二重積分的引入

1、二重積分的引入冰山體積的計(jì)算?、問題提出?由于全球氣候變暖，冰川融化等原因，導(dǎo)致海平面上升，對沿海城市和島嶼城市的生存都產(chǎn)生嚴(yán)重的威脅。為此各國科學(xué)家都依靠氣候資料和衛(wèi)星探測數(shù)據(jù)對各種冰川融化狀況進(jìn)行研究，以預(yù)測海平面未來變化情況。?、問題提出?冰川融化是海水上升的主要原因，冰川融化的第一階段是 冰川表面融化，當(dāng)冰川融化到一定程度，冰川的邊緣變薄 , 會發(fā)生斷裂，形成漂浮在海洋中的冰山，冰山會較快的完全融化。我們想通過衛(wèi)星觀測知道冰川融化的情況，由衛(wèi) 星探測可測得某一區(qū)域冰川的各指定點(diǎn)處高度數(shù)據(jù)， 擺在 我們面前的問題是如何設(shè)計(jì)觀測點(diǎn)并通過觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出 冰山的體積。如果計(jì)算出某一時間冰山的體

2、積，通過一段 時期的觀測并通過前后冰川體積的變化， 可知冰川融化掉 的體積和融化速度。?、問題提出?為研究方便，我們不妨假設(shè)冰山的底部在一水平面上. 在某一具體實(shí)例中，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，我們 把冰山投影到其底部所在的坐標(biāo)面 xOy 上，衛(wèi)星沿兩 個坐標(biāo)軸方向各自間隔0.1 個單位長度測量一個冰山高 度（相對于所建立的坐標(biāo)面），得到如下數(shù)據(jù)：實(shí)例數(shù)據(jù)8080.180.280.380.480.580.680.780.88312131722832388013418983.3357117929083.4186623041083.524615840083.6738983308

3、3.78356522083.80143015030261912335462348812034524380380280170360250130300208111150109688065231840130120150463310111519272830181530二、建立模型確定研究區(qū)域D 為冰山在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域：兀坐標(biāo)由a 變化到 b,丿坐標(biāo)由 c 變化到 d 度，冰山表面可以用區(qū)域 D： a<x<b,c < y <d上的一個二元函數(shù) Z =y）來表示。_求某一時刻冰山的體積問題轉(zhuǎn)化為求如圖所示的曲頂柱體的體積問題0A CT三、模型求解將冰山用垂直于底面的平行平面分割

4、，這樣研究區(qū)域內(nèi)的冰川被分成一些曲頂柱體，每個曲頂柱體的體積用匕表示，而冰山體積 V 可以看 作是這些曲頂柱體體積之和，即三、模型求解我們用表示第氐個曲頂柱體的底，用表示其面積，用ik,yjk 分別表示在上任意取定的一點(diǎn)，則第氐x個曲頂柱體的體積可近似表示為:從而 v=工人匕 ?（旳 , 比曲當(dāng)取初無限細(xì)分的極限時，V=limAV,將初始問題中的數(shù)據(jù)帶入模型求解，其中:x. = 83, x. = 83 丄兀 ? = 83.2, x. = 833 f0 ll 2 f3x. = 83.4, x. = 83.5, x. = 83.6, x. = 83.7, x. = 83. &4f56f7f

5、8fy jyj40=8。丄兒 2 =*=80.4,兒 § =80.5,兒°2厶 =80.3,z =80.6,兒=80.7,兒：=80.8由計(jì)算可得：V =工匕俎工 / 仇必 Z = 99960008080.080.180.180.280.280.380.35555831317122283.040454758883.1381341898083.1583.283.2583.380.480.480.580.580.680.680.780.80.8555753019152618123354640192341302788120? ?83.3583.483.4583.583.5583.

6、683.6583.783.7580.080.180.280.380.380.480.480.580.580.680.788080.180.255580.6(80.855557!83.8求曲頂柱體的體積采用“ 分割、求和、 取極限” 的方法，如下演示 .四、二重積分的概念定義 設(shè) y（x,j）是有界閉區(qū)域）上的有界函 數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成 個小閉區(qū)域 XT, 6, ，Acr M,其中 A CT,?表示第個小閉區(qū)域，也表示它的面積 ,在每個 A CT.上任取一點(diǎn)作乘積(I =l,2<>n),并作和/ （$，） 6,1=1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值2 趨近于零時， 這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù) /& ）在甸 區(qū)域 D 上的二重積分，記為”（兀如，DDT積分被積稅積積區(qū)域函lit數(shù)對二重積分定義的說明：(1)在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分的