蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究

1、蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究一、 引言在非線(xiàn)性電路中蔡氏電路是迄今為止產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最為有效和較為簡(jiǎn)單的電路之一。混沌(chaos)現(xiàn)象的研究是非線(xiàn)性系統(tǒng)理論研究中的前沿課題之一,混沌現(xiàn)象普遍存在物理、化學(xué)、生物學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中,是在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無(wú)規(guī)則、類(lèi)似隨機(jī)的現(xiàn)象,是非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特有的一種運(yùn)動(dòng)形式。蔡氏電路是一個(gè)能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最簡(jiǎn)單三階自治電路1。 1983年，美籍華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路(chuas circuit)。它是歷史上第一例用電子電路來(lái)證實(shí)混沌現(xiàn)象的電路，也是迄今為止在非線(xiàn)性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最為有效和較為簡(jiǎn)單的

2、電路之一。通過(guò)改變蔡氏電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或電路參數(shù)，可以產(chǎn)生倍周期分叉、單渦卷、周期3、雙渦卷吸引子、多渦卷吸引子等十分豐富的混沌現(xiàn)象。因此，蔡氏電路開(kāi)啟了混沌電子學(xué) 的大門(mén)，人們已圍繞它開(kāi)展了混沌機(jī)理的探索、混沌在保密通信中的應(yīng)用研究，并取得了一系列豐碩的成果。圖1(a)是蔡氏電路的電路拓?fù)鋱D，它是一個(gè)三階電路，有兩個(gè)電容、一個(gè)電感、一個(gè)線(xiàn)性電阻，并含有 一個(gè)非線(xiàn)性電阻元件NR，它的伏一安特性曲線(xiàn)如圖1 (b)所示，是一個(gè)分段線(xiàn)性函數(shù)，中間一段呈現(xiàn)負(fù)電阻的特征，它可以用開(kāi)關(guān)電源等電子電路來(lái)實(shí)現(xiàn)?？紤]圖1(a)的電路，非線(xiàn)性電阻的伏安特性曲線(xiàn)由圖1(b)給出。蔡氏電路的動(dòng)力學(xué)特性由下列各式描述：其

3、中vc1，vc2和iL分別是C1，C2兩端的電壓以及流過(guò)的電流，g(vc1)是圖(6)所示的分段線(xiàn)性化函數(shù)，G=1R。該電路描述可以寫(xiě)成無(wú)量綱的形式(即下面的正規(guī)化狀態(tài)方程)：其中，1和2是參數(shù)，K(·)是非線(xiàn)性函數(shù)，滿(mǎn)足如下方程：其中m0和m1是參數(shù)。給定適當(dāng)?shù)膮?shù)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為。方程(2)是非線(xiàn)性的微分方程組，一般需要用四階龍格一庫(kù)塔算法這樣的數(shù)值方法求解。其算法思想如下：基于Tavlor級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，利用f在某些點(diǎn)處函數(shù)值的線(xiàn)性組合構(gòu)造差分方程，從而避免高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。用MATLAB可以對(duì)方程求解并進(jìn)行仿真，各參數(shù)的取值為(1=9，2 =-1007，mo=一17，m1

4、=27)。得出單變量x，v，z隨時(shí)間t變化的序列圖分別如圖3，圖4，圖5所示:從仿真結(jié)果圖可以，蔡氏電路的正規(guī)化狀態(tài)方程描述了一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在所給參數(shù)和初值的條件下可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。xy，xz，yz及xyz的相平面圖分別如圖6，圖7，圖8，圖9所示2：二、國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多關(guān)于蔡氏電路和混沌現(xiàn)象的研究有許多的新進(jìn)展。2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀Eleonora Bilotta對(duì)于N相同的混沌震蕩器進(jìn)行了數(shù)值仿真，它們都是在同一個(gè)幾何環(huán)內(nèi)耦合了對(duì)稱(chēng)和耗散3。簡(jiǎn)單的混沌信號(hào)是一個(gè)基于憶阻的蔡氏電路，其中二極管被含有三次非線(xiàn)性的憶阻器代替4。兩個(gè)回路的雙向耦合通過(guò)電

5、阻得到，并且對(duì)于每一對(duì)系統(tǒng)是相同的。他們采用了兩種初始條件：僅一個(gè)初始條件不為0的回路，或者所有電路有均勻隨機(jī)的初始條件。為了研究可能的同步機(jī)制和可能出現(xiàn)的現(xiàn)象，他們通過(guò)改變相互作用系統(tǒng)的耦合與數(shù)量，進(jìn)行了幾次計(jì)算機(jī)仿真。他們發(fā)現(xiàn)了同步機(jī)制和環(huán)內(nèi)新出現(xiàn)的波。特別的是，對(duì)于高度耦合（例如阻值較低的 Rc），他們發(fā)現(xiàn)了對(duì)于兩種初始條件下的混沌完全同步機(jī)制。不管還是N變大，這種同步在混沌中演化成間歇性的相位同步。脈沖同步的振幅隨著Rc的增大而增大，經(jīng)過(guò)一個(gè)臨界的 Rc*值，電路轉(zhuǎn)化為非混沌的同步機(jī)制，同時(shí)帶有偽正弦的震蕩。在混沌體制（Rc<Rc* ）下一種波長(zhǎng)為=N 的混沌穩(wěn)態(tài)波以全局同步動(dòng)力

6、的良好結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了。他們把這種波解釋為由于 Rc>Rc*引起的系統(tǒng)從混沌到非混沌體制所增加的不穩(wěn)定性。對(duì)于Rc>Rc*的情況，取決于初始條件，兩種宏觀的波能夠在環(huán)內(nèi)出現(xiàn)。在環(huán)內(nèi)僅有一個(gè)回路有非零初始條件的情況下，宏觀的偽周期穩(wěn)態(tài)波能夠出現(xiàn)，它以低振幅震蕩回路出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)，并且這些回路是波的結(jié)點(diǎn)。相反地，對(duì)于Rc>Rc*均勻隨機(jī)初始條件，他們發(fā)現(xiàn)了行進(jìn)波順時(shí)針或逆時(shí)針沿環(huán)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象?？赡艹霈F(xiàn)的波長(zhǎng)取決于環(huán)的尺度：在波長(zhǎng)f=N 的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加N的值，他們也發(fā)現(xiàn)了波長(zhǎng)(=f/2, =f/3, =f/4 )可能逐漸減小的波。行進(jìn)波的周期T在所有仿真的例子中是相同的，因此不同的波長(zhǎng)

7、意味著不同的波速 v=/T。最后，對(duì)于非常低的耦合情況，他們發(fā)現(xiàn)混沌和非混沌震蕩回路的共存性，這也給了環(huán)內(nèi)穩(wěn)態(tài)和行進(jìn)波同時(shí)出現(xiàn)的曙光。這些結(jié)果證實(shí)了由于耦合混沌震蕩引起的自治動(dòng)力的豐富性7。H. Moqadasi;M. B. Ghaznavi-Ghoushchi.推薦了一個(gè)TRNG，它基于混沌雙渦卷吸引子，利用蔡氏電路建立模型，其中該電路含有一個(gè)S/H，一個(gè)ADC模塊和一個(gè)用于置亂和增加產(chǎn)生位流隨機(jī)性的LFSR模塊，其中6位的長(zhǎng)度是選擇LFSR的最佳長(zhǎng)度8。另外推薦了一個(gè)新的蔡氏電路，它帶有一個(gè)包含12個(gè)晶體管的單片NDR，由于集成電路的實(shí)現(xiàn)，它的NDR比離散化的安裝形式更好，同時(shí)也優(yōu)于電感器

8、的實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗鼈冇写蟮目驁D，例如運(yùn)算放大器，同時(shí)消耗更多的電能，占用更多區(qū)域。另一方面，這種NDR擁有現(xiàn)有的資源，例如它們對(duì)環(huán)境參數(shù)（如氣溫）的敏感性可以被用作混沌生成的控制參數(shù)。在他們推薦的TRNG中，他們利用這種推薦的蔡氏電路作為混沌生成的核心。產(chǎn)生的隨機(jī)位流由國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)機(jī)構(gòu)的FIPS 140-1進(jìn)行測(cè)試，并且成功通過(guò)。他們可以利用這種帶或不帶LFSR的TRNG，同樣地他們推薦最小的ADC分辨率，這樣產(chǎn)生的位流是真隨機(jī)的，試驗(yàn)證實(shí)利用LFSR讓他們擁有更小的ADC，測(cè)試也通過(guò)得更好10。E. R. Viana等人利用了一個(gè)基于LABVIEW的周期性檢測(cè)程序計(jì)算了一系列直流電壓源為源項(xiàng)的蔡

9、氏電路，目標(biāo)為建立一個(gè)周期性參數(shù)空間13。利用這種程序，他們能夠使時(shí)間序列的周期性測(cè)量過(guò)程自動(dòng)化，建立一個(gè)周期性的參數(shù)空間。得到的參數(shù)空間允許他們能夠觀察自組織的周期性窗口。有周期性的參數(shù)空間，與利用框圖得到的相比，這樣的周期性窗口能夠提前顯示信息，。利用這樣的方法，他們也可以觀察自相似的周期性結(jié)構(gòu)，累積邊界的新序列，和周期性增加的分岔。有這種方法，使它們的行為介于混沌和周期之間的描述將會(huì)被完善。他們希望周期性檢測(cè)能夠?qū)τ趯?shí)驗(yàn)混沌的研究人員有所幫助，能夠成為數(shù)據(jù)分析的一種新工具15。Buscarino, Arturo1推導(dǎo)了兩種反射形式的蔡氏電路動(dòng)力，推薦了相應(yīng)的空間代表狀態(tài)18。總體來(lái)說(shuō)，給

10、定一個(gè)非線(xiàn)性電路，等價(jià)的反射形式是不確定存在的；他們已經(jīng)說(shuō)明了蔡氏電路在x或z變量被利用時(shí)能夠表達(dá)為反射形式，而不是變量y被利用。實(shí)施兩個(gè)代表量中一個(gè)的電子線(xiàn)路已經(jīng)在他們的實(shí)驗(yàn)室利用現(xiàn)成的離散元件實(shí)現(xiàn)。蔡氏動(dòng)力的反射形式的實(shí)現(xiàn)緊接著最近的研究方向，它描繪與2011年，Sprott：在一個(gè)簡(jiǎn)單的混沌實(shí)現(xiàn)中，蔡氏混沌電路的豐富特性可以包含其中。值得一提的是，基于蔡氏二極管的應(yīng)用形式實(shí)現(xiàn)的電路，允許了更簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)形式，其中必須使用立方的非線(xiàn)性19。2.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀湖南大學(xué)的徐浩介紹了混沌系統(tǒng)分析方法和混沌電路設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，分析了各種混沌系統(tǒng)和電路的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，總結(jié)了混沌電路的發(fā)展過(guò)程。在文獻(xiàn)閱讀和

11、理論分析的基礎(chǔ)上，他在混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性和混沌振蕩的頻率兩個(gè)方面分別提出了一種可擴(kuò)展的具有多方向多渦卷吸引子的高階蔡氏電路和一種基于MOS管的Colpitts振蕩電路的設(shè)計(jì)和同步方法。他提出了一種具有多方向多渦卷混沌吸引子的高階蔡氏電路。在典型蔡氏電路獨(dú)特的RCL網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，耦合一個(gè)RC結(jié)構(gòu)和一個(gè)非線(xiàn)性電源，便可以得到高階的蔡氏電路。重復(fù)采用這種方法，就可以得到能產(chǎn)生更多方向的多渦卷混沌吸引子的高階蔡氏電路。用硬件實(shí)現(xiàn)了六階蔡氏電路，生成的混沌吸引子與預(yù)期相符合，證實(shí)了這種方法的可行性。最后用五階蔡氏電路對(duì)圖片進(jìn)行加密仿真，說(shuō)明多方向的混沌信號(hào)能在加密速度和加密效果上有更大的優(yōu)

12、勢(shì)。他還提出了一種基于MOS管的Colpitts混沌振蕩電路。由于MOS管比三極管有更好的集成性和更低的功耗，所以用MOS管代替三極管設(shè)計(jì)Colpitts混沌電路是一個(gè)很好的選擇。由于MOS管的非線(xiàn)性部分更加復(fù)雜，文中給出了詳細(xì)分析方法。電路仿真結(jié)果表明，在低電壓的供電下，混沌振蕩電路的工作頻率能夠到達(dá)特高頻頻段。最后，用電路實(shí)現(xiàn)了Colpitts混沌電路的誤差反饋同步，用數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)了蔡氏多渦卷電路和Colpitts混沌電路的混沌對(duì)偶同步21。湯琳圍繞混沌通信這一主題,以非線(xiàn)性系統(tǒng)理論和現(xiàn)代通信理論為基礎(chǔ),將混沌優(yōu)良的特性應(yīng)用于通信系統(tǒng)中,重點(diǎn)研究混沌通信中混沌同步及安全hash算法等關(guān)鍵問(wèn)

13、題。由于混沌通信系統(tǒng)為非線(xiàn)性系統(tǒng),因此,采用非線(xiàn)性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。他的主要工作內(nèi)容和創(chuàng)新點(diǎn)如下:1、混沌同步是混沌通信的基礎(chǔ)和前提,是通信成敗的關(guān)鍵，分析了混沌同步方法中的耦合同步法，為后面的混沌加密系統(tǒng)研究提供混沌理論及相關(guān)技術(shù)基礎(chǔ)。同時(shí)，討論了蔡氏電路的電路模型和混沌特性，以及改進(jìn)后的蔡氏電路的電路模型和混沌特性。2、他還介紹了現(xiàn)代加密系統(tǒng)的基本理論，分析了hash函數(shù)的起源與現(xiàn)狀。3、此外，他分析了混沌加密的基本方法，由于改進(jìn)后的蔡氏電路擁有復(fù)雜豐富的混沌特性,生成的混沌信號(hào)同傳統(tǒng)保密通信方法相比在抗破譯性能方面得到較大的提高，因此，他設(shè)計(jì)了一種運(yùn)用混沌掩蓋加密方法在改進(jìn)的蔡氏電路基礎(chǔ)

14、上建立混沌保密通信系統(tǒng)，基于hash變換的思想,引入安全hash函數(shù),作為接收端檢驗(yàn)密文是否在傳輸過(guò)程中被非法篡改的方法，使信息能完整接收，保障了信息的保密性和完整性。為了驗(yàn)證該方法的正確性,進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真,分別對(duì)在傳輸信道中的信息有無(wú)篡改這兩種方式進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果和理論分析是一致的22。張宏鵬論述了混沌的發(fā)展和國(guó)內(nèi)外混沌電路的研究現(xiàn)狀，詳細(xì)介紹了混沌的一些重要應(yīng)用。論述了混沌系統(tǒng)的基本理論及其特性和識(shí)別混沌的信號(hào)的方法，并且提出了一種研究混沌初值敏感性方法。利用功率譜法研究了一元多項(xiàng)非線(xiàn)性變換對(duì)信號(hào)頻率的影響，同時(shí)根據(jù)硬件電路的復(fù)雜程度，選取p(x)=k2x2+k3x3為非線(xiàn)性變換式。利

15、用Lyapunov指數(shù)研究了該非線(xiàn)性變換式系數(shù)的最佳范圍，針對(duì)p(x)=k2x2+k3x3進(jìn)行了硬件電路設(shè)計(jì)，并基于蔡氏混沌信號(hào)對(duì)該電路進(jìn)行了大量的數(shù)值仿和物理實(shí)驗(yàn)，從多角度對(duì)變換前后的混沌信號(hào)進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了非線(xiàn)性變換電路的有效性。該電路可以適用于對(duì)任何混沌信號(hào)的變換，通過(guò)對(duì)非線(xiàn)性變換電路系數(shù)的改變，可得到不同的混沌波形，可以產(chǎn)生多種性能更好的混沌信號(hào)。最后對(duì)混沌通信原理進(jìn)行了介紹，并對(duì)原蔡氏混沌信號(hào)和經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換后的混沌信號(hào)進(jìn)行了加密實(shí)驗(yàn)和比較研究。結(jié)果證實(shí)了變換后的混沌信號(hào)更適合對(duì)信號(hào)進(jìn)行加密隱藏。對(duì)混沌進(jìn)行非線(xiàn)性變換不僅可以產(chǎn)生大量的混沌信號(hào)，而且可以改善混沌特性，

16、為保密通信提供更多的混沌信號(hào)源23 。吳迪則研究了憶阻器建模和蔡氏混沌電路的關(guān)系。憶阻器的出現(xiàn)和蔡氏電路的研究有望改善整個(gè)電子電路的理論和應(yīng)用。憶器是一種具有記憶功能的新型非線(xiàn)性無(wú)源電路元件，蔡氏電路是混沌電路中一種典型的電路，雖然其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但有復(fù)雜的混沌特征。在憶阻器雜質(zhì)與非雜質(zhì)分界面非線(xiàn)性漂移的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)分界面漂移速度施加窗函數(shù)用Simulink和Pspice分別建立非線(xiàn)性雜質(zhì)漂移憶阻器模型，Simulink的憶阻器模型是從數(shù)學(xué)的角度實(shí)現(xiàn)的，理論上是精確的，而Pspice的憶阻器模型是從電路的角度實(shí)現(xiàn)的，是要放到電路中實(shí)現(xiàn)的，用Pspice建立出來(lái)的模型會(huì)存在電流采樣電阻，該電阻的存

17、在與否及其阻值大小都會(huì)對(duì)憶阻器的非線(xiàn)性帶來(lái)影響。這也是理論與實(shí)際存在差別。通過(guò)兩個(gè)軟件仿真出來(lái)的波形就可以看出憶阻器模型是否符合要求。蔡氏電路是典型的混沌電路，它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單并且能呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為。他用Multisim軟件搭建蔡氏電路并對(duì)其進(jìn)行仿真研究，以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了一個(gè)改進(jìn)的蔡氏電路。得到和蔡氏電路一致的相圖，并且能看到蔡氏電路中看不到的混沌波形，從而證實(shí)了該電路的混沌特性。由于很多混沌電路都是用Multisim搭建的，所以認(rèn)為具有準(zhǔn)確性和可信度。隨后用已經(jīng)模擬出來(lái)的憶阻器模型替代蔡氏電路中的非線(xiàn)性電路部分，用Pspice軟件建模仿真，觀察其混沌現(xiàn)象并和用Multisim搭建蔡氏電路的相

18、圖進(jìn)行對(duì)比，再改變其參數(shù)，觀察波形變化。所得到的憶阻器模型測(cè)量與惠普實(shí)驗(yàn)室生產(chǎn)真正的憶阻器測(cè)量相似，且電流采樣電阻在其中也起到了關(guān)鍵作用，將模型放到蔡氏電路中得到的混沌波形與標(biāo)準(zhǔn)的混沌波形類(lèi)似。證實(shí)憶阻器模型的可用性。他采用多種軟件來(lái)仿真，發(fā)揮了各自軟件的優(yōu)勢(shì)，其結(jié)果相互比較，使仿真結(jié)果更準(zhǔn)確24。劉恒利用Pspiec仿真軟件對(duì)實(shí)際電感蔡氏電路進(jìn)行仿真,給出可調(diào)參量在不同取值范圍時(shí),蔡氏電路所展示的動(dòng)力學(xué)行為"同時(shí),對(duì)蔡氏電路中非線(xiàn)性電阻的伏安特性進(jìn)行了分析，然后,他引入一個(gè)模擬電感電路,分析了該模擬電感電路的等效原理,并將該模擬電感代替蔡氏電路中實(shí)際的電感,通過(guò)電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方案

19、可行,進(jìn)一步證實(shí)了該模擬電感在振蕩電路中性能更加優(yōu)越。在蔡氏電路的基礎(chǔ)上,他對(duì)多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生也進(jìn)行了研究,理論推導(dǎo)了其產(chǎn)生規(guī)律,同時(shí)對(duì)其平衡點(diǎn)也進(jìn)行了分析,通過(guò)數(shù)值仿真能產(chǎn)生10個(gè)渦卷的混沌吸引子，同樣用一個(gè)模擬電感代替多渦卷混沌電路中實(shí)際的電感,在電路實(shí)驗(yàn)中最多產(chǎn)生了8個(gè)渦卷的混沌吸引子。他還對(duì)蔡氏電路的一個(gè)變形電路(用三次方模塊代替分段線(xiàn)性函數(shù))進(jìn)行了研究,他根據(jù)變形蔡氏系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一個(gè)電子電路,并通過(guò)Pspiee仿真驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)電路可行。在此基礎(chǔ)上,通過(guò)正比于系統(tǒng)變量的周期脈沖擾動(dòng)法對(duì)其混沌進(jìn)行控制,根據(jù)脈沖強(qiáng)度>O和<O分別設(shè)計(jì)了兩個(gè)不同的控制器,都得到了較好的控制

20、結(jié)果。最后,利用限幅控制法對(duì)蔡氏電路中的混沌進(jìn)行控制，通過(guò)PsPiee仿真驗(yàn)證了該方案的可行性,在此基礎(chǔ)上,通過(guò)電路實(shí)驗(yàn)對(duì)基于模擬電感的雙渦卷、5渦卷和6渦卷混沌吸引子,利用限幅控制法對(duì)其混沌進(jìn)行控制,可控制到各種周期軌道25。參考文獻(xiàn)1 鮑林云,周尚波,虞繼敏,趙麗.蔡氏電路的混沌仿真研究J.山東工業(yè)技術(shù),2015,01:254-256.2 馮久超，陳宏濱.蔡氏電路的仿真研究J.華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào).2005(s1).3 Eleonora Bilotta (1);Francesco Chiaravalloti (1);Pietro Pantano (1).Synchronization an

21、d Waves in a Ring of Diffusively Coupled Memristor-Based Chuas CircuitsJ.Acta Applicandae Mathematicae.2014(No.1).4 Bilotta, E., Pantano, P., Vena, S.: Articial micro-worlds part II: cellular automata growth dynamics. Int. J. Bifurc. Chaos 21, 619645 (2011) 11. 5 Bilotta, E., Pantano, P., Vena, S.:

22、Articial micro-worlds. Part III: A taxonomy of self-reproducing 2D CA species. Int. J. Bifurc. Chaos 21, 12331263 (2011)6 Bilotta, E., Pantano, P., Vena, S.: Articial micro-worlds part I: a new approach for studying life-like phenomena. Int. J. Bifurc. Chaos 21, 373398 (2011)7 Gambino, G., Lombardo,

23、 M.C., Sammartino, M.: Turing pattern formation in the Brusselator system with nonlinear diffusion. Phys. Rev. E 88, 042925 (2013)8 H. Moqadasi;M. B. Ghaznavi-Ghoushchi.A new Chuas circuit with monolithic Chuas diode and its use for efficient true random number generation in CMOS 180 nmJ.Analog Inte

24、grated Circuits and Signal Processing.2015(No.3).9 Kilic¸,R.(2010). A practical guide for studying Chuas circuits. Hackensack: World Scientic.10 Nejati, H., Beirami, A., & Ali, W. H. (2012). Discrete-time chaotic-map truly random number generators: design, implementation, and variability an

25、alysis of the zigzag map. Analog Integrated Circuits and Signal Processing, 73, 363374.11 Leonov, G., Vagaitsev, V., & Kuznetsov, N. (2010). Algorithm for localizing Chua attractors based on the harmonic linearization method. Doklady Mathematics, 82, 663666. 51. 12 Chua Circuits. http:/www.C Acc

26、essed 15 Feb 201413 E. R. Viana (1);R. M. Rubinger (2);H. A. Albuquerque (3);F. O. Dias (1);A. G. de Oliveira (1);G. M. Ribeiro (1).Periodicity detection on the parameter-space of a forced Chuas circuitJ.Nonlinear Dynamics.2012(No.1).14 Rocha, R., Andrucioli, G.L.D., Medrano-T, R.O.: Experimental characterization of nonlinear systems: a real-time evaluation of the analogous Chuas circuit behavior. Nonlinear Dyn. 62, 237251 (2010) 15 Albuquerque, H.A., Rubinger, R.M., Rech, P.C.: Selfsimilar structures in a 2D parameter-space of an inductorless Chuas c