自主招生試卷分析

1、自主招生試卷分析 （自主招生輔導內(nèi)部資料，禁止外傳）一：試題特點自從 2006年復旦大學、 上海交通大學等全國重點院校招生改革 “破冰”以來，各校“深化自主選拔錄 取改革試驗 ”招生方案不斷出臺。全國自主招生院校數(shù)目及招生規(guī)模也在增加，引起了教育界和廣 大考生、家長和中學教師對命題的高度關(guān)注。以下就近兩年數(shù)學考試特點進行剖析。試卷特點分析1. 基礎(chǔ)知識和基本技能仍是考查重點基礎(chǔ)知識、基本技能稱之為 “雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關(guān)系。沒有扎實的 “雙基”， 能力培養(yǎng)就成了無源之水，無本之木。所以， “雙基”訓練是數(shù)學教學的重要任務(wù)之一。綜觀復旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數(shù)學

2、題目，我們會發(fā)現(xiàn)有60%至 70%的題目仍是比較基礎(chǔ)的。例如近三年來上海交大卷的填空題都是 10 題（ 50 分），占試卷的一半，這些填空 題比較常規(guī)，和高考試題難度相當。復旦卷有 30 題左右的選擇題，也多半是學生平時訓練過的一 些比較熟悉的題型和知識點。2. 考查知識點的覆蓋面廣，但側(cè)重點有所不同 復旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數(shù) 學大綱的所有內(nèi)容。例如，函數(shù)、集合、數(shù)列、復數(shù)、三角、排列、組合、概率統(tǒng)計、向量、立體 幾何、解析幾何等。但高校自主招生試題命題是由大學完成的，更多會考慮到高等數(shù)學與初等數(shù)學的銜接，所以提 請大家注意幾個方面：函

3、數(shù)和方程問題、 排列組合和概率統(tǒng)計等 粗略統(tǒng)計， 2008 年復旦卷中與函數(shù)和方程有關(guān)的試 題多達 10 題，占 31%。復數(shù) 復數(shù)通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復旦卷中仍占有一席之地（ 2008 年及 2007年分別有 2 題和 3題）。矩陣和行列式 這些知識雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數(shù)學中非常重要的內(nèi)容， 近幾年在復旦卷中每年都會出現(xiàn)。以上各點，望能引起廣大師生的注意。3. 注重數(shù)學知識和其他科目的整合，考查學生應(yīng)用知識解決問題的能力二：命題思路研究與探索 （一）：列項相消求和的廣泛應(yīng)用背景 例 1（2004 年復旦大學自主招生試題） 求證AAAyni=y；-2,

4、n =1,2,3,，證明:lim(-.- )=pfy-YiY2y”2yn嚀-2 3 _3 （_31）x3 - ax2 bx c = 0的三個根分別為a, b, c,并且a, b,c是不全為零的有理數(shù)例2 （2006上海交大保送生考試試題）已知:k+2k! (k 1)! (k 2)!,則數(shù)列1an 的前100項和為 例3（ 2006年復旦大學自主招生試題）下列正確的不等式是（）120A.16 八i 土1：17120B.18 :、i 11：19120C.20 : 'i總1:21120 1D.22 ：': 23i 呂 k例4 （2008年上海交大冬令營試題）數(shù)列：an /的通項公式是

5、an1n、n 1 (n 1). n則這個數(shù)列的前99項和S99 =例5（ 1994年高等數(shù)學競賽試題改編）:M即可)2,設(shè)數(shù)列中an 0 （n=1,2,3,.）Sn _ y a，試證明lim 2存在（提示如果能證明 卑7FSj2Sj例6 （2010年清華五校自主招生聯(lián)考試題）設(shè)p,q是一元二次方程x2 2ax-1=0（a 0）的兩個根，其中p>0令/np-q, ynyj1 1 1n 二 1,2,3,.,證明：lim（.） = py y1 y2y1y2.yn二：基于對稱性解題思路導引分析例1 （2009年中國科技大學自主招生試題）求證：對任意的x, y R,不等式x2 xy y2 - 3（

6、x y -1）總、成立。例2 （2009年清華大學自主招生試題）1已知：x, y R,且x y =1,證明：x2n+y2n 歹百.3T11例3設(shè)x（0,）,則（sin2 x廠）（cos2x廠）的最小值為 ;2sin xcos x例4 （2002年上海交大保送生考試題）正實數(shù)x,y,z滿足x2 y2 z 1,則丄丄，丄的最小值是 ;x y z例5（ 25屆國際奧林匹克試題）設(shè)x, y, z是非負實數(shù)，且 x y z =1,求證:0 _ xy yz xz -2xyz "-27前面談到，如果試題具有內(nèi)在的對稱性，往往相對容易，但命題者也注意到這個問題，所以近來也有非對稱問題。如2009年全

7、國高中聯(lián)賽江蘇賽區(qū)13題：若不等式,x , y _ k x 2y對任意的正 實數(shù)x,y成立，求k的取值范圍。三：以初等數(shù)論基礎(chǔ)知識為背景的試題相關(guān)的常見知識有：奇數(shù)的平方被8除余1,質(zhì)數(shù)與合數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)，不定方程的解，求N !中質(zhì)因數(shù)p的個數(shù)為：N上2 冥上4 等等。但有些高校這些不涉及。P P P P例1（ 2009年清華大學自主招生試題）試證明：當p,q都為奇數(shù)時，函數(shù)y=x2-2px，2q與x軸交點的橫坐標為無理數(shù)。例2 （高考試題改編）數(shù)列 玄中，an二n - .2,求證：數(shù)列中任意三項不可能構(gòu)成等比數(shù)列 例3（ 2010年高考試題改編）1 o數(shù)列:an ?中，an二（-）2,求證：

8、數(shù)列Can ?中任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列。4 3例4（ 2009年清華大學自主招生試題寫出所有的由3個質(zhì)數(shù)組成公差為8的等差數(shù)列。例5（ 2009年北京大學自主招生試題）是否存在實數(shù)x,使得tanx ,3與cotx.3均為無理數(shù)。例6（ 2006上海交大）2005 ！的末尾有連續(xù) 個零.例7 （2009年清華大學自主招生試題）設(shè)5 1的整數(shù)部分為A,小數(shù)部分為B,求A,B,（2）求A2 B2 1 AB （3）求lim（1 B B2 . Bn）例8 （2008清華大學自主招生試題）求正整數(shù)區(qū)間m,n（m<n）中不能被3整除的整數(shù)之和。（提示：在區(qū)間0,n中，3的倍數(shù)為-，故3區(qū)間0,n中

9、不能被3整除的整數(shù)之和為 巴 衛(wèi)_丄3 - （ -1）2233例9 （2006年上海交大自主招生試題）一個正數(shù)，若其小數(shù)部分，整數(shù)部分和自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 四：以方程論基礎(chǔ)知識為背景的試題（主要涉及一元二次，三次方程） 這里用到一元三次方程的韋達定理設(shè)a3x3 a2x2 aix a0（a -0）三個根為為必，怡，則有x1x2x3 -aa3«x1xx2x +x3x1 =a。X1X2X3 =a3例1（ 2005上海交大自主招生試題）x3 ax2bx0的三個根分別為a, b,c,并且a, b,c是不全為零的有理數(shù)，求a,b,c的值。例2（ 2009年清華大學自主招生試題） 請找出一個

10、以.233為根的整系數(shù)多項式。例3（ 2005上海交大）若z3 =1，且z- C,貝Uz3 - 2z2 2z 20 =例4 （全國初中聯(lián)賽試題改編）已知x = 4 - '一 3,則432x-6x-3x2 26x 102x -8x 15例5 （2004年復旦保送生試題）x8 1=（x4 、，2x2 1）（x4 ax2 1）,貝 U a=xy =2x y T例6解方程組< yz =2z +3y _8iXZ =4z +3x -8五：特色新穎試題例1 （ 2008年交大冬令營數(shù)學試卷）通信工程中常用n元數(shù)組佝，a2a表示信息，其中a=0或1 , i、N .設(shè)u=(a,a,ana) V =

11、44133bn), d(u,v)表示u和v中相對應(yīng)的元素不同的個數(shù).(1) u =(0,0,0,0,0)問存在多少個5元數(shù)組v使得d(u,v)=1;(2) u=(1,1,W問存在多少個5元數(shù)組v使得d(u,v)=3 ;(3 ) 令 w=( 0，,0,u0i,a2,a3a.) , vQbbbn), 求證：n個0d( u, w) d(_v, w).解：u1 5v;2 C； =10 ;3記u、v中對應(yīng)項同時為0的項的個數(shù)為p，對應(yīng)項同時為1的項的個數(shù)為q，則對應(yīng)項一個為1，一個為0的項的個數(shù)為n pq ； (p q N,n).d(u,w)即是u中1的個數(shù)，d(v, w)即是v中1的個數(shù)，d(u,v)

12、是u、v中對應(yīng)項一個為1，一個為 0的項的個數(shù)。于是有 d(u,v)二 n - p-qu、v 中 1 一共有 2q (n - p-q)個，即 d(u,w) d(v,w) = n - p q所以有 d(u,w) d(v,w) -d(u,v) =2q _0于是 d(u,w) d(v,w) _d(u,v).此問題與計算機中的 二進制”有關(guān)。前兩問是排列組合計數(shù)問題，尤其是第三問有一定的挑戰(zhàn) 性?？砂裠 (u,v)轉(zhuǎn)化為一個絕對值問題4. 突出對思維能力和解題技巧的考查近幾年的自主招生試卷中對數(shù)學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，有時甚至達 到相當于數(shù)學競賽的難度。14.設(shè) f(x) =(1

13、 a)x4 - x3 -(3a - 2)x2 -4a，試證明對任意實數(shù) a :(1) 方程f(x) =0總有相同實根；(2) 存在 x0，恒有 f(x0)=O .這兩問解決的策略和方法是：換一個角度看成一個關(guān)于 a的一次函數(shù)。應(yīng)試和準備策略針對上述自主招生試題特點，學生復習時應(yīng)注意以下幾點。1. 注意知識點的全面數(shù)學題目被猜中的可能性很小，一般知識點都靠平時積累，剩下的就是個人的現(xiàn)場發(fā)揮。數(shù)學 還是要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績，因此，學生平時必須把基礎(chǔ)知識打扎實。另外，對上面提及的一些平時不太注意的小章節(jié)或高考不一定考的問題，如矩陣、行列式等也 不可忽視。2. 適當做些近幾年的自主招生的真題俗話說：知己知彼，百戰(zhàn)百勝。同學們可適當訓練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。3. 注重知識的延伸和加深復旦、交大、清華等全國重點院校自主招生試題比高考試題稍難，比數(shù)學競賽試題又稍簡單，有些問題稍有深度，這就要求考生平時注意知識點的延伸和加深。例如 2008年復旦卷的第 77 題：四十個學生參加數(shù)學奧林匹克競賽。他們必須解決一個代數(shù)學問題、一個幾何學問題以及一個 三角學問題。具體情況如下表所述。 其中有三位學生一個問題都沒有解決。問： 三個問題都解決的 學生數(shù)是