平面向量知識點總結(jié)

1、必修4平面向量知識點小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū) 別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知Ag， B(4,2)，則把向量AB按向量2_1,3)平移后得到 的向量是 . 結(jié)果：(3,0)2. 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：o，規(guī)定：零向 量的方向是任意的；3. 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是士上卑)；I AB|4. 相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相 等向量有傳遞性；5. 平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a

2、、 b叫做平行向量，記作：a / b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個 向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重 合； 平行向量無傳遞性！(因為有o)； 三點Ab、c共線共線.6. 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反 向量記作-a.舉例2如下列命題：(1) 若 ia晶，則肓.(2) 兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.(3) 若忑是平行四邊形.(4) 若7BJDC.(5) 若 al, 2，則 aw.(6) 若a/b, b/c則a/c.其中正確的是結(jié)

3、果：(4)二、向量的表示方法1. 幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如aB，注意起點在前， 終點在后；2. 符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；3. 坐標表示：在平面內(nèi)建立直角坐標系， 以與x軸、y軸方向相 同的兩個單位向量 j為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a可表示為 a=x?+yj =( x y，稱(x)y為向量a的坐標，a=(x,y)叫做向量a的坐標表示.結(jié)論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點 坐標相同.三、平面向量的基本定理定理 設(shè)ea同一平面內(nèi)的一組基底向量，a是該平面內(nèi)任一向 量，則存在唯一實數(shù)對(丸,九)，使:=丸齢況.(1) 定理核心：a品朋；(2

4、)從左向右看，是對向量a的分解， 且表達式唯一；反之，是對向量 a的合成.(3)向量的正交分解：當 馳時，就說a/十詭為對向量a的正 交分解.舉例 3 (1)若 a), b 出,二),c,2)，則 c=.果：2a _|b.(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的BA. &卻,0),&弍1,4)B.&=(4,2),$=5,7) C.玄=3,5),g=6,10)D. g , A) , e2(3) 已知AD,BE分別是 ABC的邊BC , AC上的中線，且益二,&,則BC可用向量a,b表示為結(jié)果：勻缶.33(4) 已知ABC中，點D在BC邊上，且CDDB ,百為.就,則r.的值是結(jié)果：0.四

5、、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作,它的長度和方向規(guī)定 如下：(1) 模:I油冃扎I 1a| ；(2) 方向：當，0時，.a的方向與a的方向相同，當*0時，a的方向與a的方向相反，當 =o時，a=0,、卜、 :注意： a .0 .五、平面向量的數(shù)量積1. 兩個向量的夾角：對于非零向量a, b，作o=a, o=b，則把.AOB （0 _ -）稱為向量a， b的夾角.當v-0時，a，b同向；當二時，a，b反向；當v-2時，a，b垂 直.2. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a，b，它們的夾角為 二，我們把數(shù)量|a l|b |co叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作： a b，

6、即；b =| ； | |b | cos J.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例 4（ 1） ABC 中，|譎仝，|AC4， |BC5，則AB BC =.結(jié)果：2（2）已知a=（2，j，c總蟲，d J _b， c與d的夾角為子，則k = . 結(jié)果：1.（3） 已知 |a2， |b5， ab3，則倩啟| . 結(jié)果：y23 .（4）已知a,b是兩個非零向量，且 肉血皿，則a與a-b的夾角為 . 結(jié)果：30 .3. 向量b在向量a上的投影：|b|cos日，它是一個實數(shù)，但不一定 大于0.舉例5已知iam，|b|，且a b J2，貝U向量a在向量b上的投影為結(jié)

7、果:124. a b的幾何意義:數(shù)量積a b等于a的模|a |與b在a上的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量 a , b，其夾角為B,則:（1）a_b ab=0；（2）當 a、b 同向時，a b a | | b |，特別地，；2 =2 a =詁 |2：=啟 | = ；a為；i：i是a、b同向的充要分條件；h當a、b反向時，崗/|, ab=-iaiibi是a、b反向的充要分 條件；當二為銳角時，ab 0，且a、b不同向，ab 0是二為銳角的必要不充分條件；當，為鈍角時，ab：o,且a、b不反向；ab0；（2） p外分線段PP2時，點p在線段PP2的延長線上二h-1， 點P在線段PP2

8、的反向延長線上1 ：0.注：若點P分有向線段卞所成的比為九，則點P分有向線段R所 成的比為丄.舉例16 若點P分強所成的比為|，則A分齊所成的比 為結(jié)果：-3 .3. 線段的定比分點坐標公式：設(shè)PgyJ，P2（x2,y2），點P（x,y）分有向線段 罷所成的比為人，則定比分點坐標公式為X1*2X 1 - %中入y2y =、1 +人( = 一1)y1y2y -2說明：（1）在使用定比分點的坐標公式時，應(yīng)明確(x,y) ，(X1,yd、特別地，當丸=1時，就得到線段RP2的中點坐標公式D的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標（2）在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件， 靈活地確定起點，分點 和終點，并根據(jù)這

9、些點確定對應(yīng)的定比 .舉例17（1 ）若 M（J3,_2），N（6,），且，則點 P 的坐標為-結(jié)果：（ 一）；（2）已知A(a,0)，B(3,2 a)，直線 y gax 與線段 AB 交于 M，且 AM =2MB，則昇結(jié)果：2或入十、平移公式如果點P（x,y）按向量扌=（h,k）平移至P（x；y）,則心* ,；曲線f（x,y）=O y =y k .按向量a =（h,k）平移得曲線f（x_h,y _k） =0.說明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！ 舉例18（ 1）按向量a把（2平移到（仁），則按向量a把點口，2）平移到點. 結(jié)果： （

10、_8,3）；（2）函數(shù)y2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是 y YOS2X 弟，貝U a =.結(jié)果：（召D .十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；斗2. 模的性質(zhì)：|扌|一|訂i|a bMa| |b|.（1） 右邊等號成立條件：ab同向或ab中有Ouiabaiibi ；（2） 左邊等號成立條件：a、b反向或a、b中有O：=ia_bi=iaiibi ；（3）當 ab不共線=|崗_|說為+舗|+|,|.3. 三角形重心公式則其重心的坐標為在 ABC 中，若 AgyJ , B(X2,y2), Cgys),為X2X3 y 1 y 2 yG(3舉例193).3若厶ABC的三邊的中點分別為 A（2,1）、B(J3,4)、C(,),貝U ABC 的重心的坐標為結(jié)果:5.三角形“三心”的向量表示(1)PG =1（PA PB - PC）二 G ABC 的重心，特別地T T T 4PA PB PC =0= GABC的重心.(2) PA =PB .(3 )|abPC 二 PC PA P ABC 的垂心.| AB| PC | BC | PA |CA | PB P 為 ABC 的 內(nèi)心； 向量 心0)所在直線過 ABC的內(nèi)心.-占（| |AC|6.點P分有向線段Pp2所成的比向量形式設(shè)點P分有向線段 窩所成的比為若M為平面