23直線方程的幾種形式

1、23 直線方程的幾種形式教材分析這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式，并簡(jiǎn)單介紹了斜截式和截距式直線方程的點(diǎn)斜式是其他直線方程形式的基礎(chǔ)，因此它是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，要使學(xué)生理解：（1）建立點(diǎn)斜式的主要依據(jù)是，經(jīng)過直線上一個(gè)定點(diǎn)與這條直線上任意一點(diǎn)的直線是唯一的，其斜率等于k（2）在得出方程后，要把它變成方程yy1k（xx1）因?yàn)榍罢弑硎镜闹本€缺少一個(gè)點(diǎn)P1（x1，y1），而后者才是這條直線的方程（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)的直線方程為xx1在學(xué)習(xí)了點(diǎn)斜式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹直線方程的其他幾種形式：斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和

2、一般式，并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別通過研究直線方程的幾種形式，指出它們都是關(guān)于x，y的二元一次方程，然后從兩個(gè)方面進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系，使學(xué)生明確一個(gè)重要事實(shí)：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線的方程，都可以寫成關(guān)于x，y的一次方程；反過來，任何一個(gè)關(guān)于x，y的一次方程都表示一條直線，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ)因?yàn)檫@部分內(nèi)容較為抽象，所以它是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1. 在“直線與方程”和直線的斜率基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探索由一個(gè)點(diǎn)和斜率推導(dǎo)出直線方程，初步體會(huì)直線方程建立的方法2. 理解和掌握直線方程的點(diǎn)斜式，并在此基礎(chǔ)上研究直線方程的其他幾種形式，掌握它們之間的聯(lián)系

3、與區(qū)別，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程3. 理解直線和二元一次方程的關(guān)系，并能用直線方程解決和研究有關(guān)問題4. 通過直線方程幾種形式的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了直線方程的概念與直線的斜率基礎(chǔ)上，具體地研究直線方程的幾種形式，而這幾種形式的關(guān)鍵是推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程因此，在推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程時(shí)，要使學(xué)生理解：已知直線的斜率和直線上的一個(gè)點(diǎn)，這條直線就確定了，進(jìn)而直線方程也就確定了求直線方程就是把直線上任一點(diǎn)用斜率和直線上已知點(diǎn)來表示，這樣由兩點(diǎn)的斜率公式即可推出直線的點(diǎn)斜式方程在直線的點(diǎn)斜式方程基礎(chǔ)上，由學(xué)生推出直線方程的其他幾種形式，并使學(xué)

4、生明確直線方程各種形式的使用范圍，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別對(duì)于直線和方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn)，在論證直線和方程的關(guān)系時(shí)，一方面分斜率存在與斜率不存在兩類，另一方面又分B0與B0兩類這種“兩分法”的分類，科學(xué)嚴(yán)密，可培養(yǎng)學(xué)生全面系統(tǒng)和周密地討論問題的能力教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境飛逝的流星形成了一條美麗的弧線，這條弧線可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合在平面直角坐標(biāo)系中，直線也可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合為研究直線問題，須要建立直線的方程直線可由兩點(diǎn)唯一確定，也可由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向來確定如果已知直線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率，那么如何建立這條直線的方程呢？二、建立模型1. 教師提出一個(gè)具體的問題若直線

5、l經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），斜率為2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足什么條件？設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），那么當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（除點(diǎn)A外），點(diǎn)P與定點(diǎn)A確定的直線就是l，它的斜率恒為2，所以2，即2xy10顯然，點(diǎn)A（1，3）滿足此方程，因此，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)（x，y）滿足方程2xy102. 教師明晰一般地，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P1（x1，y1），且斜率為k，對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P（x，y）（不同于點(diǎn)P1），當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PP1的斜率始終為k，則，即yy1k（xx1）可以驗(yàn)證：直線l上的每個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)P1）的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；反過來，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l

6、上，這個(gè)方程就是過點(diǎn)P1、斜率為k的方程，我們把這個(gè)方程叫作直線的點(diǎn)斜式方程當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)橹本€l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是xx1思考：（1）方程與方程yy1k（xx1）表示同一圖形嗎？（2）每一條直線都可用點(diǎn)斜式方程表示嗎？例題求滿足下列條件的直線方程（1）直線l1：過點(diǎn)（2，5），k1（2）直線l2：過點(diǎn)（0，1），k.（3）直線l3：過點(diǎn)（2，1）和點(diǎn)（3，4）（4）直線l4：過點(diǎn)（2，3）平行于y軸（5）直線l5：過點(diǎn)（2，3）平行于x軸參考答案：（1）xy70（2）yx1（3）3xy50（4）x2（5）y3練習(xí)求下列直線

7、方程（1）已知直線l的斜率為k，與y軸的交點(diǎn)P（0，b）（如果直線l的方程為ykxb，則稱b是直線l在y軸上的截距，這個(gè)方程叫直線的斜截式方程）（2）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（如果直線l的方程為yy1（xx1），（x1x2），則這個(gè)方程叫直線的兩點(diǎn)式方程）（3）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A（，0），B（0，b），其中ab0（如果直線l的方程為，（ab0），則a，b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距，這個(gè)方程叫直線的截距式方程）進(jìn)一步思考討論：前面所學(xué)的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x，y的二元一次方程，那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x，y的二元一次方程？反過來，關(guān)于x，y

8、的二元一次方程都表示一條直線嗎？通過學(xué)生討論后，師生共同明晰：在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程事實(shí)上，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，它的方程可寫成ykxb，它可變形為kxyb0，若設(shè)Ak，B1，Cb，它的方程可化為AxByC0；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，它的方程可寫成xx1，即xx10，設(shè)A1，B0，Cx1，它的方程可化為AxByC0即任何一條直線的方程都可以表示為AxByC0；反過來，關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0，（A，B不全為0）的圖像是一條直線事實(shí)上，對(duì)于方程AxByC0，（A，B不全為0），當(dāng)B0時(shí)，方程可化為yx，它表示斜率為，在y軸上截距為的直線；當(dāng)B0時(shí)，A

9、0，方程可化為x，它表示一條與軸平行或重合的直線綜上可知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與關(guān)于x，y的二元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的我們把方程AxByC0，（A，B不全為0）叫作直線的一般式方程三、解釋應(yīng)用例題1. 已知直線l通過點(diǎn)（2，5），且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求直線在x軸、y軸上的截距（3）試畫出直線l解答過程由學(xué)生討論回答，教師適時(shí)點(diǎn)撥2. 求直線l：2x3y60的斜率及在x軸與y軸上的截距解：已知直線方程可化為yx2，所以直線l的斜率為，在y軸上的截距為2在方程2x3y60中，令y0，得x3，即直線在x軸上的截距為3練習(xí)1. 求滿足下列條件的直線方程，并畫出圖形（1）過原點(diǎn)，斜率

10、為2（2）過點(diǎn)（0，3），（2，1）（3）過點(diǎn)（2，1），平行于x軸（4）斜率為1，在y軸上的截距為5（5）在x軸、y軸上的截距分別為3，52. 求過點(diǎn)（3，4），且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程3. 設(shè)直線l的方程為（m22m3）x（2m2m1）y2m6，根據(jù)下列條件確定m的值（1）直線l在x軸上的截距為3（2）直線l的斜率為1（3）直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10四、拓展延伸1. 在直線方程y1k（x1）中，k取所有實(shí)數(shù)，可得到無數(shù)條直線，這無數(shù)條直線具有什么共同特點(diǎn)？2. 在直線方程AxByC0中，當(dāng)A，B，C分別滿足什么條件時(shí)，直線有如下性質(zhì)：（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）與兩坐標(biāo)

11、軸都相交（3）只與x軸相交 （4）只與y軸相交（5）與x軸重合 （6）與y軸重合3. 直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能說明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎？參考答案：1. 直線過點(diǎn)（1，1），它不包括直線x12. （1）C0A，B不全為0； （2）A，B都不為0（3）A0，B0，C0 （4）A0，B0，C0（5）A0，B0，C0 （6）A0，B0，C03. 略點(diǎn)評(píng)這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎(chǔ)上，通過實(shí)例探索出過一點(diǎn)且斜率已知的直線的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點(diǎn)斜式方程，在點(diǎn)斜式方程的基礎(chǔ)上由學(xué)生自主的探究出直線方程的其他形式，并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范