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；參與分元素的每組至少分到1個，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。應(yīng)用插板法需要滿足的條件插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。應(yīng)用插板法必須滿足三個條件：（1）這n個元素必須互不相異（2）所分成的每一組至少分得一個元素（3）分成的組別彼此相異舉個很普通的例子來說明把10個相

25、同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？問題的題干滿足條件（1）（2）,適用插板法，c92=36計(jì)數(shù)插板法之湊元素插板法例題介紹湊元素插板法（有些題目滿足條件（1）,不滿足條件（2）,此時可適用此方法）例1:把10個相同的小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？3個箱子都可能取到空球，條件（2）不滿足，此時如果在3個箱子種各預(yù)先放入1個小球，則問題就等價于把13個相同小球放入3個不同箱子，每個箱子至少一個，有幾種情況？顯然就是c122=66例2:把10個相同小球放入3個不同箱子，第一個箱子至少1個，第二個箱子至少3個，第三個箱子可以放空球，有幾種情況？我們可以在第二個箱子先放

26、入10個小球中的2個，小球剩8個放3個箱子，然后在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球，則問題轉(zhuǎn)化為把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1個，幾種方法？c82=28計(jì)數(shù)插板法之添板插板法例題介紹添板插板法例3:把10個相同小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？-0-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o表示10個小球,-表示空位11個空位中取2個加入2塊板，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空此時若在第11個空位后加入第12塊板，設(shè)取到該板時，第二組取球?yàn)榭談t每一組都可能取球?yàn)榭誧122=66例4:有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257,1459等等，這類數(shù)共有幾個？因?yàn)榍?位數(shù)字唯一對應(yīng)了符合要求的一個數(shù)，只要求出前2位有幾種情況即可，設(shè)前兩位為ab顯然a+b<=9,且a不為01-1-1-1-1-1-1-