高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《雙曲線-》講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)雙曲線 講義要點梳理1雙曲線的概念平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)，則點P的軌跡叫_雙曲線_這兩個定點叫雙曲線的_焦點_，兩焦點間的距離叫_焦距_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0；(1)當(dāng)_ a<c _時，P點的軌跡是_雙曲線_；(2)當(dāng)_ ac _時，P點的軌跡是_兩條射線_；(3)當(dāng)_ a>c_時，P點不存在這里要注意兩點：(1)距離之差的絕對值 (2)2a<|F1F2|這兩點與橢

2、圓的定義有本質(zhì)的不同：當(dāng)|MF1|MF2|2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|MF2|2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支；當(dāng)2a|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線； 當(dāng)2a>|F1F2|時，動點軌跡不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實

3、軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)1雙曲線中a，b，c的關(guān)系區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c大小關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2雙曲線中有一個重要的RtOAB(如右圖)，它的三邊長分別是a、b、c易見c2a2b2，若記AOB，則e2漸近線與離心率1 (a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小雙曲線的離心率大于1，而橢

4、圓的離心率e(0,1)3與漸近線有關(guān)的性質(zhì)：焦點到漸近線的距離等于半虛軸長b共用漸近線的兩條雙曲線可能是：共軛的雙曲線或放大后共軛的雙曲線與雙曲線1共用漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為t (t0)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程0就是雙曲線1的兩條漸近線方程雙曲線1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y±x，1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y±x實軸長和虛軸長相等的雙曲線為_等軸雙曲線_，其漸近線方程為_y±x _，離心率為_ e_ 4直線與雙曲線的位置關(guān)系：直線與雙

5、曲線交于一點時，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點若利用弦長公式計算，在設(shè)直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況 基礎(chǔ)自測1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2 B2C4 D41C2x2y28， 1， a2，2a4.2已知雙曲線1 (b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為yx，點P(，y0)在該雙曲線上，則·等于()A12 B2C0 D43設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()

6、A. B. C2 D33B設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y±，故|AB|，依題意4a，2，e212，e.4已知點F1(4,0)和F2(4,0)，一曲線上的動點P到F1，F(xiàn)2距離之差為6，該曲線方程是_1 (x3)_ _5雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍，則m_6已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為_7已知雙曲線1 (a>0，b>0)和橢圓1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢

7、圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_1_8若雙曲線1 (a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為 () A B5 CD29已知點(m，n)在雙曲線8x23y224上，則2m4的范圍是_(，4242，)10已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線1的左焦點，P是雙曲線右支上的動點，求|PF|PA|的最小值解設(shè)雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義可知|PF|2a|PF1|4|PF1|，|PF|PA|4|PF1|PA|.當(dāng)滿足|PF1|PA|最小時，|PF|PA|最小由雙曲線的圖象可知當(dāng)點A、P、F1共線時，滿足|PF1|PA|最小，易求得最小值為|AF1|5，故所求最

8、小值為9.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程(2)待定系數(shù)法，其步驟是：定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(3,2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 解(1)設(shè)所求雙曲線方程為 (0)，將點(3,2)代入得，所求雙曲線方程為，即1.(2)已知雙曲線與橢圓1的焦點相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為_1解析由于在橢圓1中，a225，b29，所以c216，c4，又橢圓的焦點

9、在y軸上，所以其焦點坐標(biāo)為(0，±4)，離心率e.根據(jù)題意知，雙曲線的焦點也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，±4)，且其離心率等于2.故設(shè)雙曲線的方程為1 (a>0，b>0)，且c4，所以ac2，a24，b2c2a212，于是雙曲線的方程為1.探究提高求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素(a、b、c、e)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用若已知雙曲線的漸近線方程為ax±by0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2b2y2 (0)變式訓(xùn)練1根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：(1)若雙曲線的漸近線方程為y±3x，它的一個焦點是(，0)，求雙曲線的方程；(

10、1)x21 (2)已知雙曲線的漸近線方程為y±x，并且焦點都在圓x2y2100上，求雙曲線的方程 (2)1或1題型二雙曲線的定義及應(yīng)用例2已知定點A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，求另一焦點F的軌跡方程解題導(dǎo)引求曲線的軌跡方程時，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量，提高解題速度與質(zhì)量在運用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性解設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點，因為A，B兩點在以C

11、，F(xiàn)為焦點的橢圓上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示橢圓的長半軸)所以|FA|CA|FB|CB|.所以|FA|FB|CB|CA|2.所以|FA|FB|2.由雙曲線的定義知，F(xiàn)點在以A，B為焦點，2為實軸長的雙曲線的下半支上所以點F的軌跡方程是y21 (y1)探究提高雙曲線的定義理解到位是解題的關(guān)鍵應(yīng)注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是雙曲線的兩支，還是雙曲線的一支若是一支，是哪一支，以確保解答的正確性變式訓(xùn)練2 已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程解設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|r，|MC2

12、|r，|MC1|MC2|2，又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8.2<|C1C2|.根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支a，c4，b2c2a214.點M的軌跡方程是1 (x) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點A(6，0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線1的左支上，則_ 題型三雙曲線的幾何性質(zhì)例3中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4，離心率之比為37(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值探究提高在研究雙曲

13、線的性質(zhì)時，半實軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多由于e是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c的一個關(guān)系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e>1解(1)由已知：c，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線半實、虛軸長分別為m、n，則，解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.變式訓(xùn)練3 (1)如圖，已知F1、F2為雙曲線1

14、(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且PF1F230°，求：(1)雙曲線的離心率； (2)雙曲線的漸近線方程(1)(2)y±x (2)已知點P是雙曲線的一個交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，PF2F1=2PF1F2，則該雙曲線的離心率為ABC2D題型四直線與雙曲線的位置關(guān)系例4過雙曲線1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點(1)求|AB|； (2)求AOB的面積； (3)求證：|AF2|BF2|AF1|BF1| (1)解由雙曲線的方程得a，b，c3，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3

15、,0)直線AB的方程為y(x3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|··.(2)解直線AB的方程變形為x3y30.原點O到直線AB的距離為d.SAOB|AB|·d××.(3)證明如圖，由雙曲線的定義得|AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2，|AF2|AF1|BF1|BF2|，即|AF2|BF2|AF1|BF1|.探究提高雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一

16、元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|x1x2|變式訓(xùn)練4 直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點A、B(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由解(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故解得k的取值范圍是2<k<.(2)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、

17、(x2，y2)，則由式得假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0)則由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210. 把式及c代入式化簡得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點已知雙曲線x21，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？解設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意設(shè)經(jīng)過點P

18、的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k 由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20) x0由題意，得1，解得k2當(dāng)k2時，方程成為2x24x3016248<0，方程沒有實數(shù)解不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點題型五 雙曲線綜合 例5 已知雙曲線C的方程為 離心率e=，頂點到漸近線的距離為 。 (1)求雙曲線C的方程； (2)P是雙曲線C上一點，A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若 , ,2，求AOB面積的取值范圍. 解：(1)由題意知，雙曲線C的頂點(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為所以 即由 得

19、所以雙曲線C的方程為 (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.由題意知|k|<2,m>0. 由得A點的坐標(biāo)為 由得B點的坐標(biāo)為由 得P點的坐標(biāo)為 將P點坐標(biāo)代入 得 設(shè)Q為直線AB與y軸的交點, 則Q點的坐標(biāo)為(0,m). 記由S()=0，得=1,又當(dāng)=1時，AOB的面積取得最小值2變式訓(xùn)練5 已知雙曲線C：y21.求雙曲線C的漸近線方程； 已知M點坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點記·，求的取值范圍解 因為a，b1，且焦點在x軸上，所以漸近線方程為yx0，yx0. 設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，·(x0，y

20、01)·(x0，y01)xy1x2.|x0|，的取值范圍是(，1雙曲線練習(xí)（1）一、選擇題1雙曲線中心在原點，且一個焦點為F1(，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是() A.y21 Bx21 C.1 D.12設(shè)點P在雙曲線1上，若F1、F2為雙曲線的兩個焦點，且|PF1|PF2|13，則F1PF2的周長等于()A22 B16 C14 D123若雙曲線1 (a>0，b>0)的實軸長是焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是()Ay±x By±x Cy±x Dy±2x4設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且

21、與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 ()A. B. C2 D35已知點F1(，0)、F2(，0)，動點P滿足|PF2|PF1|2，當(dāng)點P的縱坐標(biāo)是時，點P到坐標(biāo)原點的距離是()A. B. C. D26設(shè)F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·0，則|等于()A. B2 C. D2二、填空題7已知中心在原點的雙曲線C，過點P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1或1_8如圖，點P是雙曲線1上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，c為半焦距，PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2切于點M，則|F1M|&

22、#183;|F2M|_ b2_.9設(shè)m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_16_.解析由已知條件有52m9，所以m16.10設(shè)圓過雙曲線1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為_三、解答題11根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)解(1)方法一由題意可知所求雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24.(4分)所以雙曲線的方程為x21.方法二設(shè)所求雙曲線方程 (0)，將點(3,2)代入得，所以雙曲線方程為，即x21.(2)設(shè)雙曲線方程為1.

23、由題意c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線的方程為1.12設(shè)A，B分別為雙曲線1 (a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使t，求t的值及點D的坐標(biāo)解(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，即bxay0，b23，雙曲線的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0，將直線方程代入雙曲線方程得x216x840，則 x1x216，y1y212，t4，

24、點D的坐標(biāo)為(4，3)雙曲線練習(xí)（2）一、選擇題1雙曲線1的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是()A相交 B相離 C相切 D內(nèi)含2已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1雙曲線1的漸近線方程為y±x，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b29. 由得

25、a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.3過雙曲線1 (a>0，b>0)的右焦點F作圓x2y2a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P.若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.4已知點F是雙曲線1 (a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2，)5若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21 (a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為()A32，)

26、B32，) C. D.二、填空題6已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為_7設(shè)雙曲線C：1 (a>0，b>0)的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點若以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與雙曲線C的漸近線yx交于點A(不同于O點)，則OAF的面積為_ ab _8設(shè)點F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點，點P是雙曲線上一點，若3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為_3_9已知雙曲線1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_10已知

27、雙曲線1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點若ABF1是以B為頂點的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面積之比SAF1F2SBF1F221，則雙曲線的離心率為_三、解答題11設(shè)圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個內(nèi)切，另一個外切(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求|MP|FP|的最大值及此時點P的坐標(biāo)解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.圓(x)2y24的圓心為F1(，0)，半徑為2，圓(x)2y24的圓心為F(，0)，半徑為2.由題意得或|CF1|CF|4. |F1F|2>4.圓C的圓心軌跡是以F1(，0)，F(xiàn)(，0)為焦點的雙曲線，其方程為y21. (2)由圖知，|MP|FP|MF|，當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，|MP|FP|取得最大值|MF|，(8分)且|MF|2.直線MF的方程為y2x2，與雙曲線方程聯(lián)立得